Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова
Кафедра математики
Реферат
Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными
матрицами коэффициентов
Выполнил: студент группы ЭА-04-2
Романенко Н.А.
Проверил: Королева В.В.
Магнитогорск 2004
Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.
Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем , к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:
bi xi -1 + ci xi + di xi = ri (1)
где i =1,2 ,...,n ; b 1 = 0, dn = 0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка . Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:
c1
d1
0 0 ... 0 0 0 x1
r1
b2 c2 d2 0...0 0 0 x2 r2
0 b3 c3 d3 ...0 0 0 x3 r3
. . . . ... . . . * ... = ...
0 0 0 0 ... bn -1 cn -1 dn -1 xn -1 rn-1
0 0 0 0 ... 0 bn cn xn rn
Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ i и λ i ( i =1,2 ,...,n ) , при которых
xi = δ i xi+1 + λ i (2)
т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение xi -1 = δ i -1 xi + λ i -1 подставим в данное уравнение (1):
bi δi-1 xi + bi λ i-1 + ci xi + di xi+1 = ri
откуда
xi = - ((di /( ci + bi δi-1 )) xi-1 + (ri - bi λ i-1 )/( ci - bi δ i-1 )).
Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i =1,2,…, n выполняются рекуррентные соотношения
δi = - di /( ci + bi δi-1 ) , λ i = (ri - bi λ i-1 )/( ci - bi δ i-1 ) (3)
Легко видеть, что, в силу условия b 1 =0 , процесс вычисления δ i , λ i может быть начат со значений
δ1 = - d1 / c1 , λ 1 = r1 /c1
и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i =2,3,..., n , причем при i = n , в силу dn =0, получим δ n = 0.Следовательно, полагая в (2) i = n ,будем иметь
xn = λ n = (rn – bn λ n-1 )/( cn – bn δ n-1 )
(где λ n -1 , δ n -1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn -1 , xn -2 ,…, x 1 при i = n -1, n -2,...,1 соответственно.
Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки , сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ i , λ i по формулам (3) при i =1,2,…, n (прямая прогонка ) и затем неизвестных xi по формуле (2) при i = n -1, n -2,...,1 (обратная прогонка ).
Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.
Будем называть прогонку корректной , если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой , если |δ i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }.
Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.
Теорема
Пусть коэффициенты bi и di уравнения (1) при i =2,3,..., n -1 отличны от нуля и пусть
| ci |>| bi |+| di | i =1,2,…, n . (4)
Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. с i + bi δi -1 ≠ 0, |δ i |< 1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.
При i = 1, в силу (4), имеем:
| c1 |>| d 1 |≥ 0
- неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же
|δ 1 |=|- d1 / c1 |< 1
Предположим, что знаменатель (i -1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ i -1 |< 1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:
|с i + bi δi -1 |≥| ci | - | bi δi -1 |>| bi |+| di | - | bi |*| δi -1 |= | di |+| bi | (1 - |δi -1 |)> | di | >0
а с учетом этого
|δ i |=|- di / с i +bi δi-1 |=| δ i |/| с i +bi δi-1 |< |δ i |/ |δ i |= 1
Следовательно, с i + bi δi -1 ≠ 0 и |δ i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.
Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть
δ 1 = - d1 / c1 , δ i =|- di / ci +bi δi-1 (i=2,3,...,n -1 ),δ n =0
- прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3), а
∆ i = с i + bi δi -1 (i =2,3,..., n )
- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно утверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко убедится, что имеет место представление A = LU , где
c1
0 0 0 ... 0 0 0
b2 ∆2 0 0...0 0 0
L= 0b3 ∆3 0 ...0 0 0
…………………………
0 0 0 0 ... bn -1 ∆ n-1 0
0 0 0 0 ... 0 bn ∆ n
|
|
1 -δ1 0 0 ... 0 0 0
01 δ2 0...0 0 0
U= 0 01δ3 ...0 0 0
…………………………
0 0 0 0 ... 0 1 -δn-1
0 0 0 0 ... 0 0 1
Единственное в силу утверждение теоремы LU -разложения матриц. Как видим, LU-разложение трехдиагональной матрицы А может быть выполнено очень простым алгоритмом, вычисляющем ∆ i δ i при возрастающих значениях i . При необходимости попутно может быть вычислен
n
det A = c1 ∏ ∆ i .
i=2
В заключение этого пункта заметим, что, во-первых, имеются более слабые условия корректности и устойчивости прогонки, чем требуется в теореме условие строгого диагонального преобладания в матрице А . Во-вторых, применяется ряд других, отличных от рассмотрения нами правой прогонки, методов подобного типа, решающих как поставленную здесь задачу (1) для систем с трехдиагональными матрицами (левая прогонка, встречная прогонка, немонотонная, циклическая, ортогональная прогонки и т.д.), так и для более сложных систем с матрицами ленточной структуры или блочно-матричной структуры (например, матричная прогонка).
Список используемой литературы
В.М. Вержбитский «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», Москава «Высшая школа 2000».