1. Пять студентов садятся в поезд, имеющий десять вагонов. Каждый из студентов с одинаковой вероятностью может сесть в любой из вагонов. Какова вероятность того, что двое студентов окажутся в одном вагоне, а остальные – в разных?
Решение
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми 5 студентов может сесть в один из 10 вагонов, то есть:
Подсчитаем количество благоприятствующих исходов событию А:
Двое студентов из пяти сели в один вагон (из 10):
- возможных сочетаний 2 студентов из 5
- возможных исходов
Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 9 вагонов:
Количество студентов для перебора – 3.
Кол-во вагонов для перебора – 9.
Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 8 вагонов:Количество студентов для перебора – 2.
Кол-во вагонов для перебора – 8.
Последний студентов садится в один из оставшихся 7 вагонов:
Количество студентов для перебора – 1.
Кол-во вагонов для перебора – 7.
Итого количество благоприятствующих исходов
Искомая вероятность:
Ответ: 0,15%
2. В одном альбоме из 100 марок 45 марок погашены. В другом альбоме, содержащем такое же число марок, погашенных нет. Из первого альбома во второй переложена марка. Какова вероятность того, что извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной?
Решение
Обозначим через А событие – "извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной".
После того как из первого альбома переложили во второй одну марку, во второй урне оказалось две совокупности марок:
100 не погашенных марок, первоначально содержащихся в альбоме;
Одна марка, переложенная из первого альбома.
Вероятность появления непогашенной марки из первой совокупности равна , т.к. все марки, первоначально содержащиеся в альбоме, непогашенные, а из второй .
Вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит первой совокупности , где - кол-во вариантов благоприятствующих событию (100 марок в первой совокупности), и - общее кол-во вариантов (100 марок плюс одна переложенная из первого альбома). Аналогично вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит второй совокупности
Используя формулу полной вероятности, получим:
Ответ:
3. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить единицу, или при 24-х бросаниях двух игральных костей хотя бы раз получить две единицы?
Решение
Обозначим А событие – при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной выпадет единица.
Вероятность выпадения единицы для всех костей одинакова и равна , соответственно вероятность выпадения другого числа равна .
Событие А подразумевает выпадение единицы на одной игральной кости или на двух, на трех, на четырех. Обратным для данного события будет событие, при котором ни на одной игральной кости не выпадет единицы. Найдем вероятность данного события. Выпадение числа отличного от единицы на каждом из 4ех кубиков это независимые события, поэтому применить теорему умножения, получим:
Вероятность события А равна:
Событие В – при 24х бросаниях 2х костей хотя бы раз выпадет две единицы.
Вероятность выпадения двух единиц равна , вероятность выпадения одной или нуля единиц равна .
Для вычисления вероятности появления события В так же удобно найти вероятность обратного события, т.е. вероятность события при котором ни в одном испытании не выпаде двух единиц. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
Итак,
Вероятность события В равна:
Ответ: событие А вероятнее.
4. Каждый из пяти студентов может с одинаковой вероятностью сесть в любой из четырех идущих друг за другом автобусов. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа студентов, севших в первый автобус. Найти вероятность того, что: а) в первый автобус сел хотя бы один студент, б) в первый автобус село не более трех студентов.
Решение
Вероятность студента сесть в один из 4х автобусов равна , вероятность для всех студентов одинакова, .
Построим ряд распределения случайной величины Х - число студентов, севших в первый автобус.
Вычислим вероятность для каждого , используя формулу Бернулли:
Построим ряд распределения случайной величины Х:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,2373 |
0,3955 |
0,2637 |
0,0879 |
0,0146 |
0,001 |
Найдем математическое ожидание по формуле:
Дисперсию найдем по формуле:
Среднеквадратическое отклонение:
а) вероятность того, что в первый автобус сел хотя бы один студент:
сумма вероятностей ряда распределения равна единице, поэтому допустимо вычислить вероятность от обратного(в автобус не село ни одного студента).
б) вероятность того, что в первый автобус село не более трех студентов:можно рассмотреть событие: в автобус не село 4 или 5 студентов.
5. Распределение случайной величины X определяется плотностью распределения вероятностей (распределение Лапласа):. Найти функцию распределения вероятностей F(x) и построить графики функций f(x) и F(x). Найти M(X), D(X) и σ. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в промежуток .
Решение
По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:
Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и
Графики функций для
Математическое ожидание и дисперсия
В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей рассматриваются пределы вида .
Мат. ожидание:
Дисперсия:
Вычислим вероятность попадания случайной величины X в промежуток :
Другие работы по теме:
Схема Бернуллі
Дослідження послідовності (серії) n випробувань. Особливості застосування формули Бернуллі. Знаходження ймовірності того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n-m разів. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Вероятностная оценка риска
Под риском проекта (project risk) понимается степень опасности для успешного его осуществления. Риск, связанный с проектом, характеризуется тремя факторами: событие, связанное с риском; вероятность риска; сумма, подвергаемая риску.
Блез Паскаль Биография
Text Французский религиозный философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль родился в Клермон-Ферране в семье высокообразованного юриста, занимавшегося математикой и воспитывавшего своих детей под влиянием педагогических идей М. Монтеня. Получил домашнее образование; рано проявил выдающиеся математические способности, войдя в историю науки как классический пример отроческой гениальности.
Методы обработки статистических данных
Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы” ОБРАБОТКА ДАННЫХ Учебная программа для специальности: 1-03 03 08-02 Олигофренопедагогика. Логопедия.
работа
Челябинский институт путей сообщения – филиал государственного образовательного учреждения
Буль Boole Джордж
Буль (Boole) Джордж (2 ноября 1815, Линкольн, Великобритания - 8 декабря 1864, Баллинтемпль, Ирландия), английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) ("Исследование законов мышления", 1854), основу функционирования цифровых компьютеров.
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Теория вероятности
Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
Теория вероятностей
Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Список используемой литературы Задание 1 Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Кто придумал t-критерий Стьюдента (Student)?
Это распределение вероятностей, связанное с нормальным распределением. Возникает оно, когда требуется оценить среднее статистической выборки, когда размер выборки, используемой для оценки, мал и дисперсии неизвестны.
Вычисление случайных величин
Задача №1. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC: где S – площадь треугольника ABC.
Элементы комбинаторики 2
Алтайский Государственный Аграрный Университет Индивидуальное задание по теории вероятности. Тема: Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретная случайная величина.
Теория вероятности
Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Случайные процессы
Оглавление Случайная функция, случайный процесс, случайное поле 3 Функция распределения вероятностей случайного процесса 5 Плотность распределения вероятностей случайного процесса 7
Теория вероятностей
Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
Вычисление случайных величин
Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
Предельные теоремы. Характеристические функции
Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.
Основы теории вероятностей
Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Оптимизация алгоритмов поиска
Формировании оценки скрытности случайного события. Разбиение множества с соответствующим законом распределения вероятностей на два подмножества. Разработка оптимального дихотомического алгоритма поиска. Экспоненциальный закон распределения вероятностей.
Муавр, Абрахам де
Введение 1 Биография 2 Научная деятельность Введение Абрахам де Муавр (Abraham de Moivre, 26 мая 1667, Витри-ле-Франсуа—27 ноября 1754, Лондон) — английский математик французского происхождения.
Нейман, Ежи
Е́жи Не́йман (Ю́рий Чесла́вович Не́йман, англ. Jerzy Neyman; 16 апреля 1894, Бендеры Бессарабской губернии — 5 августа 1981, Беркли) — американский математик и статистик, чл. Национальной АН США (1963).
Бернулли, Даниил
План Введение 1 Биография 2 Научная деятельность 4 Труды в русском переводе Введение Дании́л Берну́лли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), выдающийся швейцарский физик-универсал и математик, сын Иоганна Бернулли, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики.
Паскаль (Pascal) Блез
Паскаль (Pascal) Блез (19.VI.1623 - 19.VII.1662) - французский математик, физик и философ.
Буль (Boole), Джордж
Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.
Д'Аламбер, Жан Лерон
Д'Аламбер, Жан Лерон (D'Alembert, Jean Le Rond) (1717–1783), французский математик и философ.
Модели возникновения несчастных случаев
С точки зрения теории вероятностей несчастный случай является случайным событием. В свою очередь, его возникновение чаще всего возможно при одновременном проявлении двух других случайных событий: воздействие потенциально опасного фактора.