Подсказка по алгебре

Формулы сокр. умножения и разложения на множители : (a±b)І=aІ±2ab+bІ (a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі aІ-bІ=(a+b)(a-b) aі±bі=(a±b)(aІ∓ab+bІ), (a+b)і=aі+bі+3ab(a+b) (a-b)і=aі-bі-3ab(a-b) xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+...+an-1) axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2) где x1 и x2 — корни уравнения axІ+bx+c=0

Степени и корни : ap·ag = ap+g ap:ag=a p-g (ap)g=a pg ap /bp = (a/b)p apbp = abp a0=1; a1=a a-p = 1/a pa =b => bp=a papb = pab a ; a = 0

Квадратное уравнение axІ+bx+c=0; (a0) x1,2= (-bD)/2a; D=bІ -4ac D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2 D<0, корней нет. Теорема Виета: x1+x2 = -b/a x1 x2 = c/a Приведенное кв. Уравнение: xІ + px+q =0 x1+x2 = -p x1x2 = q Если p=2k (p-четн.) и xІ+2kx+q=0, то x1,2 = -k(kІ-q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам ((x2-x1)І-(y2-y1)І)

Логарифмы: loga x = b => ab = x; a>0,a0 a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0 loga x = b; x = ab loga b = 1/(log b a) logaxy = logax + loga y loga x/y = loga x - loga y loga xk =k loga x (x >0) logak x =1/k loga x loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1 logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии Арифметическая an = a1 +d(n-1) Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n Геометрическая bn = bn-1  q b2n = bn-1 bn+1 bn = b1qn-1 Sn = b1 (1- qn)/(1-q) S= b1/(1-q)

Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (-) = sin  sin (/2 -) = cos  cos (/2 -) = sin  cos ( + 2k) = cos  sin ( + 2k) = sin  tg ( + k) = tg  ctg ( + k) = ctg  sinІ  + cosІ  =1 ctg  = cos / sin ,   n, nZ tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ 1+tgІ = 1/cosІ , (2n+1)/2 1+ ctgІ =1/sinІ ,  n Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y  /2 + n tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y  /2 + n Формулы двойного аргумента. sin 2 = 2sin  cos  cos 2 = cosІ  - sinІ  = 2 cosІ  - 1 = = 1-2 sinІ tg 2 = (2 tg)/ (1-tgІ) 1+ cos  = 2 cosІ /2 1-cos = 2 sinІ /2 tg = (2 tg (/2))/(1-tgІ(/2))

Ф-лы половинного аргумента. sinІ /2 = (1 - cos )/2 cosІ/2 = (1 + cos)/2 tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin    + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y) tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y) tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tgІ x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2x) sinІ = 1/(1+ctgІ) = tgІ/(1+tgІ) cosІ = 1/(1+tgІ) = ctgІ / (1+ctgІ) ctg2 = (ctgІ-1)/ 2ctg sin3 = 3sin -4sinі = 3cosІsin-sinі cos3 = 4cosі-3 cos= = cosі-3cossinІ tg3 = (3tg-tgі)/(1-3tgІ) ctg3 = (ctgі-3ctg)/(3ctgІ-1) sin /2 = ((1-cos)/2) cos /2 = ((1+cos)/2) tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))= sin/(1+cos)=(1-cos)/sin ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))= sin/(1-cos)= (1+cos)/sin

sin(arcsin ) =  cos( arccos ) =  tg ( arctg ) =  ctg ( arcctg ) =  arcsin (sin) =  ;  [-/2 ; /2] arccos(cos ) =  ;   [0 ; ] arctg (tg ) =  ;  [-/2 ; /2] arcctg (ctg ) =  ;   [ 0 ; ] arcsin(sin)= 1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k] 2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k] arccos (cos) = 1) -2k ; [2k;(2k+1)] 2) 2k- ; [(2k-1); 2k] arctg(tg)= -k (-/2 +k;/2+k) arcctg(ctg) =  -k (k; (k+1)) arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos = = arctg /(1-І) arccos = -arccos(-)=/2-arcsin = = arc ctg/(1-І) arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg = = arcsin /(1+І) arc ctg  = -arc cctg(-) = = arc cos /(1-І) arctg  = arc ctg1/ = = arcsin /(1+І)= arccos1/(1+І) arcsin  + arccos = /2 arcctg  + arctg = /2

Тригонометрические уравнения sin x = m ; |m| = 1 x = (-1)n arcsin m + k, k Z sin x =1 sin x = 0 x = /2 + 2k x = k sin x = -1 x = -/2 + 2 k cos x = m; |m| = 1 x =  arccos m + 2k cos x = 1 cos x = 0 x = 2k x = /2+k cos x = -1 x = + 2k tg x = m x = arctg m + k ctg x = m x = arcctg m +k sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ)

Показательные уравнения. Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч) 1) a>1, то знак не меняеться. 2) a<1, то знак меняется. Логарифмы : неравенства: logaf(x) >(<) log a (x) 1. a>1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x) 2. 0<a<1, то: f(x) >0

(x)>0

f(x)<(x) 3. log f(x) (x) = a ОДЗ: (x) > 0 f(x) >0 f(x )  1 Тригонометрия: 1. Разложение на множители: sin 2x - 3 cos x = 0 2sin x cos x -3 cos x = 0 cos x(2 sin x - 3) = 0 .... 2. Решения заменой .... 3. sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2 sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва : sin  m 2k+1 =  = 2+ 2k 2k+2 = = (1+2)+ 2k Пример: I cos (/8+x) < 3/2 k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k 2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;; II sin  = 1/2 2k +5/6 == 13/6 + 2k cos (=) m 2k + 1 < < 2+2 k 2k+2< < (1+2) + 2k cos   - 2/2 2k+5/4 == 11/4 +2k tg (=) m k+ arctg m == arctg m + k ctg (=) m k+arcctg m < < +k

Производная: (xn)’ = n xn-1 (ax)’ = ax ln a (lg ax )’= 1/(xln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cosІ x (ctg x)’ = - 1/sinІx (arcsin x)’ = 1/ (1-xІ) (arccos x)’ = - 1/ (1-xІ) (arctg x)’ = 1/ (1+xІ) (arcctg x)’ = - 1/ (1+xІ) Св-ва: (u  v)’ = u’v + uv’ (u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ Уравнение касательной к граф. y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0) уравнение к касательной к графику в точке x 1. Найти производную 2. Угловой коофициент k = = производная в данной точке x 3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :  xn dx = xn+1/(n+1) + c  ax dx = ax/ln a + c  ex dx = ex + c  cos x dx = sin x + cos  sin x dx = - cos x + c  1/x dx = ln|x| + c  1/cosІ x = tg x + c  1/sinІ x = - ctg x + c  1/(1-xІ) dx = arcsin x +c  1/(1-xІ) dx = - arccos x +c  1/1+ xІ dx = arctg x + c  1/1+ xІ dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия Треугольники  +  +  =180 Теорема синусов aІ = bІ+cІ - 2bc cos  bІ = aІ+cІ - 2ac cos  cІ = aІ + bІ - 2ab cos  Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=Ѕ(a+b+c)

_____________ S = p(p-a)(p-b)(p-c) S = Ѕab sin  Sравн.=(aІ3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеция.

S = (a+b)/2 h Круг S= RІ Sсектора=(RІ)/360 Стереометрия Параллепипед V=SоснР Прямоугольный V=abc Пирамида V =1/3Sосн.H Sполн.= Sбок.+ Sосн. Усеченная :

H . _____ V = 3 (S1+S2+S1S2) S1 и S2 — площади осн. Sполн.=Sбок.+S1+S2 Конус V=1/3 RІH Sбок. =Rl Sбок.= R(R+1) Усеченный Sбок.= l(R1+R2) V=1/3H(R12+R1R2+R22) Призма V=Sосн.H прямая: Sбок.=Pосн.H Sполн.=Sбок+2Sосн. наклонная : Sбок.=Pпсa V = Sпсa, а -бок. ребро. Pпс — периметр Sпс — пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=RІH ; Sбок.= 2RH Sполн.=2R(H+R) Sбок.= 2RH Сфера и шар . V = 4/3 Rі - шар S = 4Rі - сфера Шаровой сектор V = 2/3 RіH H - высота сегм. Шаровой сегмент V=HІ(R-H/3) S=2RH