Системы линейных уравнений и неравенств

Рефераты по математике » Системы линейных уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств


Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения.

Система m линейных уравнений с nпеременными имеет вид:

 

или

 (1)

где a11 a12 … amn— произвольные числа называемые соответственно коэффициентами при переменных и b1 b2 … bm - свободными членами уравнений.

Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел х1 х2 ... хn при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной если она имеет единственное решение и неопределенной если она имеет более одного решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:


; В=(b1 b2 … bn)т; Х=(x1 x2 … xn)т

где А— матрица коэффициентов при переменных или матрица системы Xматрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов.

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:

А*Х=B (2)

А матрица состоящая из А В Х матриц называется расширенной матрицей:

 

- расширенная матрица.

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные.

Рассмотрим решение системы (1) m линейных уравнений с nпеременными в общем виде:

 (3)


Если m=n то рассмотрим расширенную матрицу. Учитывая правую часть приведем данную матрицу к треугольному виду:

 

Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице запишем в следуюшем виде

 (4)

Если в данном уравнении cnn≠0 cn-1n-1≠0 ... c33≠0 c22≠0 a11≠0 то в первую очередь найдем

xn а затем постепенно поднимаясь находим остольные решения - xn-1 … x3 x2 x1.

Формула Крамера

Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы системы А а Δj — определитель матрицы получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ ≠0 то система имеет единственное решение определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) получили название формул Крамера.

Метод обратной матрицы

Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной а ее определитель Δ=|A| называется определителем системы.

(1) уравнение можно записать в матричном виде

А*Х=B (6)

.

Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1 получим А-1(АХ)=А-1В. Так как А-1(АХ)=( А-1А)Х=ЕХ=Х то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Х=А-1*B (7).

Система n линейных уравнений с n переменными

Решение системы n линейных уравнений с n переменными находять ниже укаженными методами:

1)  Метод обратной матрицы;

2)  Формула Крамера;

3)  Метод Гаусса.

Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными

Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных т.е. r=n то система (1) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных т.е. r<n то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Системы линейных однородных уравнений

Система mлинейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

 (8)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна так как она всегда имеет по крайней мере нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...; 0).

Систему (8) можно записать а виде:

А*Х=0 (9).

Если в системе (8) m=n а ее определитель отличен от нуля то такая система имеет только нулевое решение как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения следовательно возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных т.е. при r(A)<n.