(задача Эрланга)
Рассматривается N-канальная СМО с отказами:
λпотерь
λобслуживания
υ
υ
υ
λ
ОА1
ОА2
ОАn
G
Любая заявка может быть обслужена любым свободным каналом. Если все каналы заняты, заявка немедленно получает отказ в обслуживании и покидает систему (теряется). Интенсивности входных и выходных потоков:
Считаем, что в этой системе имеются следующие потоки событий:
1)поступление заявок на вход СМО из источника заявок G;
2)обслуживание заявок в каналах.
Будем считать, что первый и второй потоки событий являются простейшими потоками с экспоненциальными законами распределения. Интервал поступления и обслуживания заявок соответственно имеют следующие характеристики:
1)интенсивность потока поступающих заявок характеризуется λ
2)интенсивность обслуживания одним каналом:
- мат.ожидание длительности обслуживания
Т.о. входной поток с интенсивностью λ и поток обслуживания с интенсивностью µ распределены по экспоненциальному закону и следовательно данные потоки являются простейшими, а сами процессы в системе Марковскими. Представим граф схему переходов для этого случая:
Состояния СМО в данном случае нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди состояния, в котором находится система, совпадает с числом занятых каналов)
S0 - все каналы свободны, система свободна
S1 - занят один канал
Sk - заняты k каналов, остальные (n-k) свободны
Sn - заняты все n каналов
µ
2µ
(n-1)µ
nµ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
Sk
Sn-1
Sn
Из состояния Si-1 всегда с интенсивностью входного потока λ система переходит в следующее состояние Si, т.е. в данном случае будет заняе еще один канал и интенсивность перехода в следующее состояние равно интенсивности входного потока λ. Интенсивность обратного перехода возрастает с ростом числа параллельно работающих каналов. Чем больше их работает, тем интенсивнее процесс их освобождения. Для простейших потоков имеем:
Данная схема называется схемой гибели и размножения. Такое название происходит от того, что связаны соседние состояния. Математический аппарат - это Марковский процесс, с дискретными состояниями и непрерывным временем. Для заданной СМО матрица интенсивностей Λ имеет вид:
Пользуясь матрицей Λ запишем уравнения, которые позволяют рассчитать вероятности пребывания системы в каждом из указанных состояний. Распределение вероятностей P0,P1,…,Pn по состояниям S0,…,Sn определяется как решение системы дифференциальных уравнений.
P’(t)=P(t)Λ с начальными условиями:
P0(0)=1
Pi(0)=0, i=1,n;
Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. Вероятности Рi характеризуют среднюю загрузку системы, в частности, Pn - это вероятность получения отказа в обслуживании, т.е. вероятность того, что все каналы заняты и все поступающие заявки будут потеряны. Тогда q=1-Pn - это вероятность обслуживания.
Зная эти вероятности, можно рассчитать различные характеристики эффективности системы.
А - среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени или абсолютная пропускная способность СМО
Q - относительная пропускная способность СМО или вероятность обслуживания поступившей заявки
Другие работы по теме:
Экономико-математическое моделирование
Построение сетевого графика согласно данным структурно-временной таблицы. Определение вероятности отказа и средней длины очереди для систем массового обслуживания. Решение игры в чистых стратегиях, по принципу доминирования и графическим методом.
Понятие и классификация систем массового обслуживания
Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем, с конечным числом состояний и непрерывным временем и работа с ними. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания, их типы и отличия. Сущность метода Монте-Карло.
Расчет себестоимости передаваемой тепловой энергии
В качестве экономической задачи в данной работе нужно рассчитать плановую себестоимость передачи тепловой энергии тепловыми сетями с учетом прогнозирования возможных причин отказов, оказывающих большое влияние на величину планируемых расходов (затрат) на ремонт трубопроводов теплосетей и потерь тепловой энергии с утечками.
Надежность оборудования
Надежность оборудования – один из основных показателей процесса эксплуатации. По определению надежность это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.
Математическое моделирование систем и процессов
Задания на контрольную работу. 1. Произвести моделирование случайной величины в ЕХСЕ варианту методом Монте-Карло. С помощью функции заполнить таблицу требуемым количеством случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0, 1).
Математическое моделирование работы систем массового обслуживания
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Математическое моделирование работы систем массового обслуживания Задание Вариант 1. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются.
Прогнозирование и планирование в условиях рынка
Расчет коэффициента рыночной концентрации и индекс Грефильдаля-Хиршмана. Определение оптимального размера партии, количества поставок в год и общегодовых издержек по складу. Стратегия поведения потребителя и решение центра. Распределение фирм по размеру.
Основные характеристики и параметры надёжности
Изучение понятий работоспособности и отказа как показателей надежности ЭОМ. Изучение основных эксплуатационных свойств машины: безотказность, ремонтоспобность, долговечность, сохраняемость. Расчет вероятности появления неисправностей в компьютере.
Методы теории надёжности
Сущность, основные показатели и понятия надежности. Коэффициенты надежности и методика их расчета. Расчёт количественных характеристик надёжности интегральных микросхем, среднего времени восстановления и коэффициента готовности системы автоматики.
Надежность технических средств
Мероприятия по повышению надежности технических средств, обеспечение непрерывной работы системы, на которую не должны влиять ошибки и сбои. Жизнеспособность вычислительного комплекса, среднее время между отказами, функции ремонтопригодности системы.
Идентификация объекта управления
Изучение метода корреляционного анализа для проверки идентичности математической модели при условии случайного выбора входных и выходных сигналов. Проведение технического диагностирования объекта управления в целях обнаружения отказов оборудования.
Надежность, эргономика и качество АСОИУ
Понятие элемента в теории надежности, расчет их показателей. Восстанавливаемые и невосстанавливаемые элементы. Определение показателей надежности элементов по опытным данным: с выбрасыванием отказавших элементов, с заменой новыми или отремонтированными.
Имитационное моделирование работы систем массового обслуживания
Определение функциональных характеристик систем массового обслуживания (СМО) на основе имитационного моделирования; синтез СМО с заданными характеристиками. Разработка программы на языке SIMNET II; расчет процесса работы СМО; подбор требуемого параметра.
Реализация системы управления реального времени в ОС Windows
Использование драйвера режима ядра и управляющего приложения для создания системных потоков. Имитация обработки данных и организация задержек. Разработка драйвера на языке C++. Конфигурация тестового стенда. Точность изменения задержек и работы таймера.
Показатели надежности восстанавливаемого объекта
Лекция 13 НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ 1. Постановка задачи. Общая расчетная модель При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:
Оценка затрат на качество
Московский гуманитарно-экономический институт ТВЕРСКОЙ ФИЛИАЛ Р Е Ф Е Р А Т студентки учебной группы Мб-431 5 курса факультета экономики и управления
Управление качеством продукции 14
Охарактеризуйте процесс оптимизации создания изделий по критерию качества В рыночной экономике огромное внимание уделяется проблемам качества. Это обусловлено наличием конкурентной среды. По методам осуществления конкуренция делится на ценовую (вытеснение конкурентов путем снижения, сбивания цены) и неценовую, при которой ту же цену предлагается товар с более высокими качественными параметрами и комплексом услуг, что означает в терминах маркетинга “товар с сопровождением”.