Асп. Музаев Н.И.
Кафедра математики.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет
Составлена математическая модель волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. Модель представляет начально-краевую задачу математической физики для потенциала средней по ширине векторной скорости. В основном дифференциальном уравнении начально-краевой задачи в качестве переменных коэффициентов содержится ширина водохранилища, зависящая от продольной и вертикальной координат. Составленная математическая модель позволяет решить широкий класс прикладных задач, связанных с теорией колебаний и волн в узких глубоких непризматических водохранилищах.
Предположим, что в прямоугольной системе координат xoyz часть пространства, ограниченная условиями 0 £ x £ l, – 1/2 B(x, z) £ y £ 1/2 B(x, z), –H £ z £ 0, представляет узкое глубокое непризматическое водохранилище. Ось oz направлена вертикально вверх, ось ox направлена в продольном, а ось oy – в поперечном направлении водохранилища. L – длина, B(x,z) – ширина, H – глубина водохранилища. Как правило, в горных условиях водохранилища строятся в узких глубоких каньонах ущелий рек. В связи с этим в дальнейшем будем считать, что ширина водохранилища B(x, z) намного меньше, чем ее длина. Кроме этого будем считать, что градиенты в поперечном направлении поля скоростей и гидродинамического давления намного меньше, чем градиенты в продольном и вертикальном направлении водохранилища. Ширина схематизированного водохранилища зависит от продольной и вертикальной координат B = B(x, z), т.е. рассматривается водохранилище с непризматической конфигурацией как в продольном, так и в вертикальном направлении. Для таких водохранилищ решение пространственной задачи волнового движения воды связано с большими математическими трудностями и в мире никем не решена.
В связи с этим трехмерные дифференциальные уравнения гидродинамики интегрально усредняют по площади живого сечения воды, в результате получают одномерные дифференциальные уравнения движения воды в естественных водоемах. В связи с тем, что водохранилища в горных местностях являются глубокими и узкими, то, в отличие от теоретической гидравлики, трехмерные уравнения гидродинамики мы интегрально усредняем только по поперечной координате y, а вертикальную координату оставляем без изменений.
В гидродинамике волнового движения жидкости дифференциальные уравнения используют в «отфильтрованном» виде, т.е. пренебрегают нелинейные члены как малые величины по сравнению с линейными членами. В проекциях на оси x, y и z эта система в «отфильтрованном» виде запишется так [1-3]:
; ; ; (1)
,
где приняты следующие обозначения: Vx , Vy и Vz – скорости в продольном, поперечном и вертикальном направлениях соответственно, зависящие от всех пространственных координат и времени t ; r – плотность; P – гидродинамическое давление; a – скорость звука в воде.
Усредним интегрально систему дифференциальных уравнений (1) по поперечной координате y.
; ;
. (2)
.
Обратимся к известной формуле дифференцирования под знаком интеграла:
. (3)
Интегралы, входящие в выражения (2), преобразуются так:
;
. (4)
В результате такого усреднения система~(2) запишется следующим образом:
; (5)
; (6)
, (7)
где приняты обозначения:
,
,
. (8)
Величины Ux , Uz и P представляют собой средние значения по ширине водохранилища соответственно Ux , Uz и P; q(x,z,t) – интенсивность боковой приточности, определяющаяся выражением:
(9)
Систему (5,6) в векторной форме можно записать так:
, (10)
, (11)
где .
Считая, что движение воды безвихревое, т.е. rot = 0, и вводя потенциал средней по ширине скорости
, (12)
из выражения (10) получаем интеграл Коши в линейном приближении:
. (13)
Компоненты средней скорости через потенциал скорости F(x, z, t) выражаются так:
, . (14)
В связи с тем, что потенциал скорости волнового движения жидкости определяется с точностью до произвольной функции, зависящей только от времени t, произвольную функцию f(t) можно считать тождественно равной нулю. На свободной волновой поверхности должно быть задано гидродинамическое давление . При отсутствии внешнего давления .
Обозначив уравнения волновой поверхности через z = h(x, t), выражение (13) запишется так:
. (15)
Линеаризуя выражение (15), получаем:
. (16)
В линейном приближении очевидно равенство:
. (17)
Дифференцируя выражение (16) по t и подставляя в него (17), получаем:
. (18)
Из выражения (13) при f(t) = 0 для давления получается следующая его зависимость от потенциала скорости:
. (19)
Подставив выражения (14) и (19) в (11), получим следующее дифференциальное уравнение для потенциала скорости:
. (20)
Как известно, в классической теории двумерного волнового движения упругой жидкости, для потенциала скорости имеется следующее уравнение [1,3]:
. (21)
Сравнивая уравнения (20) и (21), легко заметить, что в полученном в данной работе уравнении дополнительно содержатся три слагаемых. Последние две слагаемые в левой части учитывают непризматическое очертание водохранилища как в плане, так и по глубине. Величина q(x, z, t) представляет интенсивность вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения селелавинообразного потока в водохранилище.
Отметим, что в статье [4] получено дифференциальное уравнение для потенциала волнового движения несжимаемой жидкости в непризматическом водохранилище. В данной работе теория представляется более общей в связи с тем, что в ней учтена упругость воды, т.е. первое слагаемое уравнения(20).
Список литературы
1. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.
2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.
3. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
4. Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши – Пуассона в узких глубоких непризматических водоемах// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. ест. науки. Ростов-на Дону. 1995. № 3.
Другие работы по теме:
Влияние ГЭС на гидробиологию и водопользование Днестра
М.М.Зацерклянный, Т.Б.Столевич Одесская государственная академия холода, Одесский национальный политехнический университет Одной из крупнейших рек Украины и Молдовы, с которой связана жизнь миллионов людей, является Днестр. На гидробиологию и водопользование в бассейне реки, особенно в ее низовьях, существенное влияние оказывают гидроэлектростанции и, прежде всего Дубоссарская.
Экология (Северо-западный округ и Северо-восточный округ Москвы)
В Москве комфортный уровень состояния окружающей среды сохраняется в жилых районах Химки-Ховрино, Строгино, Крылатское, Тушино, Тёплый стан, Ясенево и некоторых других. Дискомфортные экологические условия проживания существуют в центральной, восточной юго-восточной и Северо-восточной частях Москвы.
Загрязнение среды — можно ли его избежать?
Какого рода загрязнение среды нужно еще предусмотреть? Например, нужно учесть гипотетическую возможность утечки жидких радиоактивных отходов. Возможно ли в этом случае загрязнение подземных источников радионуклидами?
Влияние РоАЭС на водные ресурсы
Во время половодья исключительно редко возможно переполнение водоема-охладителя и сброс воды в Цимлянское водохранилище, не приводящий к дополнительному химическому, радиационному и тепловому загрязнению Цимлянского водохранилища.
Качество вод водохранилищ
Приведена оценка качества воды всех водохранилищ России, включая отклонения ПДК ряда микроэлементов.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Нахождение значений физических величин
Определение количества воды, которое необходимо дополнительно подать в трубопровод, чтобы давление в нем поднялось до значения по манометру. Оценка абсолютного и вакуумметрического давления в сосуде. Равнодействующая сила воздействия воды на стенку.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
От водяного колеса до турбины
От водного колеса до турбины Водяное колесо или турбина преобразуют энергию потока воды во вращательное движение. Первые водяные колеса были подливными, т. е. Нижняя половина колеса просто погружалась в поток. Кпд таких колес составлял только 30%. Наливные колеса, в которых поток воды натекает на верхнюю часть колеса, имеют кпд 70-90%, что близко к кпд современных турбин.
Определение характеристик движения воды по трубопроводу
Определение числовых значений объёмного, массового и весового расхода воды, специфических характеристик режима движения, числа Рейнольдса водного потока, особенности вычисления величины гидравлического радиуса трубопровода в условиях подачи воды.
Расчетно-графическая работа
Министерство образования Российской Федерации Уральский Государственный Технический Университет - УПИ Кафедра "ВЧСРТ" Расчетно-графическая работа
на тему
Атмосферные осадки, содержащие загрязняющие вещества промышленного происхождения, которые вымываются из атмосферы
Новое состояние воды
Открыто новое состояние воды, в котором она не замерзает даже при температуре, близкой к абсолютному нулю, а также обладает иными необычными свойствами.
Задача по Математике 5
Задача № 74 Случайная величина х задана функцией распределения. Требуется: 1) найти функцию плотности вероятности f(x); 2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;
Толстой Большая медведица
Лев Николаевич Толстой Большая Медведица (Ковш) Толстой Лев Николаевич Большая Медведица (Ковш) Лев Николаевич Толстой Большая Медведица (Ковш) С английского
Самый памятный день лета
Автор: Сочинения на свободную тему За это лето я побывала в разных городах и даже странах! Но больше всего мне понравилось на юге в Турции. Этот шум моря и отблеск воды на солнце...Горячий песок,голубое небо...Привкус солёной воды во рту...И маленькие бычки которые аккуратно касаются твоих ног...
Толстой Течение воды
Лев Николаевич Толстой Течение воды Толстой Лев Николаевич Течение воды Лев Николаевич Толстой Течение воды Однажды ученики Конфуцы застали его у реки. Учитель сидел на берегу и пристально смотрел на воду, как она бежала. Ученики удивились и спросили: "Учитель, какая польза смотреть на то, как текут воды? Это дело самое обыкновенное, оно всегда было и будет".
Анализ стихотворения Тютчева Ф.И. Весенние воды
Анализ стихотворения Тютчева Ф.И. "Весенние воды" Автор: Тютчев Ф.И. Стихотворение «Весенние воды» можно отнести к пейзажной лирике Тютчева. Оно было написано в 1830 году. В этом произведении описывается чудесный период ранней весны, пробуждение природы от зимнего сна, наступление радостных весенних дней
Моделирование пассивных и активных фильтров
Министерство образования и науки Украины Моделирование пассивных и активных фильтров ЦЕЛЬ РАБОТЫ Пользуясь программной средой Electronics Workbench смоделировать: пассивные фильтры низкой частоты (ФНЧ), однозвенные и двухзвенные; пассивные фильтры высокой частоты (ФВЧ), однозвенные и двухзвенные; полосовой и режекторный фильтры (ППФ); активный ФНЧ на ОУ; активный ФВЧ на ОУ; полосовой фильтр активного типа.
Клиодинамика
Введение 1 Общие сведения 2 Соотношение между клиодинамикой и клиометрией 3 Основоположники клиодинамики 4 Основные достижения клиодинамики Список литературы
Битва под Жёлтыми Водами
Битва под Жёлтыми Водами Битва под Жёлтыми Водами (укр. Битва під Жовтими Водами, польск. Bitwa pod Żуłtymi Wodami) — первая крупная битва восстания Хмельницкого, произошедшая между 29 апреля и 16 мая 1648 года в урочище Желтые Воды, недалеко от современного города Жёлтые Воды Днепропетровской области Украины.
Законы истории
Введение 1 Математическое моделирование развития Мир-Системы 1.1 Компактные макромодели эволюции Мир-Системы 1.2 Социальная макродинамика. Экскурсы
Воды суши
Text Graphics Воды суши Выполнила ученица 10Э Куликова Ольга Graphics Воды суши К водам суши относят воды рек,озёр,водохранилищ и болот,а также подземные воды.Много воды сосредоточено также в ледниках. Graphics
Байкал - уникальное озеро
Text Text Байкал - одно из древнейших озер планеты, его возраст ученые определяют в 25 - 30 млн. лет. Большинство озер, особенно ледникового и старичного происхождения, живут 10-15 тыс. лет, а затем заполняются осадками и исчезают с лица Земли. На Байкале нет никаких признаков старения, как у многих озер мира.
Рыбинское водохранилище 3
Проект на тему: Рыбинское водохранилище Ученицы 8 «А» класса Средней школы № 33 Маленко Натальи. План проекта: История создания водохранилища. Географическое положение.
Жабер
Деревня Жабер Жабер Жабер (белор. Жабер) — деревня на севере Дрогичинского района Брестской области Белоруссии, относится к Хомскому сельсовету. Расположена в шести километрах от центра сельсовета — Хомска, на левом берегу реки Ясельда, рядом водохранилище (озеро) «Жабер» площадью 83 га[1].
Геоэкологические проблемы Воронежского водохранилища
Рассматриваются проблемы загрязнения Воронежского водохранилища тяжелыми металлами, нефтепродуктами. Указываются источники их поступления в воду. Описывается доминирующая роль сточных вод и приток речных вод в формировании загрязнения.
Уровень воды в озёрах
Изменение количества осадков и температуры воздуха приводит к тому, что имеют место колебания уровня воды в озерах относительно "нормы".
Вода
Функции воды. Свойства воды.
Нерест жемчужных гурами
Родина жемчужных гурами (Trichogaster leeri Вleeker) - водоемы тропических стран Индии и Индонезии. Как правило, это густозаросшие водоемы с прозрачной водой.