Магнитогорский Государственный технический университет
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0
,x1
] и [x1
,x2
] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0
,y0
), M1
(x1
,y1
), M2
(x2
,y2
) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2
+ Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y
= Ax2
+ Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0
+ 4y1
+ y2
),
(☺)
где у0
и у2
– крайние ординаты, а у1
– ордината кривой в середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=Δx):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
И
Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).
Были получены следующие ответы:
При n = 20.
Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0 '(*)
b = 1 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***)
End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 2 '(*)
b = 5 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x)) '(***)
End Function
Другие работы по теме:
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.
Вычисление определенного интеграла
Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
Приближенное вычисление интеграла
Содержание Введение 2 1. Различные методы вычисления определенных интегралов 3 1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций F(x) по заданному промежутку и его реализация на языке Pascal 4
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Формулы шпаргалка
Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
Несобственные интегралы
Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Несобственные интегралы» 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна.
Гамма функции
Бэта-функции Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: (1.1) сходятся при .Полагая =1 – t получим: т.e. аргумент входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Несобственные интегралы
Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
Нахождение интегралов в среде Pascal
Методика и основные этапы нахождения интеграла функции sin (x+10)+x4=0 с помощью двух подходов: метод прямоугольников и метод трапеций. Составление соответствующей программы в среде Pascal. Оценка возможностей пользователя при решении данного задания.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Приближенное вычисление значений определенного интеграла
Сущность и особенности применения метода средних треугольников. Порядок расчета по методу трапеций и Ньютона-Котеса. Формула Чебышева и значения узлов ее квадратуры. Составление блок-схемы программы и ее основных процедур различными численными методами.
ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции
Изучение представления, основных способов расчета для целых положительных, простых чисел и ряда точек, и вычисления путем аппроксимации логарифма гамма-функции. Предоставление функциональных моделей, блок-схем и программной реализации решения задачи.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.