Контрольная работа
Основы теории вероятности
Задание 1
Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.
Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
p1 = 0.7
p2 = 0.8
p3 = 0.9
p4 = 0.7
p5 = 0.8
Проверка теоремы с помощью программы:
Текст программы:
Program Cep;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op,i,j,n,m:integer;
a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;
p:array[1..c] of real;
x:array[1..c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;
Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write(' n=',n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x[j]:=0;
a:=random;
if a<p[j] then x[j]:=1;
End;
rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);
If rab>0 then m:=m+1;
End;
pp:=m/n;
writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);
End;
ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp:=ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);
Readln;
End.
Результаты работы программы
Опытов | М-сходы | Вер-ть |
n= 200 n= 300 n= 400 n= 500 n= 600 n= 700 n= 800 n= 900 n=1000 n=1100 n=1200 n=1300 n=1400 n=1500 n=1600 n=1700 n=1800 n=1900 n=2000 n= 100 | M= 163 M= 247 M= 337 M= 411 M= 518 M= 591 M= 695 M= 801 M= 908 M= 990 M= 1102 M= 1196 M= 1303 M= 1399 M= 1487 M= 1576 M= 1691 M= 1782 M= 1877 M= 94 | P*= 0.815 P*= 0.823 P*= 0.843 P*= 0.822 P*= 0.863 P*= 0.844 P*= 0.869 P*= 0.890 P*= 0.908 P*= 0.900 P*= 0.918 P*= 0.920 P*= 0.931 P*= 0.933 P*= 0.929 P*= 0.927 P*= 0.939 P*= 0.938 P*= 0.939 P*= 0.940 |
Вер. в опыте: p= 0.939
Проверка в ручную:
Первый способ:
Второй способ:
Вывод: Теорема Бернулли верна
Задача № 2
Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)
Исходы:
1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1
1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2
1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3
n = 36 – кол-во комбинаций
1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4
1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6
а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26
Вероятность
б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16
Вероятность
в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5
Вероятность
Задача № 3
Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4.
Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.
Задача № 4
В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n<k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.
k = 11, n = 4
а) Все на разных:
n = 114 = 14641
б) Хотя бы два на одном:
Задача № 5
В двух партиях k1 и k2% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.
k1 = 86% , k2 = 32%
A1 - доброкачественные в 1-й партии
A2 - доброкачественные в 2-й партии
а). одно бракованное:
б). два бракованных:
в). Одно доброкачественное и одно бракованное:
Задача № 6
Из 1000 ламп ni принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1 = 700 n2 = 90 n3 = 210
p1 = 0.06 p2 = 0.05 p3 = 0.04
Пусть:
H1 – взяли из 1-й партии
H2 – взяли из 2-й партии
H3 – взяли из 3-й партии
Пусть Bi – брак из i - й партии =>
Так как
то =>
Задача № 7
В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.
k = 8, l = 7, m = 3, n = 3
Пусть:
H1 – все чистые марки
H2 – 1-чистая, 2-гашёные
H3 – 2-чистые, 1-гашёная
H4 – все гашёные
По теореме о полной вероятности:
Задача № 8
В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1% первосортных. Куплено одно изделие.
Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.
m1 = 60 m2 = 20 m3 = 20
n1 = 70 n2 = 80 n3 = 90
Пусть:
H1 – поставил первый завод
H2 – поставил второй завод
H3 – поставил третий завод
Пусть: А – первосортных изделий =>
По формуле Бейсса:
=> так как i = 3
Задача 9
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p = 0.3 - вероятность на 1 билет
n = 15 - кол-во купленных билетов
Формула Бернули :
m = 1,2,3,4,…..,n
Производная функция :
q = 1 – p
Наивероятнейшее число выигравших билетов
=>
Наивероятнейшее число выигравших билетов : m0 = 4
- соответствующая вероятность
Задача № 10
Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.
р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове
n = 1000 - кол-во вызовов
m = 7 - кол-во “сбоев”
По закону Пуассона:
=>
Задача № 11
По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.
Биномиальный закон:
n = 3
p = 0.67
=>
=>
Литература
Е.С. Венцель “Теория вероятности”
В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”
Курс лекций по Теории вероятности
Другие работы по теме:
Оценка точности и надежности результатов измерений
Значения показателей и коэффициент вариации. Пределы возможных ошибок, исключение ошибочных результатов. Величина доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей. Средние квадратичные отклонения. Значения коэффициента доверия.
Вероятностная оценка риска
Под риском проекта (project risk) понимается степень опасности для успешного его осуществления. Риск, связанный с проектом, характеризуется тремя факторами: событие, связанное с риском; вероятность риска; сумма, подвергаемая риску.
Надежность и диагностика электрооборудования
Задание по нахождению вероятности безотказной работы электроустановки со всеми входящими в нее элементами. Надежность как важнейший технико-экономический показатель качества любого технического устройства. Структурная надежность электрической машины.
Способ определения живучести связи (вероятности связности)
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Надежность, эргономика, качество АСОИУ
Структурная схема надежности технической системы. График изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки до уровня 0,1-0,2. 2. Определение Y-процентной наработки технической системы.
Случайные процессы в статической динамике
Динамика процесса управления в статической схеме, основные понятия теории вероятности, функция распределения, плотность вероятности, законы распределения. Числовые характеристики случайных величин. Случайные процессы и их статистические характеристики.
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Теория вероятности
Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
Задача по Математике 5
Задача № 74 Случайная величина х задана функцией распределения. Требуется: 1) найти функцию плотности вероятности f(x); 2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;
Элементы комбинаторики 2
Алтайский Государственный Аграрный Университет Индивидуальное задание по теории вероятности. Тема: Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретная случайная величина.
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Оценка точности и надежности результатов измерений
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Цель работы: по данным результатов измерений найти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможных ошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации, определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительных вероятностей.
Поиск заданной вероятности
Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из 3-х его членов. Поиск вероятности того, что в подкомитет войдут: 2 бухгалтера и менеджер; бухгалтер, менеджер и инженер; хотя бы один бухгалтер.
Теория вероятностей
Теория вероятностей: биноминальный закон, закон Пуассона. Задачи. Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов. Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
Теория вероятностей
Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
Способ определения живучести связи вероятности связности
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ. Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями. Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии проектирования оценку различных вариантов их построения.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Построение графика изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0.1 - 0.2. Анализ зависимостей вероятностей безотказной работы.
Количественная мера информации
Основы теории передачи информации. Экспериментальное изучение количественных аспектов информации. Количество информации по Хартли и К. Шеннону. Частотные характеристики текстовых сообщений. Количество информации как мера снятой неопределенности.
Расчет структурной надежности системы
Структурная схема надежности технической системы. Вероятность безотказной работы системы, ее график. Метод разложения относительно особого элемента. Период нормальной эксплуатации и экспотенциальный закон. Процентная наработка системы и резервирование.
Происхождение человека 9
Жизнь с каждым днем доказывает, что в этом мире нет случайностей. Теория вероятности существует, но множество событий жизни происходят так, что становится очевидно, что есть кто-то "главнее" . Известно, что Библия писалась людьми, учениками Бога. Однако я не отрицаю, что, возможно, она писалась с Божьей помощью.
Айзерман Марк Аронович
АЙЗЕРМАН Марк Аронович (1913-92), российский ученый в области теории управления, представитель первого поколения кибернетиков в нашей стране, доктор технических наук.
Бонгард Михаил Моисеевич
Бонгард Михаил Моисеевич (1924-71), российский ученый в области кибернетики, физиологии зрения и психологии мышления, один из создателей теории узнавания.
Ляпунов Алексей Андреевич
Ляпунов Алексей Андреевич (1911-73), российский математик, член-корреспондент АН СССР (1964). Автор трудов по теории множеств, математическим вопросам кибернетики, математической лингвистике.