Реферат на тему: “
Густина (щільність) розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин” a.Густина розподілу (щільність імовірності). Нехай є неперервна випадкова величина з неперервною та диференційованою функцією розподілу .
Густиною ймовірності називається похідна від функції розподілу випадкової величини.
Функція характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.
Терміни “щільність розподілу” або “щільність ймовірності” особливо показові при вживанні механічної інтерпретації розподілу. Тобто, буквально характеризує щільність розподілу маси по , так звану лінійну щільність. Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.
Розглянемо закони розподілу і щільність їх ймовірностей, що найбільш часто зустрічаються:
1) Нормальний закон (закон Гаусса)
Щільність імовірності випадкових величин задається формулою:
,
де — математичне сподівання
— середнє квадратичне відхилення.
2) Рівномірний розподіл
3) Показниковий закон
,
де
.
4) Якщо неперервна випадкова величина приймає тільки додатні значення, а щільність ймовірності визначається
,
де >0
то закон розподілу називається законом Максвела.
5) Закон Ст’юдента
,
де к – параметр розподілу – значення гама функції, яка визначається:
, при
– збігається, так як
6) Закон розподілу визначається щільністю ймовірності
де k – параметр розподілу.
7) Гама-розподіл має щільність ймовірностей
,
В теорії та на практиці зустрічаються випадкові величини, розподілені і по інших законах.
b.Властивості щільності розподілу.
1. Щільність розподілу — невід’ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вище.
f(x)
, отже на усьому інтервалі х (–;) подія вірогідна
Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова величина прийме яке-небудь значення з інтервалу рівна визначеному інтегралу:
.
Зауваження: функція розподілу , як і всяка імовірність, є величина безрозмірна. Розмірність щільності розподілу обернена розмірності випадкової величини.
Приклад.
Знайти випадкової величини, розподіленої за нормальним законом розподілу.
Вводимо заміну
,
, отже
— інтегральна формула Муавра–Лапласа.
Тоді .
Функція розподілу випадкової величини. Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.
xi | X1 | X2 | … | Xn |
Pi | P1 | P2 | … | Pn |
Позначимо
При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X.
Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.
F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.
c.Властивості функції розподілу.
Теорема 1. Ймовірність того, що випадкова величина Y прийме значення , що належить відрізку [], дорівнює прирощенню її функції розподілу на цій ділянці, тобто:
Теорема 2. Функція розподілу будь–якої випадкової величини являє собою неспадну функцію і змінюється від 0 до 1, при зміні x від , тобто:
Приклад:
Команда нараховує 2 стрільці, кількість балів, що вибиваються кожним з них після одного пострілу, являють собою випадкові величини X1та X2 , які характеризуються наступними законами розподілу:
Число балів x1 | 3 | 4 | 5 |
P1 | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Число балів x2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,5 |
Причому результати пострілів одного з них не впливають на результати іншого.
Завдання:
1) Скласти закон розподілу числа балів, що вибиваються командою, якщо стрільці роблять по одному пострілу.
2) Знайти математичне сподівання для команди.
3) Знайти дисперсію.
4) Скласти та збудувати функцію розподілу.
Для розв’язання цієї задачі складемо таблицю:
№ | Xі | Yі | Xі+Yі | P(xі+yі)=P(xі)P(yі) |
1 | 3 | 1 | 4 | 0,30,1=0,03 |
2 | 3 | 2 | 5 | 0,30,1=0,03 |
3 | 3 | 3 | 6 | 0,30,1=0,03 |
4 | 3 | 4 | 7 | 0,30,2=0,06 |
5 | 3 | 5 | 8 | 0,30,5=0,15 |
6 | 4 | 1 | 5 | 0,40,1=0,04 |
7 | 4 | 2 | 6 | 0,40,1=0,04 |
8 | 4 | 3 | 7 | 0,40,1=0,04 |
9 | 4 | 4 | 8 | 0,40,2=0,08 |
10 | 4 | 5 | 9 | 0,40,5=0,2 |
11 | 5 | 1 | 6 | 0,30,1=0,03 |
12 | 5 | 2 | 7 | 0,30,1=0,03 |
13 | 5 | 3 | 8 | 0,30,1=0,03 |
14 | 5 | 4 | 9 | 0,30,2=0,06 |
15 | 5 | 5 | 10 | 0,30,5=0,15 |
Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:
Xі | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Pі | 0,03 | 0,07 | 0,1 | 0,13 | 0,26 | 0,26 | 0,15 |
Для обчислення математичного сподівання випадкової величини х2 складемо закон розподілу величини
| 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| 0,03 | 0,07 | 0,1 | 0,13 | 0,26 | 0,26 | 0,15 |
2) Математичне сподівання
3) Знайдемо дисперсію
4) Функцію розподілу знаходимо за визначенням
,
отже
;
;
;
;
;
;
;
.
Отже графік функції розподілу
Використана література:
Вища математика. Підручник для ВУЗів. – К., 1990.
Другие работы по теме:
Підходи до моделювання активного ризику
Зміст Підходи до моделювання активного ризику Задача 1 Задача 2 Список використаної літератури Підходи до моделювання активного ризику Планування за середніми
Методы монте-карло
Методи монте-карло-ця загальна назва групи методів для рішення різних задач за допомогою випадкових послідовностей. Ці методи (як і вся теорія імовірностей) виросли з спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло - столиця європейського грального бізнесу.
Застосування неперервних випадкових величин в економіці
Поняття випадкової величини як одне з основних понять теорії ймовірностей, способи задавання розподілу ймовірностей. Характеристика ризику в ціноутворенні, проблема обліку, оцінка ризику в ціноутворенні на продукцію великовантажного автомобілебудування.
Статистичні гіпотези та їх перевірка
Вивчення питання про достовірність відмінностей на основі перевірки за вибірковими характеристиками статистичної гіпотези. Огляд відомостей про закони розподілу дискретних, неперервних випадкових величин, які також можуть зустрітися в реальних випадках.
Сутність керування ризиками
Сутність керування ризиками. Якісний аналіз ризиків, як метод їх подолання. Аналіз ризику методами імітаційного моделювання. Алгоритм проведення імітаційного моделювання, генерація випадкових сценаріїв (чинників). Наслідки кількісного аналізу ризику.
Вивчення законів нормального розподілу Релея
Вивчення законів розподілу різних випадкових процесів нормального шуму, гармонійного і трикутного сигналів з випадковими фазами. Перевірка нормалізації розподілу при збільшенні числа взаємно незалежних доданків у випадковому процесі. Вимоги до роботи.
Основні параметри нагнітувачів.
Роботу будь – якого насоса прийнято характеризувати технічними параметрами, до яких належать: подача, напір, потужність, коефіцієнт корисної дії (ккд) і висота всмоктування.
Моменти випадкових похибок
Реферат на тему: Моменти випадкових похибок Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом опису розміщення випадкових похибок навколо істинного значення. Проте для визначення функцій розподілу необхідно виконати досить копітке наукове дослідження і складні обчислення.
Похибки вимірювань
Реферат на тему: Похибки вимірювань При вимірюванні фізичних величин слід чітко розмежувати два поняття: істинні значення фізичних величин та результати їх вимірювань.
Основні теореми теорії ймовірностей
Тема 2. Основні теореми теорії імовірності На фундаменті міцному будем класти поверхи, перегородки та сходинки, що їх з’єднають на віки. План. Теорема додавання імовірностей несумісних подій..
Випадкова величина
ТЕМА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА 1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 – випадання "решки" та 2 – випадання герба.
Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів
Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях
Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Класифікація помилок вимірювання Вимірювання – це процес знаходження якої-небудь фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів; це пізнавальний процес порівняння величини чого-небудь з відомою величиною, прийнятою за одиницю (еталон).
Системи випадкових величин
Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
Розрахунок типових задач з математичної статистики
Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
Математична статистика
Методи рішення задач математичної статистики, яка вивчає статистичні закономірності методами теорії ймовірностей за статистичними даними - результатами спостережень, опитувань або наукових експериментів. Способи збирання та групування статистичних даних.
Випадкова величина
Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів
Принципи та алгоритми моделювання на ЕОМ типових випадкових величин та процесів. Моделювання випадкових величин із заданими ймовірнісними характеристиками та тих, що приймають дискретні значення. Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятих сигналів як носіїв інформації є випадковим і заздалегідь не є відомий, тому з цього погляду сигнали треба розглядати як випадкові функції часу. Крім того, передавання інформації завжди супроводжується дією різноманітних завад та шумів, тому реальні сигнали є сумішшю корисного сигналу та завади.
Особливості математичних моделей мереж зв'язку
Управління процесами передавання повідомлень із оптимальними показниками якості. Визначення моделі мережі зв'язку математичним описом її структури та процесів надходження заявок до кінцевих пунктів. Мережний аналіз і обслуговування схем потоків звернень.
Систематична похибка опосередкованих вимірювань
Результат і похибка опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності. Наведені формули обчислення абсолютних і відносних похибок. Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань. Одержання довірчих інтервалів усіх вимірюваних величин.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Сигнали як носії інформації і випадкові функції часу, їх сутність. Випадкова функція - математична модель випадкового сигналу. Статистичні характеристики, властиві випадкового процесу. Одновимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу.
Температурні явища
Прямопропорційна залежність рідини від атмосферного тиску, чим він більший, тим більша температура, при якій відбувається кипіння води. Температура, при якій кипить рідина, називається
Абсолютні величини в статистиці
Реферат на тему: Абсолютні величини в статистиці. План. Поняття статистичних величин. Види абсолютних величин. І статистичні ряди і статистичні таблиці містять підсумкові дані, які характеризують сукупність одиниць спостереження.
Критерій х кв Пірсона
Реферат на тему: Критерій х Пірсона” Критерій незалежності хі-квадрат Пірсона призначений для перевірки гіпотези про незалежність двох ознак, що задають рядки і стовпці таблиці спряженості. Статистика цього критерію
Генерування випадковості чисел
Тема: . План. Рівномірний розподіл. Розподіл Пуассона (самостійно). Експоненціальний розподіл. Нормальний розподіл. Гама – розподіл та розподіл Ерланга.