С биномиальными коэффициентами проще иметь дело, когда их аргументами являются целые неотрицательные числа, однако возможны и полезны и более общие рассуждения. Наиболее полезно обычно рассматривать случай, когда нижний индекс — вещественное число, а верхний индекс — целое число, сделав при этом предположение, что оба аргумента могут быть вещественными или даже комплексными.
Например, рассмотрим тождество
которое верно для всех вещественных .
Это тождество очевидно для всех целых неотрицательных . Убедиться в этом довольно легко, нужно лишь выписать выражения для биномиальных коэффициентов и .
Но подождите минутку. Мы утверждали, что тождество верно для всех вещественных , а наше доказательство справедливо только тогда, когда целое неотрицательное… Разве это не обман?
Нет, это не обман. Обе части равенства являются полиномами относительно . Если два многочлена степени совпадают в точке, они должны совпадать и во всех остальных точках. Но эти полиномы равны в бесконечном числе точек, а именно для всех целых неотрицательных чисел, и поэтому они должны быть равны.
Это обычная хитрость при работе с биномиальными коэффициентами. Это позволяет нам использовать комбинаторные аргументы для доказательства теорем, которые распространяются на случаи, когда биномиальные коэффициенты не имеют комбинаторной интерпретации. Но это также полезно и в более общих случаях. Часто, когда составляют уравнение, говорят, что два многочлена равны, хотя мы не думаем о частях уравнения как полиномах. Но если мы признаем, что это многочлены, для доказательства тождественности нам нужно будет только доказать равенство левой и правой частей уравнения в конечном числе точек.
Подобная техника является общей и для комплексных переменных. Часто доказывают тождество, считая переменные вещественными, комплексную версию при этом получают бесплатно. Например, все тригонометрические тождества, которые вы видели в школе, остаются в силе, когда аргументы являются комплексными числами. Почему? Потому что аналитические функции — это, грубо говоря, полиномы бесконечной степени (то есть они представимы в виде сходящихся степенных рядов). Если две аналитические функции совпадают на бесконечном множестве, содержащем предельные точки (например, на прямой), то они совпадают всюду.
Другие работы по теме:
Основы демографичекой статистики
Международный Славянский Институт Вышневолоцкий филиал Факультет: «Экономика и организация предпринимательства» Специальность: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Основы демографичекой статистики
Численность населения. Основные показатели, характеризующие естественное движение населения. Рождаемость, смертность, естественный прирост населения. Коэффициент рождаемости. Соотношения между рождаемостью и смертностью. Средняя продолжительность жизни.
Расчет централизованных вакуумных систем
В централизованных вакуумных системах откачки одним насосом одновременно откачивается несколько объектов подключенных к общему коллектору . Пример централизованной системы является подключение нескольких высоковакуумных насосов к одному форвакуумному насосу . Расчетная схема централизованной откачки показана на рис. 1 .
Нахождение объема бетонной строительной конструкции
Проведение аппроксимации данных с помощью Excel, расчет площадей (отдельно для выпуклой и вогнутой кривых периферического, серединного и корневого сечения) и целевой функции V с целью нахождения полного объема бетонной строительной конструкции.
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Angel
Американская команда "Angel" была основана в 1975 году Панки Мидоусом (гитара), Франком Димино (вокал), Грегом Джиуффриа (клавишные), Мики Джонсом (бас) и Барри Брандтом (ударные).
Godflesh
Индастриал-дуэт из Бирмингема образовался в 1988 году. Джастин Бродрик начинал свою карьеру еще в "Napalm death" и терзал гитару на их первом диске "Scum". Однако брутальный стиль "Напалма" его мало привлекал.
Элементы комбинаторного анализа
Глава 1 Элементы комбинаторного анализа 1.1. Начальные понятия теории множеств Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых объектов. Объекты при этом называют элементами образуемого ими множества.
Аналитическая математика
Глава 1. Уравнения, системы уравнений. 1. Линейные уравнения. Уравнение первой степени вида , называется линейным уравнением. Где - переменные, числа
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Матрицы действия с ними
Контрольная работа на тему: «Матрицы, действия с ними» Историческая справка Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.
Алгебраические числа
Краткий исторический очерк. Поле алгебраических чисел. Понятие числового поля. Алгебраическое число. Поле алгебраических чисел. Рациональные приближения алгебраических чисел. Теорема Лиувиля. Трансцендентные числа Лиувиля.
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Корреляционно-регрессионные модели и их применение в анализе и прогнозе
Корреляционно-регрессионной моделью (КРМ) системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает высоким (не ниже 0,5) коэффициентом детерминации и коэффициентами регрессии, интерпретируемыми в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе.
Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов
Принцип действия и устройство решетчатых фильтров, назначение и достоинства. Синтез решетчатого фильтра. Генерация случайных процессов на основе фильтра с решетчатой структурой. Система уравнений, описывающая фильтр с долговременным предсказанием.
Литвак, Света
Введение 1 Труды 1.1 Книги 1.2 Бук-арт 1.3 Персональные выставки 2.1 Стихи 2.2 Визуальная поэзия 2.3 Статьи 2.4 Интервью 2.5 Цветная графика 2.6 Фото 2.7 Видео
Рубеж Танненберг
» — комплекс германских оборонительных сооружений в Эстонии на Нарвском перешейке между Финским заливом и Чудским озером во время Великой Отечественной войны. Рубеж обороны Оперативной группы «Нарва», входившей в состав Группы армий «Север». Занята советскими войсками в ходе Таллинской операции 1944 года.
Анимация без лишних усилий
Отличные результаты можно получить используя только функции WinAPI или возможности Delphi. Я рассмотрю несколько таких необычных возможностей, причем самый большой пример будет состоять из менее чем 10 (!) строк кода.
Подготовка и решение на ПК задач с разветвлением
Рациональные корни полинома n-й степени с целыми коэффициентами. Значение функции Y(x) при различных значениях исходных данных. Алгоритм: по номеру года вывести его название с использованием оператора switch/case. Исходные коды программ, тестирование.
Технология MMX
О технологии MMX(tm) Технология MMX(tm): более высокая производительность при выполнении мультимедийных и коммуникационных приложений Технология MMX является
Д'Аламбер, Жан Лерон
Д'Аламбер, Жан Лерон (D'Alembert, Jean Le Rond) (1717–1783), французский математик и философ.