Джон Конуэй, Майкл Гай
Разрешены символы и , обычные обозначения для корней и , степени, факториалы и десятичные обозначения и . Само число , логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе . Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как .
Например,
очень хорошее приближение , и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку при .
Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, , так что можно получить последовательность приближений и (например, или ). В нашем лучшем результате такого вида для используется семь четверок, и он выведен из формулы
.
Также можно записать с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера .
Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре -ки и обычные действия.
Доказательство. Из формулы
следует, что для достаточно больших
,
поскольку предел этого выражения при равен и . Пусть теперь натуральное число, и , и положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как
где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень раз, получаем
.
Теперь мы можем взять в виде , так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре -ки. Так как числа для целых и натуральных плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.
Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число равно для подходящих целых значений и .
Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.
Остаются вопросы:
1. Существует ли “точная’’ формула для с менее, чем семью четверками?
2. Существует ли какая-либо точная формула для ?
3. Являются ли числа плотными на множестве ?
Другие работы по теме:
Квантовые числа
Квантовые числа - энергетические параметры состояния электрона и тип атомной орбитали. Главное квантовое число - n. Орбитальное квантовое число - l. Магнитное квантовое число - ml. Спиновое квантовое число - ms.
Олимпийские игры
История возникновения, продолжительность, участники и особенности проведения первых олимпийских игр в Олимпии (Южная Греция), а также их значение в жизни древних греков. Общая характеристика, описание и основные правила первых олимпийских соревнований.
Число православных в мире
Число православных в мире составляет, по разным подсчетам, от 125 до 180 миллионов. Ситуация, в которой находится большинство Поместных Православных Церквей, делает сложным, почти невозможным делом ведение какой-либо статистики, остающейся, как мы видим, весьма приблизительной.
Оценка качества труда 2
Оценка качества труда Задание На примере работы функциональных и линейных органов организации провести оценку качества труда с использованием комплексного показателя- индекса дефектности.
Оценка качества труда
Оценка качества труда на примере работы функциональных и линейных органов организации с использованием комплексного показателя - индекса дефектности.
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: Аx +Вy= Сz/1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Логарифмы 2
ЛОГАРИФМЫ Определение : Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М -1 , где - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как
Осада Наварино 1825
Введение 1 Предыстория 2 География 3 Креммиди 4 Подготовка 5 Крепости 6 Сфактирия 7 Корабли 8 Пальокастро 9 Ньокастро 10 Последствия Введение Осада и взятие крепостей Пилоса (Наварино) турецко-египетскими войсками и флотом в 1825 г. - одно из важнейших событий Освободительной войны Греции 1821-1829 гг.
Перепись населения США 1830
План Введение 1 Список вопросов 2 Результаты переписи 3 Доступность информации Список литературы Введение Перепись населения США 1830 года была пятой по счету переписью населения, проводимой на территории США. Она была проведена 1 июня 1830 года. Численность населения 24-х штатов по итогам переписи была определена в 12 866 020 человек, из которых 2 009 043 были рабами.
Перепись населения США 1820
План Введение 1 Список вопросов 2 Результаты переписи 3 Недостатки Список литературы Введение Перепись населения США 1820 года была четвертой по счету переписью населения, проводимой на территории США. Она была проведена 7 августа 1820 года. Численность населения по итогам переписи была определена в 9 638 453 человек, из которых 1 538 022 были рабами.
Перепись населения США 1800
План Введение 1 Вопросы 2 Доступность информации 3 Сводная информация Список литературы Введение Перепись населения США 1800 года была второй переписью населения проводимой в США. Она была проведена 4 августа 1800 года.
Перепись населения США 1790
План Введение 1 Результаты переписи Список литературы Введение Перепись населения США 1790 года — первая перепись населения в истории Соединенных Штатов. Её итоги были подведены 2 августа 1790 года и показали, что в стране на тот момент проживало 3 929 326[1] человек, из которых 697 681[1] были рабами.
Новые подходы к проблемам конца речевого сигнала
Сформулирована одна из актуальных проблем, связанная с сегментацией речевого сигнала на отдельные звуки в компьютерных системах распознавания речи. Рассмотрены основные алгоритмы сегментирования речевого сигнала.
Для чего нужна процедура Function?
Функция выполняет служебное действие, например вычисление, и возвращает значение. Вызвать функцию можно, написав её имя и передав ей аргументы, в нужном месте вашей программы.
Основы информатики
Общее представление о системах счисления. Перевод чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Разбивка чисел на тройки и четверки цифр. Разряды символов числа. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.
Операции сложения и вычитания
Алгоритм выполнения операции сложения, вычитания. Сложение чисел в столбик. Проверка получившихся результатов, переведение их в другую систему счисления. Перевод числа 128 из 8-й в 10-ую систему счисления и числа 11011101 из 2-й в 10-ую систему счисления.
Коды и системы записи чисел
Запись прямого и обратного кода для числа 10010 и -10010. Получение дополнительного кода числа для 16-разрядной ячейки. Перевод в двоичную систему счисления десятичных чисел: 10, 45, 7, 33. Запись в обратном и дополнительном кодах числа -67, -43, -89.
Intel Pentium 4
Архитектура Intel NetBurst. Чипсет и системная шина. Тестирование Pentium 4.
Летние наблюдения за топинамбуром
Коготков Александр (7 класс) Гимназия № 1567, Москва Топинамбур, земляная груша (Heliantus tuberosus), многолетнее клубненосное растение семейства сложноцветных. Наземной частью напоминает подсолнечник. Стебель прямой крепкий, наверху ветвящийся, высота 1,2-2,5 м, иногда до 4 м (в южных районах).