Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми
1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції
Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин і називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:
. (1)
Властивості коваріації:
Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:
Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:
Теорема. Для будь-яких випадкових величин , коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин і з довільним коефіцієнтом та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.
При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної з невід’ємним коефіцієнтом при .
Це можливо лише за умови, що її дискримінант . З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:
або
або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин
.
Тобто
Доведемо тепер другу частину теореми: тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Необхідність:
Достатність:
, , ,
, .
Випадкові величини , називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини , незалежні, то вони некорельовані.
.
Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.
Наприклад,
.
.
Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (,), крім коваріації можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .
Умовним середнім значенням і умовною дисперсією випадкової величини за умови =y називаються величини:
,
.
Аналогічно визначаються характеристики і .
Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:
, .
2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції
Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , є іншим способом опису випадкового вектора (,).
Випадкові величини і називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори (,) і (,).
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Характеристичною функцією випадкової величини називається середнє значення виразу .
.
Функцію називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу:
(2)
Як видно з (2), характеристична функція є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:
Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.
Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .
3. Види збіжності випадкових величин
Послідовність випадкових величин 1, 2…називається такою, що збігається з випадковою величиною в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення від прямує до нуля за умови, що , тобто
.
Величина називається ще СК границею послідовності {n}.
чи .
Оскільки
,
СК збіжність рівносильна виконанню умов:
.
Послідовність випадкових величин збігається з випадковою величиною при за імовірністю, якщо для кожного будь-якого >0
,
.
Збіжність послідовності до випадкової величини за ймовірністю символічно позначається таким чином:
.
Для будь-якої випадкової величини при будь-якому >0
.
.
Наслідок.
Зі збіжності у СК випливає збіжність за ймовірністю.
4. Граничні теореми теорії ймовірностей
Нерівність Чебишева.
.
(3)
Як випливає з нерівностей (3) зі зменшенням дисперсії , основна частина площі під кривої f(x) виявляється зосередженою в околі точки .
Рисунок 1
Внаслідок своєї загальності нерівність Чебишева дає дуже грубу оцінку ймовірності, що входить до неї.
Наприклад, .
, якщо .
Вважають, щопослідовність функцій розподілу , , ,...., ,... збігається до функції розподілу , якщо
в усіх точках неперервності.
Якщо , то .
Практичне використання теорії ймовірностей засновано на такому принципі: випадкову подію, ймовірність якої досить близька до 1, можна вважати достовірною та неможливою при дуже малій ймовірності.
Теореми, що забезпечують виконання такої схеми обробки даних, називаються законами великих чисел.
Теорема Чебишева
Нехай 1, 2…–послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких обмежені
, k=1,2 …
Тоді при будь-якому 0
.
Теорема Бернуллі.
Нехай n – число появ деякої події А в серії з n незалежних іспитів, р – ймовірність появи А в окремому іспиті.
Тоді
тобто для кожного >0
Застосовуючи теорему Чебишева, одержимо формулу, що очікуємо при необмеженій кількості випробувань.
р.
Збіг теоретичних розрахунків із закономірностями, що фактично спостерігаються, свідчить про правильну схему побудови теорії ймовірностей. збіжність випадковий величина ймовірність
Центральна гранична теорема.
Нехай 1,2,…послідовність незалежних випадкових величин, що мають дисперсію D1,D2,…Dn…Треті абсолютні центральні моменти їх обмежені mk=M|k-Mk|3C.
Тоді випадкова величина
розподілена асимптотично нормально із середнім і , тобто
Р(<Sn<)Ф()-Ф()
при n.
Теорема Муавра-Лапласса (окремий випадок).
Нехай n – число появ деякої події А у серії з n незалежних випробувань, р – ймовірність появи події А в окремому випробуванні. Тоді
Теорема дозволяє при досить великих n одержати ймовірність:
Приклад 1. Обчислити ймовірність Р(715<n<725) того, що кількість появ герба в 1500 киданнях буде в межах від 715 до 725.
Другие работы по теме:
Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна
Сутність загальної задачі керованості. Аналіз основних властивостей оптимальних керувань. Доказ теореми – "Принцип максимуму Понтрягіна", особливості її застосування для задачі оптимальної швидкодії. Методика перевірки траєкторій задачі на оптимальність.
Теорема Гауса
Реферат на тему: “ Теорема Гауса” Цілі: Засвоєння та закріплення загальних відомостей про статичні електричні поля. Навчити розв’язувати задачі за допомогою використання теореми Гауса. Виховувати старанність, працелюбність.
Вивчення законів нормального розподілу Релея
Вивчення законів розподілу різних випадкових процесів нормального шуму, гармонійного і трикутного сигналів з випадковими фазами. Перевірка нормалізації розподілу при збільшенні числа взаємно незалежних доданків у випадковому процесі. Вимоги до роботи.
Системи фізичних одиниць величин
Реферат на тему: Системи фізичних одиниць величин Історично першою системою одиниць фізичних величин була ухвалена 7 квітня 1795 року Національними зборами Франції метрична система мір. До її складу увійшли одиниці довжини, площі, об'єму та ваги, в основу яких було покладено дві одиниці: метр та кілограм.
Моменти випадкових похибок
Реферат на тему: Моменти випадкових похибок Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом опису розміщення випадкових похибок навколо істинного значення. Проте для визначення функцій розподілу необхідно виконати досить копітке наукове дослідження і складні обчислення.
Похибки вимірювань
Реферат на тему: Похибки вимірювань При вимірюванні фізичних величин слід чітко розмежувати два поняття: істинні значення фізичних величин та результати їх вимірювань.
Метрологія та взаємозамінність
Гладкі циліндричні з’єднання. Посадка із зазором, з натягом. Перехідна посадка. Калібри для контролю гладких циліндричних деталей. Розмірні ланцюги. Розрахунок методом повної взаємозамінності. Розрахунок імовірнісним методом. Допуски різьбових з’єднань.
Числові функції
Реферат на тему: Числові функції. Числові функції виконують основні математичні операції над цілими та дробовими числами. Користувач може обрати для роботи точну або наближену раціональну арифметику. Для точної раціональної арифметики розмір цілих чисел, чисельників та знаменників обмежений приблизно до 25000 десяткових знаків.
Основні теореми теорії ймовірностей
Тема 2. Основні теореми теорії імовірності На фундаменті міцному будем класти поверхи, перегородки та сходинки, що їх з’єднають на віки. План. Теорема додавання імовірностей несумісних подій..
Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів
Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Системи випадкових величин
Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
Розрахунок типових задач з математичної статистики
Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
Випадковий процес в математиці
Визначення і характеристики випадкового процесу. Марковські ймовірнісні процеси з дискретними станами. Стаціонарна нерегулярна діяльність і ергодична властивість по математичному очікуванню стаціонарного мимовільного процесу і його кореляційна функція.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів
Принципи та алгоритми моделювання на ЕОМ типових випадкових величин та процесів. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками та тих, що приймають дискретні значення. Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятих сигналів як носіїв інформації є випадковим і заздалегідь не є відомий, тому з цього погляду сигнали треба розглядати як випадкові функції часу. Крім того, передавання інформації завжди супроводжується дією різноманітних завад та шумів, тому реальні сигнали є сумішшю корисного сигналу та завади.
Систематична похибка опосередкованих вимірювань
Результат і похибка опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності. Наведені формули обчислення абсолютних і відносних похибок. Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань. Одержання довірчих інтервалів усіх вимірюваних величин.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Сигнали як носії інформації і випадкові функції часу, їх сутність. Випадкова функція - математична модель випадкового сигналу. Статистичні характеристики, властиві випадкового процесу. Одновимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу.
Абсолютна та відносна похибка
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа. Визначення кількості точних знаків. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел. Похибки арифметичних операцій різниці, добутку, частки та степеня.
Нескінченно малі та нескінченно великі величини
Зміна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед загаданого додаткового числа
Послідовності
План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності.
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.
Генерування випадковості чисел
Тема: . План. Рівномірний розподіл. Розподіл Пуассона (самостійно). Експоненціальний розподіл. Нормальний розподіл. Гама – розподіл та розподіл Ерланга.