Тема 2. Основні теореми теорії імовірності.
На фундаменті міцному
будем класти поверхи,
перегородки та сходинки,
що їх з’єднають на віки.
План.
Теорема додавання імовірностей несумісних подій..
Залежні та незалежні події, умовні імовірності.
Множення імовірностей.
Імовірність появи хоча б однієї випадкової дії.
Теорема додавання імовірностей сумісних подій..
Надійність системи.
Формули повної імовірності Байєса.
Література.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.: Высшая шк., 1998
Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія імовірності та математична статистика. – К.: Національна академія управління, 1999.
Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. – метод. Посібник. У 2ч. – ч.1. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000.
Додавання імовірностей несумісних подій.
Формулювання | Аналітичний запис |
Імовірність об’єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей. |
|
Якщо випадкові події А1, А2,…,Аn попарно несумісні, то імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх імовірностей. |
) = Р(А1) + Р(А2)+ … +Р(Аn). |
Сума імовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці |
Р(А1) + Р(А2)+…+Р(Аn)=1 |
Сума імовірності протилежних подій дорівнює одиниці | Р (А)+Р(Г)=1 |
Залежні та незалежні події, умовні імовірності.
Формулювання | Позначення |
Випадкові події А та В називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або непояви другої події. |
|
Випадкові події А та В називаються залежними, якщо імовірність появи однієї події не залежить від появи або непояви іншої |
|
Імовірність події В, обчислена при умові появи події А, називають умовною імовірністю події В. |
РА(В) або Р (В/А) |
Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності |
РА (В) = Р(В) |
Множення імовірностей
Формулювання | Аналітичний запис |
Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша полія з’явилася |
Р (А·В) = Р(А) · РА(В) =Р(В)·РВ(А) |
Імовірність сумісної появи двох незалежних випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей цих подій. |
Р(А·В) = Р(А) · Р(В) |
У випадку скінченої кількості незалежних випадкових подій | Р(А1·А2·…·Аn)=Р(А1)·Р(А2)·…·Р(Аn) |
4
Теорема. Імовірність появи хоча б однієї із подій А1, А2,...Аn, незалежних в сукупності , дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей протилежних подій Ā1, Ā2, … , Ān:
Р (А) = 1 – Р(Ā1) Р(Ā2) · … · Р(Ān).
. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події
5. Теорема додавання імовірностей сумісних подій.
Формулювання | Аналітичний запис |
Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи. |
Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В) |
Якщо події А та В незалежні Якщо події А та В залежні | Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В) Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · РА(В) |
6. Надійність системи
Означення. Надійністю системи називають імовірність її безвідмовної роботи в певний час t.
С
истема | Формули для обчислення надійності |
Формули повної імовірності та Баєса
Формулювання | Формула |
Формула повної імовірності. Якщо випадково подія А може настати лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В1, В2, …, Вn, що утворюють повну групу, тоді імовірність події а обчислюється за формулою: |
Р(А)= |
Формула Байєса Вона використовується, коли подія F, яка може настати тільки з однією із гіпотез А1, А2, … , Аn, що утворюють повну групу подій, відбулась і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорних імовірностей цих гіпотез Р(А1), Р(А2), … , Р(Аn), відомих до випробування, тобто потрібно знайти апостеріорні (після досліду) умовні імовірності гіпотез РF(А1), РF(А2), … , РF(Аn) |
Pf (Ai) = |
Другие работы по теме:
Схема Бернуллі
Дослідження послідовності (серії) n випробувань. Особливості застосування формули Бернуллі. Знаходження ймовірності того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n-m разів. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Загальні принципи побудови моделей в економетриці
Предмет, об'єкт, метод та основні завдання економетрики. Розробка і дослідження эконометричних методів (методів прикладної статистики) з урахуванням специфіки економічних даних. Поняття економетричної моделі і її вибір. Типи економетричних моделей.
Моменти випадкових похибок
Реферат на тему: Моменти випадкових похибок Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом опису розміщення випадкових похибок навколо істинного значення. Проте для визначення функцій розподілу необхідно виконати досить копітке наукове дослідження і складні обчислення.
Велика теорема Ферма
Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Основні поняття теорії ймовірностей
Сприймання і усвідомлення понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія, повна група подій, попарно несумісні події, рівно можливі події, елементарні події. Вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
Теорія ймовірностей та математична статистика
Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
Основні напрямки теорії ймовірностей. Сутність понять "подія", "ймовірність події". Перестановки, розміщення та сполучення. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Основні теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності та Байєса.
Випадковий процес в математиці
Визначення і характеристики випадкового процесу. Марковські ймовірнісні процеси з дискретними станами. Стаціонарна нерегулярна діяльність і ергодична властивість по математичному очікуванню стаціонарного мимовільного процесу і його кореляційна функція.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Основні поняття теорії ймовірностей
Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
Випадкові події
Вивчення поняття випадкових подій. Ознайомлення із класичним, статистичним, геометричним, аксіоматичним означеннями, предметом та методами аналізу (комбінаторний), основними співвідношеннями теорії ймовірності. Розгляд залежності та сумісністю подій.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятих сигналів як носіїв інформації є випадковим і заздалегідь не є відомий, тому з цього погляду сигнали треба розглядати як випадкові функції часу. Крім того, передавання інформації завжди супроводжується дією різноманітних завад та шумів, тому реальні сигнали є сумішшю корисного сигналу та завади.
Моделі відкритої мережі
Дипломна робота Моделі відкритої мережі Реферат Об'єктом дослідження є відкриті мережі масового обслуговування. Предметом дослідження є стаціонарний розподіл станів мереж обслуговування.
Моделі відкритої мережі
Дослідження відкритих марковских і полумарковских мереж масового обслуговування із трьома вузлами й циклічною маршрутизацією. Рівняння глобальної рівноваги. Відшукання стаціонарних ймовірностей. Достатня умова ергодичності. Вид стаціонарного розподілу.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Сигнали як носії інформації і випадкові функції часу, їх сутність. Випадкова функція - математична модель випадкового сигналу. Статистичні характеристики, властиві випадкового процесу. Одновимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу.
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Принципи побудови формальних теорій
Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.
Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена
Реферат на тему: Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни.
Суть аксіоматичного методу
Реферат на тему: Суть аксіоматичного методу 1.1 Що таке математика? Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія – властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа.
Послідовності
План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності.
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.
Боголюбов Микола Миколайович - український математик механік фізик
Реферат На тему: Боголюбов Микола Миколайович - український математик, механік, фізик Народився у 1909 р. в Нижньому Новгороді. Після завершення семирічки самостійно займався математикою і фізикою. У віці 17 років закінчив аспірантуру при Академії наук України. В 1934—1958 рр. працював у Київському університеті (з 1936 р. — професор).
Рольова теорія особистості
Основні положення цієї теорії були сформульовані американськими соціологами Дж. Мидом і Р. Минтоном , а також активно розроблялися Т. Парсонсом . От основні положення цієї теорії .
Генерування випадковості чисел
Тема: . План. Рівномірний розподіл. Розподіл Пуассона (самостійно). Експоненціальний розподіл. Нормальний розподіл. Гама – розподіл та розподіл Ерланга.