Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку,

розв’язані відносно похідної

1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.

Означення 2.1.  Рівняння вигляду

(2.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).

Означення 2.2. Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 2.3. Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовільняє диференціальному рівнянню (2.1) .

Приклад 2.1.  - диференціальне рівняння другого порядку.

При диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається

. (2.2)

Диференціальне рівняння (2.2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (2.3)

Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

Якщо в деякій області функція перетворюється в , то розглядають диференціальне рівняння

.

Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

(2.4)

або в більш загальному виді

(2.5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

(2.6)

Функції будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 2.4. Розв’язком диференціального рівняння (2.3) в інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність , тобто

Розв’язок називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 2.5. Будемо говорити, що рівняння

(2.7)

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (2.3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (2.3) виконується

. (2.8)

Означення 2.6 Будемо говорити, що співвідношення

(1.9)

визначають розв’язок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

. (2.10)

Задача Коші.

Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку

(2.11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1) : знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .

У0

Рис. 2.1.

Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і з

у

найти розв’язок (рис. 2.2)

М

Рис. 2.2

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так : знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М.

В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д.

Теорема Пікара. (без доведення) Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області

і, отже, вона є обмеженою

(2.12)

функція має обмежену частинну похідну по у на D

. (2.13)

При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі

(2.14

Зауваження 2.1. В сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто

. (2.15)

Тут L>0 - найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано. (про існування розв’язку). Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, .

Поняття загального розв’язку, форми його запису.

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с

(2.16)

Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву.

Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння .

Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8. Функцію

(2.17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розвязати відносно с в області D

(2.18)

і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли .

Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для розв’язування задачі Коші константу С

можна знайти згідно

. (2.18)

Інколи в формулі (2.17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші

. (2.19)

Приклад 2.2. Знайти розв’язок диференціального рівняння

у формі Коші. Загальний розв’язок В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки

- розв’язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі

(або , (2.20)

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9. Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв’язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.

З означення випливає, що (2.18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.

(2.21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.

Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню

Означення 2.10. Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.

Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.

Означення 2.11. Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.

Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях С, включаючи . Його можна отримати з загального розв’язку лиш при .

Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.

y

Рис. 2.4

Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння

,

.

Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок.

Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

 вона являється інтегральною кривою;

 перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2.  при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.

Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння

при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.

Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Нехай

(2.22)

загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С

. (2.23)

Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком

. (2.24)

Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.

Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку

(2.25)

або

(2.26)

При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що

(2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то

(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

,

причому в області D. Маємо

(2.29)

З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що

. (2.30)

Доведення. Поскільки інтеграли, то

(2.31)

З (2.31) випливає, що

. (2.32)

Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).