Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Кафедра "Высшей математики"
Расчётно-графическая работа по теме:
Математические методы исследования экономики.
(системы массового обслуживания)
Выполнила: ХХХХХХХХ. Проверил: ХХХХХХ Дата
Студент групп ХХХХ Оценка:
Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.
Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере продуктового магазина).
При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.
Визитная карточка организации
Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО).Наименование организации:
Род деятельности: продуктовый магазин
Место расположения:
Время работы: с 8.00 до 23.00, без обеда и выходных
Необходимые данные для анализа системы:
Рассматриваемый промежуток времени:
Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:
2
Рассматриваемые дни:
дни с понедельника по воскресенье включительно.
Рассматриваемый промежуток времени:
17.00 – 19.00
(период наибольшей загруженности системы)
Рассматриваемая единица времени: t = 7,1 минут
X1, X2, …, Xn – число поступивших клиентов в единицу времени.
Y1, Y2, …, Yn – количество обслуженных клиентов в течение единицы времени.
| X | Y |
| 10 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 5 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 8 | 6 |
| 7 | 4 |
| 5 | 4 |
| 5 | 4 |
| 8 | 6 |
| 4 | 4 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 9 | 6 |
| 5 | 4 |
| 7 | 6 |
| 8 | 5 |
| 5 | 5 |
| 8 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 5 |
| 8 | 6 |
| 6 | 4 |
| 6 | 4 |
| 8 | 6 |
| 7 | 6 |
| 5 | 5 |
| 7 | 6 |
Проверив данные выборки на подтверждение гипотезы о том, что они из распределения Пуассона, получаем результат: По Х и по У гипотеза подтверждается.
Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:
<М│М│2> (с очередью).
где: <М│ - функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);
│М│ - функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);
│2> – число приборов в системе;
(с очередью) – дисциплина обслуживания.
λк = λ
kμ, если k = 1,2
mμ, если k >2
μк =
λк = 6,6
5,1k, если k = 1,2
10,2, если k >2
μк =
λ
λ
λ
λ
μ
2μ
2μ
2μ
6,6
6,6
6,6
6,6
5,1
10,2
10,2
10,2
Проанализируем полученные выборки как выборки из распределения Пуассона.
Пусть X(t) – число клиентов в системе в момент t с характеристиками:
Где λk – интенсивность поступления клиентов:
- среднее число клиентов, поступивших в систему, когда система находится в состоянии k в единицу времени.
µk – интенсивность обслуживания клиентов:
- характеризует среднее число обслуженных клиентов в системе, когда система находится в состоянии k в единицу времени.
Следовательно:
- интенсивность поступления клиентов в систему.
- интенсивность обслуживания клиентов.
Определим основные характеристики системы:
Определим коэффициент загруженности системы 
:
, следовательно, условие стационарности выполняется, так как 
В условиях существования стационарного режима
S = 3.3
- доля времени простоя
(1.29k / k!) * 0.23, 0≤ к≤ 2
Pk= (1.29k/ 2*2k-2) * 0.23, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,292/( 2-1)!(1+3,3)(2-1,29) = 0,545
- вероятность, что все приборы заняты
Eq = Рз / µ( m –p) = 0,545 /5,1*( 2-1,29) = 0,151 единицы времени,
т.е 0,151*7,1 =1,072 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev = Eq +1/µ = 0.151 * 1/5.1 = 0.229 единицы времени.
т.е. 0,229*7,1 = 1,626 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex = λ* Ev = 6,6*0,229 = 1,51 - среднее число клиентов в системе в единицу времени (7,1 минут).
Для того чтобы система массового обслуживания работала эффективно, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
P0 ≤ 0,1
Для рассматриваемой системы P0 = 0,23 > 0,1 , это означает, что система работает с чрезмерным простоем и несет тем самым финансовые потери.
Следующее условие, которое должно выполняться:
,
То есть должно выполняться: Eq ≤ 0,392, а в нашем случае Eq = 0,151 единицы времени, то есть условие выполняется.
Рассчитаем значение μ, необходимое для снижения времени простоя системы.
; 
; 
; 
; µ ( 3,3; 4,02]
Прежде чем заново рассчитывать характеристики системы, решим неравенство
µ ( -оо;4,02][4,02;+оо)
и посмотрим пересечение интервалов значения 
, при фиксированном значении
. Решением системы неравенств является единственное значение µ=4,02.
Теперь рассчитаем основные характеристики системы при λ = 6,6 и скорректированном значении µ=4,02.
р = 6,6/4,02 = 1,64
S = 15.1
P0 = 1/1+S = 0.061 доля времени простоя
(1.64k / k!) * 0.061, 0≤ к≤ 2
Pk= (1.64k/ 2*2k-2) * 0.061, к > 2
- вероятность того, что в системе k клиентов
Рз = рm / (m-1)!(1+S)(m-p) = 1,642/( 2-1)!(1+15,1)(2-1,64) = 0,46
- вероятность, что все приборы заняты
Eq = Рз / µ( m –p) = 0,46 /4,02*( 2-1,64) = 0,32 единицы времени
т.е 0,32*7,1 =2,25 минуты в среднем клиент проводит в очереди
Ev = Eq +1/µ = 0.32 * ј,02 = 0.569 единицы времени.
т.е. 0,569*7,1=4,04 минуты клиент в среднем пребывает в системе
Ex = λ* Ev = 6,6*0,569 = 3,75
- среднее число клиентов в системе.
Теперь поставленные условия выполняются:
P0 ≤ 0,1 ( Р0 = 0,061)
( Eq =0,32< 2/4,02; Eq = 0,32<0,497
Уменьшение интенсивности обслуживания клиентов приводит к увеличению качества обслуживания клиентов за счет уменьшения доли простоя системы. При времени, проводимом клиентом в очереди – 2.25 минуты это должно привести к привлечению клиентов. Следует учесть, что качество обслуживания влияет на спрос отпускаемой продукции исследуемой системы, что приведет к увеличению прибыли предприятия.
Надо уменьшить интенсивность обслуживания клиентов, что поможет привлечь новых клиентов и получить прибыль.