С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1
, a2
, ..., an
– положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
a1
+ a2
+ ... + an
n
|
> |
n
|
|
a1
a2
... an
|
. |
|
(1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn
и докажем его в такой форме:
(Sn
) n
> a1
a2
... an
. |
(2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
a1
≤ a2
≤ ... ≤ ak
≤ Sn
≤ ak+1
≤ ... ≤ an–1
≤ an
. |
(3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
b |
b – a
b
|
< |
∫ |
dt
t
|
= ln |
b
a
|
< |
b – a
a
|
, |
a |
|
(4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
b – a
b
|
= ln |
b
a
|
= |
b – a
a
|
. |
Из (3) и (4)
Sn
– a1
Sn
|
+ |
Sn
– a2
Sn
|
+ ... + |
Sn
– ak
Sn
|
≤ ln |
Sn
a1
|
+ ln |
Sn
a1
|
+ ... + ln |
Sn
ak
|
, |
|
(5) |
или
kSn
– (a1
+ a2
+ ... + ak
)
Sn
|
≤ ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
. |
|
(6) |
Опять-таки из (3) и (4)
ln |
ak+1
Sn
|
+ ln |
ak+2
Sn
|
+ ... + ln |
an
Sn
|
≤ |
ak+1
– Sn
Sn
|
+ |
ak+2
– Sn
Sn
|
+ ... + |
an
– Sn
Sn
|
, |
|
(7) |
или
ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
≤ |
(ak+1
+ ... + an
) – (n – k)Sn
Sn
|
. |
|
(8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
≤ ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
. |
|
(9) |
Поскольку среди чисел a1
, a2
, ..., an
есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
ln |
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
< ln |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
, |
или
ak+1
ak+2
... an
(Sn
) n–k
|
< |
(Sn
)k
a1
a2
... ak
|
, |
откуда вытекает (2).
Если же a1
= a2
= ... = an
, то, очевидно,
a1
+ a2
+ ... + an
n
|
= |
n
|
|
a1
a2
... an
|
. |
Другие работы по теме:
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Интегралы, зависящие от параметра
Министерство образования и науки РФ Федеральное Агентство по образованию ГОУ ПВО «Таганрогский государственный педагогический институт» Курсовая работа
Комплексный анализ
Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).
Применение графиков в решении уравнений
Основная часть: Применение графиков в решении уравнений. I)Графическое решение квадратного уравнения: Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Численные методы
Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер. Область, использования линейных моделей ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Методо МНК для линейной функции.
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Содержание 1. Признак Даламбера 2. Признак Коши 3. Интегральный признак сходимости ряда 4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Биография Огестена Луи Коши
Коши, Огюстен Луи Дата рождения: 21 августа 1789 Место рождения: Париж Дата смерти: 23 мая 1857 (67 лет) Место смерти: Со (О-де-Сен) Страна: Франция Научная сфера:
Дифференциальные уравнения
Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
Основы математического анализа
Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.
Преобразование Фурье
Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Интегралы, зависящие от параметра
Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Применение неравенств при решении олимпиадных задач
Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Определение верхнего центрального показателя диагональной системы и поиск верхнего центрального числа соответствующего конечного семейства, условия их совпадения. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций. Норма матрицы Коши.
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.