Реферат: Геометрия 10 класс Бевз профиль - Refy.ru - Сайт рефератов, докладов, сочинений, дипломных и курсовых работ

Геометрия 10 класс Бевз профиль

Рефераты по математике » Геометрия 10 класс Бевз профиль
Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів
Профільний рівень
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
КИЇВ «ГЕНЕЗА» 2010
19.07.2010 15:10:37
ШАНОВНІ СТАРШОКЛАСНИКИ!
Ãåîìåòðіÿ – îäíà ç íàéäàâíіøèõ, íàéøëÿõåòíіøèõ, êîðèñ-
íèõ і öіêàâèõ íàóê. Ó íіé – çãóñòîê çíà÷íîї ÷àñòèíè çàãàëüíî-
ëþäñüêîї êóëüòóðè, íàäáàíîї ëþäñòâîì çà êіëüêà òèñÿ÷îëіòü.
À ùå âîíà є íåçàìіííèì іíñòðóìåíòàðієì äëÿ íàóêîâöіâ і
âèðîáíè÷íèêіâ, çàñîáîì äëÿ ðîçâèòêó ëîãі÷íîãî ìèñëåííÿ,
ïðîñòîðîâîї óÿâè, ðàöіîíàëіçàòîðñüêèõ çäіáíîñòåé òà іíøèõ
êîðèñíèõ ÿêîñòåé âîëі і õàðàêòåðó ìîëîäі.
Îñü ùî ïèñàâ ïðî ãåîìåòðіþ âіäîìèé àðõіòåêòîð XX ñò. Ëå
Êîðáþçüє: «Òіëüêè äîòðèìóþ÷èñü çàêîíіâ ãåîìåòðії, àðõіòåêòîðè
äàâíèíè ìîãëè ñòâîðèòè ñâîї øåäåâðè. Íåâèïàäêîâî êàæóòü, ùî
ïіðàìіäà Õåîïñà – íіìèé òðàêòàò ç ãåîìåòðії, à ãðåöüêà àðõіòåê-
òóðà – çîâíіøíє âіäîáðàæåííÿ ãåîìåòðії Åâêëіäà. Ìèíóëè ñòî-
ëіòòÿ, àëå ðîëü ãåîìåòðії íå çìіíèëàñü. ßê і ðàíіøå, âîíà çàëè-
øàєòüñÿ ãðàìàòèêîþ àðõіòåêòîðà». І íå òіëüêè àðõіòåêòîðà ÷è
іíæåíåðà-êîíñòðóêòîðà. Öÿ íàóêà є ñâîєðіäíîþ ãðàìàòèêîþ
êîæíîãî ôàõіâöÿ, ÿêèé âèêîðèñòîâóє ãåîìåòðè÷íі ôîðìè.
Ãåîìåòðіÿ ñêëàäàєòüñÿ ç äâîõ ÷àñòèí: ïëàíіìåòðіїі ñòå-
ðåîìåòðії.Ó ïîïåðåäíіõ êëàñàõ âè âèâ÷àëè â îñíîâíîìó
ïëàíіìåòðіþ, òåïåð ïåðåõîäèòå äî âèâ÷åííÿ ñòåðåîìåòðії (âіä
ãðåö.???????? – ïðîñòîðîâèé), â ÿêіéðîçãëÿäàþòüñÿ âëàñòè-
âîñòі ãåîìåòðè÷íèõ ôіãóð ó ïðîñòîðі.
Ñòåðåîìåòðіÿ – ãåîìåòðіÿ òðèâèìіðíîãî ïðîñòîðó. Çà çìіñ-
òîì âîíà áàãàòøà âіä ïëàíіìåòðії і öіêàâіøà, îñêіëüêè âèâ÷àє
âëàñòèâîñòі ÿê ïëîñêèõ ãåîìåòðè÷íèõ ôіãóð, òàê і íåïëîñêèõ.
Ïåðøèé ðîçäіë, çà ïðîãðàìîþ, – ìàòåðіàë äëÿ ïîâòîðåííÿ,
ñèñòåìàòèçàöії òà óçàãàëüíåííÿ íàéâàæëèâіøèõ âіäîìîñòåé ç
ïëàíіìåòðії.
Íîâèé íàâ÷àëüíèé ìàòåðіàë âèêëàäåíî â òðüîõ ðîçäі ëàõ і
äîäàòêàõ. Êî æåí ç ðîçäіëіâ ìіñòèòü òåîðåòè÷íèé ìàòåðіàë і
çàäà÷і. ×èòàþ÷è òåîðіþ, îñíîâíó óâàãó ñëіä çâåðòàòè íà ñëîâà,
íàäðóêîâàíі êóðñèâîì і æèðíèì øðèôòîì. Êóðñèâîìâèäіëåíî
ãåîìåòðè÷íі òåðìіíè, íàçâè ïîíÿòü. Ïîòðіáíî âìіòè ïîÿñíþâàòè
їõ çìіñò, íàâîäèòè âіäïîâіäíі ïðèêëàäè. Æèðíèì øðèôòîì íà -
äðóêîâàíî âàæëèâі ãåîìåòðè÷íі òâåðäæåííÿ, çîêðåìà òåîðåìè.
Ó êîæíîìó ïàðàãðàôі ïіäðó÷íèêà є ðóáðèêà «Äëÿ
äîïèòëèâèõ». Âîíà ìіñòèòü äîäàòêîâі âіäîìîñòі äëÿ òèõ, õòî
õî÷å çíàòè áіëüøå. Ó ðóáðèöі «Âèêîíàєìî ðàçîì» íàâî-
äÿòüñÿ çàäà÷і ç ðîçâ’ÿçàííÿìè. Ðàäèìî ïåðåãëÿíóòè їõ, ïåðø
íіæ âèêîíóâàòè äîìàøíє çàâäàííÿ.
3
Â÷èòèñÿ êîðèñòóâàòèñÿ ãåîìåòðè÷íèìè çíàííÿìè íàéêðàùå
ïіä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷. Çàâäàííÿ, ðåêî-
ìåíäîâàíі äëÿ äîìàøíüîї ðîáîòè, âèäіëåíî êîëüîðîì. Çàäà÷і і
âïðàâè â ïіäðó÷íèêó ïîäіëåíî íà: «Âèêîíàéòå óñíî», ðіâåíü À,
ðіâåíü Á і «Âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ». Ó êîæíîìó ðîçäіëі
є çàäà÷і çà ãîòîâèìè ìàëþíêàìè. Óìîâè òàêèõ çàäà÷ ïîäàíî
ìàëþíêàìè і êîðîòêèìè çàïèñàìè.
Äëÿ óçàãàëüíåííÿ і ñèñòåìàòèçàöії âèâ÷åíîãî ìàòåðіàëó
ïîäàíî «Ãîëîâíå â ðîçäіëі». Ïåðåâіðèòè, íàñêіëüêè âè çà ñâîїëè
íîâèé ìàòåðіàë, òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî çîâíіøíüîãî íåçàëåæíîãî îöіíþâàííÿ âè çìîæåòå, ðîçâ’ÿçóþ÷è çàäà÷і òà âèêîíóþ÷è
çàâäàííÿ ç ðóáðèê «Òåñòîâі çàâäàííÿ» і «Òèïîâі çàäà÷і
äëÿ êîíòðîëüíîї ðîáîòè».
Ïðîãðàìíó òåìó «Îðòîöåíòðè÷íèé òåòðàåäð» äåùî ðîçøè-
ðåíî і âìіùåíî â äîäàòêàõ «Åëåìåíòè ãåîìåòðії òåòðàåäðà».
Òàì ìіñòèòüñÿ ùå êіëüêà òåì, â ÿêèõ ïîãëèáëåíî ðîçãëÿäà-
þòüñÿ äåÿêі íàéâàæëèâіøі âëàñòèâîñòі íàéïðîñòіøîãî ìíîãî-
ãðàííèêà – òåòðàåäðà. Öі òåìè àäðåñóєìî äëÿ ñàìîñòіéíîãî
îïðàöþâàííÿ òèì ó÷íÿì, ÿêі ìàþòü áàæàííÿ çàéìàòèñÿ
ïîñèëüíîþ äëÿ ïî÷àòêіâöіâ íàóêîâî-äîñëіäíîþ ðîáîòîþ.
À çàäà÷і, ùî є â «Äîäàòêàõ», ìîæíà ïðîïîíóâàòè âñіì ó÷íÿì.
Іíîäі ââàæàþòü, ùî íàéâàæëèâіøå â ãåîìåòðії – äîâåäåííÿ
òåîðåì. Çâè÷àéíî, ó÷èòèñÿ äîâîäèòè òåîðåìè – ñïðàâà êîðèñíà.
Àëå íå ìåíøó ðîëü ó öіé íàóöі âіäіãðàþòü ïîíÿòòÿ, їõ îçíà÷åííÿ
і êëàñèôіêàöії; ãåîìåòðè÷íі ôіãóðè, їõ ïîáóäîâà і ïåðåòâîðåííÿ;
ãåîìåòðè÷íі âå ëè÷èíè, їõ âèìіðþâàííÿ òà îá÷èñëåííÿ. Îäèí ç
âіäîìèõ ãåîìåòðіâ XX ñò. Ä. Ãіëüáåðò ïèñàâ: «Ó âåëè÷åçíîìó
ñàäó ãåîìåòðії êîæíèé ìîæå ïіäіáðàòè ñîáі áóêåò çà
ñìàêîì».
Çàïðîøóєìî âàñ ó öåé áàãàòèé і äèâíèé ñâіò Ãåîìåòðії.
Àâòîðè
4
Опорні факти планіметрії.
Методи розв’язування планіметричних
задач.
Íàâ÷àííÿ íå ìîæíà äîâåñòè äî ґðóí-
òîâíîñ òі áåç ìîæëèâî ÷àñòèõ і îñîáëèâî
ìàéñòåðíî ïîñòàâëåíèõ ïîâòîðåíü.
ß.À. Êîìåíñüêèé
РОЗДІЛ 1
§ 1 ОПОРНІ ФАКТИ ПЛАНІМЕТРІЇ
Ïðèãàäàєìî íàéâàæëèâіøі âіäîìîñòі ç ïëàíіìåòðії, ÿêі
÷àñòî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â ñòåðåîìåòðії.
Àêñіîìè ïëàíіìåòðії. Îñíîâíå â ãåîìåòðії – її ïîíÿòòÿ і
òâåðäæåííÿ. Äëÿ áіëüøîñòі ïîíÿòü ôîðìóëþþòüñÿ îçíà÷åííÿ,
àëå іñíóþòü ïîíÿòòÿ íåîçíà÷óâàíі. Öå – òî÷êà, ïðÿìà, ïëî-
ùèíà òà äåÿêі іíøі.
Ïåðåâàæíó áіëüøіñòü ãåîìåòðè÷íèõ òâåðäæåíü äîâîäÿòü,
òîáòî ïîêàçóþòü, ùî âîíè ÿê ëîãі÷íі íàñëіäêè âèïëèâàþòü ç
іíøèõ іñòèííèõ òâåðäæåíü. À ÿê áóòè, êîëè íà ïî÷àòêó êóðñó
ùå íåìàє «іíøèõ òâåðäæåíü»? Ó öèõ âèïàäêàõ êіëüêà òâåð-
äæåíü ïðèéìàþòü çà іñòèííі áåç äîâåäåíü. Їõ íàçèâàþòü àêñіî-
ìàìè. À äîâîäæóâàíі òâåðäæåííÿ – òåîðåìàìè.
Äëÿ ïëàíіìåòðії, ÿê і äëÿ іíøèõ íàóê ÷è òåîðіé, ìîæíà
îáèðàòè ðіçíі ñèñòåìè àêñіîì. Îäíà ç íèõ ìîæå áóòè òàêîþ.
1. ßêà á íå áóëà ïðÿìà, іñíóþòü òî÷êè, ùî íàëåæàòü öіé
ïðÿìіé, і òî÷êè, ùî їé íå íàëåæàòü.
2. ×åðåç áóäü-ÿêі äâі ðіçíі òî÷êè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó і
òіëüêè îäíó.
3. Іç òðüîõ òî÷îê ïðÿìîї îäíà і òіëüêè îäíà ëåæèòü ìіæ
äâîìà іíøèìè.
4. Êîæíèé âіäðіçîê ìàє ïåâíó äîâæèíó.
5. Êîæíèé êóò ìàє ïåâíó ìіðó.
6. Ïðÿìà ðîçáèâàє ïëîùèíó íà äâі ïіâïëîùèíè.
7. Íà áóäü-ÿêіé ïðÿìіé âіä çàäàíîї òî÷êè ó çàäàíîìó
íàïðÿìі ìîæíà âіäêëàñòè âіäðіçîê äàíîї äîâæèíè і òіëüêè
îäèí.
8. Âіä áóäü-ÿêîãî ïðîìåíÿ ó äàíіé ïіâïëîùèíі ìîæíà âіä-
êëàñòè äàíèé êóò ç âåðøèíîþ ó ïî÷àòêó ïðîìåíÿ і òіëüêè
îäèí.
9. ßêèé áè íå áóâ òðèêóòíèê, іñíóє ðіâíèé éîìó òðèêóò-
íèê ó çàäàíîìó ðîçìіùåííі âіäíîñíî çàäàíîї ïðÿìîї.
10. ×åðåç òî÷êó, ùî íå ëåæèòü íà äàíіé ïðÿìіé, ìîæíà
ïðîâåñòè òіëüêè îäíó ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàíіé ïðÿìіé (àê -
ñіî ìà Åâêëіäà).
Ðîçäіëè ïðî ãåîìåòðè÷íі âåëè÷èíè, ãåîìåòðè÷íі ïåðåòâî-
ðåííÿ і ïîáóäîâè ïîòðåáóþòü äîäàòêîâèõ àêñіîì.
Ïàðàëåëüíі і ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі. Äâі ïðÿìі îäíієї
ïëîùèíè íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè íå ïåðåòèíà-
þòüñÿ. Äâà âіäðіçêè àáî ïðîìåíі íàçèâàþòü ïàðàëåëüíèìè,
ÿêùî âîíè íàëåæàòü ïàðàëåëüíèì ïðÿìèì.
6
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Îçíàêè ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ. Äâі
ïðÿìі à і b îäíієї ïëî ùèíè ïàðàëåëüíі
(ìàë. 1), ÿêùî їõ ñі÷íà óòâîðþє ç íèìè:
1) ðіâíі âіäïîâіäíі êóòè (?1 ? ?2); àáî
2) ðіâíі âíóòðіøíі ðіçíîñòîðîííі êóòè
(?2 ? ?3); àáî
3) âíóòðіøíі îäíîñòîðîííі êóòè, ñóìà
ÿêèõ äîðіâíþє 180? (?3 +??4 ? 180?). Ìàë. 1
Âëàñòèâîñòі ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ.
ßêùî ïðÿìі à і b ïàðàëåëüíі, òî âè êî íó-
þòüñÿ âñі òðè ðіâíîñòі, çàçíà÷åíі âèùå
(ï. 1–3).
Âіäíîøåííÿ ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ
òðàí çèòèâíå: ÿêùî à || bі b || ñ,òî à || ñ.
Äâі ïðÿìі íàçèâàþòüñÿ ïåðïåíäèêó-
ëÿðíèìè, ÿêùî âîíè ïåðåòèíàþòüñÿ ïіä
ïðÿìèì êóòîì. Âіäðіçêè àáî ïðîìåíі íà -
çè âàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè, ÿêùî âîíè
íàëåæàòü ïåðïåíäèêóëÿðíèì ïðÿìèì. Ìàë. 2
Äâі ïðÿìі îäíієї ïëîùèíè, ïåðïåíäèêóëÿðíі äî òðåòüîї
ïðÿìîї, ïàðàëåëüíі (ìàë. 2). ßêùî à? ñ і b ? ñ, òî à || b.
Òåîðåìà Ôàëåñà. ßêùî ïàðàëåëüíі ïðÿìі ïåðåòèíàþòü
ñòîðî íè êóòà і íà îäíіé éîãî ñòîðîíі âіäòèíàþòü ðіâíі âіäðіçêè,
òî і íà äðóãіé éîãî ñòîðîíі âîíè âіäòèíàþòü ðіâíі âіäðіçêè
(ìàë. 3).
ßêùî AB? BC,òî A B ? B C .
1 1 1 1
Óçàãàëüíåíà òåîðåìà Ôàëåñà. Ïàðàëåëüíі ïðÿìі, ÿêі ïåðå-
òèíàþòü ñòîðîíè êóòà, âіäòèíàþòü âіä íèõ ïðîïîðöіéíі âіä-
ðіçêè (ìàë. 4).
Ãåîìåòðè÷íå ìіñöå òî÷îê –öå ìíîæèíà âñіõ òî÷îê, ÿêі
çàäîâîëüíÿþòü ïåâíó óìîâó.
Ìàë. 3 Ìàë. 4
7
РОЗДІЛ 1
Ãåîìåòðè÷íèì ìіñöåì òî÷îê ïëîùèíè,
ðіâíîâіääàëåíèõ âіä êіíöіâ âіäðіçêà, є
ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äî öüîãî âіä-
ðіçêà (ìàë. 5).
ßêùî ÀÎ? ÂÎі ÑÎ? ÀÂ,òî ÀÑ? ÂÑ.
Ãåîìåòðè÷íå ìіñöå òî÷îê êóòà, ðіâíî-
âіääàëåíèõ âіä éîãî ñòîðіí, – áіñåêòðèñà
Ìàë. 5 öüîãî êóòà (ìàë. 6).
Òðèêóòíèêè.Òðèêóòíèê –çàìêíåíà
ëàìàíà іç òðüîõ ëàíîê. ×àñòèíà ïëîùèíè,
îáìåæåíà òàêîþ ëàìàíîþ, òàêîæ íà çè-
âàєòüñÿ òðèêóòíèêîì. Êîæíèé òðèêóòíèê
ìàє òðè ñòîðîíè, òðè âåðøèíè і òðè êóòè.
Ñóìó ñòîðіí òðèêóòíèêà íàçèâàþòü éîãî
ïåðèìåòðîì.
ßêùî ñòîðîíè òðèêóòíèêà a, b, c, à
Ìàë. 6 ïðîòèëåæíі їì êóòè ?, ?, ?, òî:
|b – c| < a < b + c; ? + ? + ??180?.
Îçíàêè ðіâíîñòі òðèêóòíèêіâ. Äâà òðèêóòíèêè ðіâíі, ÿêùî:
1) äâі ñòîðîíè і êóò ìіæ íèìè îäíîãî òðèêóòíèêà äîðіâ-
íþþòü âіäïîâіäíî äâîì ñòîðîíàì і êóòó ìіæ íèìè äðóãîãî
òðèêóòíèêà; àáî
2) ñòîðîíà і ïðèëåãëі äî íåї êóòè îäíîãî òðèêóòíèêà äîðіâ-
íþþòü âіäïîâіäíî ñòîðîíі і ïðèëåãëèì äî íåї êóòàì äðóãîãî
òðèêóòíèêà; àáî
3) òðè ñòîðîíè îäíîãî òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü âіäïîâіäíî
òðüîì ñòîðîíàì äðóãîãî òðèêóòíèêà.
Âіäðіçîê, ÿêèé ñïîëó÷àє ñåðåäèíè äâîõ ñòîðіí òðèêóòíèêà, –
éîãî ñåðåäíÿ ëіíіÿ.Ñåðåäíÿ ëіíіÿ òðèêóòíèêà ïàðàëåëüíà éîãî
òðåòіé ñòîðîíі і äîðіâíþє її ïîëîâèíі.
Òðèêóòíèêè, â ÿêèõ óñі âіäïîâіäíі êóòè ðіâíі, à âіäïîâіäíі
ñòîðîíè ïðîïîðöіéíі, íàçèâàþòüñÿ ïîäіáíèìè.
Îñíîâíà òåîðåìà ïðî ïîäіáíіñòü òðèêóòíèêіâ. Ñі÷íà
ïðÿìà, ïàðàëåëüíà ñòîðîíі òðèêóòíèêà, âіäòèíàє âіä íüîãî
òðèêóòíèê, ïîäіáíèé äàíîìó.
Îçíàêè ïîäіáíîñòі òðèêóòíèêіâ. Äâà òðèêóòíèêè ïîäіáíі,
ÿêùî:
1) äâà êóòè îäíîãî òðèêóòíèêà âіäïîâіäíî äîðіâíþþòü äâîì
êóòàì äðóãîãî; àáî
2) äâі ñòîðîíè îäíîãî òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі äâîì ñòîðî-
íàì äðóãîãî, à êóòè ìіæ íèìè ðіâíі; àáî
3) òðè ñòîðîíè îäíîãî òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі òðüîì ñòî-
ðîíàì äðóãîãî.
8
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
B
c
a
A b C
Ìàë. 7 Ìàë. 8
Äâà ïðÿìîêóòíі òðèêóòíèêè ïîäіáíі, ÿêùî:
1) ãîñòðèé êóò îäíîãî òðèêóòíèêà äîðіâíþє êóòó äðóãîãî; àáî
2) êàòåòè îäíîãî òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі êàòåòàì äðóãîãî; àáî
3) êàòåò і ãіïîòåíóçà îäíîãî òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі êàòåòó
і ãіïîòåíóçі äðóãîãî.
Ç îçíàê ïîäіáíîñòі òðèêóòíèêіâ âèïëèâàþòü òàêі òåîðåìè.
? Áіñåêòðèñà òðèêóòíèêà äіëèòü éîãî ïðîòèëåæíó ñòîðîíó
íà âіäðіçêè, ïðîïîðöіéíі ïðèëåãëèì ñòîðîíàì.
? Ìåäіàíè òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі, ÿêà
äіëèòü êîæíó ìåäіàíó ó âіäíîøåííі 2 : 1, ïî÷èíàþ÷è âіä âåð-
øèíè òðèêóòíèêà.
? Êàòåò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà – ñåðåäíє ïðîïîðöіéíå
ãіïîòåíóçè c і éîãî ïðîåêöії íà ãіïîòåíóçó. Âèñîòà ïðÿìîêóò-
íîãî òðèêóòíèêà, ïðîâåäåíà äî ãіïîòåíóçè, – ñåðåäíє ïðîïîð-
öіéíå âіäðіçêіâ, íà ÿêі âèñîòà äіëèòü ãіïîòåíóçó (ìàë. 7).
a 2 ? a ? c; b 2 ? b ? c; h 2 ? a ? b .
ßêùî c – ãіïîòåíóçà, à a, b – êàòåòè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóò- c c c c
íèêà (ìàë. 8), òî:
c 2 ? a 2 + b 2 – òåîðåìà Ïіôàãîðà;
ßêùî a, b, c – ñòîðîíè, à ?, ?, ? – ïðî òèëåæíі їì êóòè
òðèêóòíèêà (ìàë. 9), òî çàâæäè
a 2 ? b 2 + c 2 – 2bccos? – òåîðåìà êî ñè íóñіâ,
– òåîðåìà ñèíóñіâ.
Êîæåí ç òðüîõ îñòàííіõ äðîáіâ äîðіâ-
íþє 2R, äå R – ðàäіóñ êîëà, îïèñàíîãî
íàâêîëî äàíîãî òðèêóòíèêà.
Íàâêîëî êîæíîãî òðèêóòíèêà ìîæíà
îïèñàòè êîëî і äî òîãî æ òіëüêè îäíå.
Öåíòðîì êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî òðèêóò-
íèêà, є òî÷êà ïåðåòèíó ñåðåäèííèõ ïåð-
ïåíäèêóëÿðіâ äî éîãî ñòîðіí. Ó êîæíèé
òðèêóòíèê ìîæíà âïèñàòè êîëî і äî òîãî Ìàë. 9
9
РОЗДІЛ 1
æ òіëüêè îäíå. Öåíòðîì êîëà, âïèñàíîãî â òðèêóòíèê, є òî÷êà
ïåðåòèíó éîãî áіñåêòðèñ.
Êîæíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ ìàє ìåäіàíè, áіñåêòðèñè, âèñîòè,
ïіâïåðèìåòð, ðàäіóñ âïèñàíîãî і îïèñàíîãî êіë, ÿêі âіäïîâіäíî
ïîçíà÷àþòü: m , l , h , ð, r, R. Âіäîìî, ùî:
a a a
;
r? R ? .
Ïëîùà òðèêóòíèêà. Êîæíèé òðèêóòíèê (ÿê ÷àñòèíà ïëî-
ùèíè, îáìåæåíà çàìêíåíîþ ëàìàíîþ) ìàє ïëîùó. Ôîðìóëè
äëÿ âèçíà÷åííÿ ïëîùі òðèêóòíèêà:
S? r · p;
– ôîðìóëà Ãåðîíà.
Äëÿ ïðÿìîêóòíèõ і ðіâíîñòîðîííіõ òðèêóòíèêіâ ôîðìóëè
ïðîñòіøі:
Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê Ðіâíîñòîðîííіé òðèêóòíèê
×îòèðèêóòíèêè. ×îòèðèêóòíèê– ïðîñòà çàìêíåíà
ëàìàíà іç ÷îòèðüîõ ëàíîê. ×àñòèíà ïëîùèíè, îáìåæåíà òàêîþ
ëàìàíîþ, òàêîæ íàçèâàєòüñÿ ÷îòèðèêóòíèêîì. Ñóìà âñіõ êóòіâ
êîæíîãî ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє 360?. Êîæíà ñòîðîíà ÷îòè-
ðèêóòíèêà ìåíøà âіä ñóìè òðüîõ іíøèõ éîãî ñòîðіí.
×îòèðèêóòíèê, êîæíà ñòîðîíà ÿêîãî ïàðàëåëüíà ïðîòè-
ëåæíіé ñòîðîíі, – ïàðàëåëîãðàì.
Îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.×îòèðèêóòíèê є ïàðàëåëîãðàìîì,
ÿêùî:
1) êîæíà éîãî ñòîðîíà äîðіâíþє ïðîòèëåæíіé ñòîðîíі;
2) äâі éîãî ïðîòèëåæíі ñòîðîíè ïàðàëåëüíі é ðіâíі;
3) éîãî äіàãîíàëі òî÷êîþ ïå ðåòèíó äіëÿòüñÿ íàâïіë.
10
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Ìàë. 10
Âëàñòèâîñòі ïàðàëåëîãðàìà:
–êîæíà ñòîðîíà ïàðàëåëîãðàìà ïàðàëåëüíà ïðîòèëåæíіé
ñòîðîíі і äîðіâíþє їé;
–êîæíèé êóò ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє ïðîòèëåæíîìó êóòó;
–êîæíà äіàãîíàëü ïàðàëåëîãðàìà òî÷êîþ ïåðåòèíó äіëèòüñÿ
íàâïіë;
–ñóìà êâàäðàòіâ äіàãîíàëåé ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє ñóìі
êâàäðàòіâ óñіõ éîãî ñòîðіí.
Îêðåìі âèäè ïàðàëåëîãðàìіâ – ïðÿìî-
êóòíèêè, ðîìáè, êâàäðàòè –ìàþòü äîäàò-
êîâі âëàñòèâîñòі:
–äіàãîíàëі ïðÿìîêóòíèêà (êâàäðàòà)
ðіâíі;
–äіàãîíàëі ðîìáà (êâàäðàòà) ïåðïåíäèêó-
ëÿðíі і ëåæàòü íà áіñåêòðèñàõ éîãî êóòіâ.
×îòèðèêóòíèê, ó ÿêîãî òіëüêè äâі ñòî-
ðîíè ïàðàëåëüíі, – òðàïåöіÿ.Ïàðàëåëüíі
ñòîðîíè òðàïåöії – її îñíîâè, äâі іíøі – Ìàë. 11
áі÷íі ñòîðîíè. Îêðåìі âèäè òðàïåöіé – ðіâ-
íîáі÷íі і ïðÿìîêóòíі òðàïåöії. Âіäðіçîê,
ùî ñïîëó÷àє ñåðåäèíè áі÷íèõ ñòîðіí òðà-
ïåöі ї, – її ñåðåäíÿ ëіíіÿ.Ñåðåäíÿ ëіíіÿ
òðàïå öії ïàðàëåëüíà її îñíîâàì і äîðіâíþє
їõ ïіâñóìі.
Ñïіââіäíîøåííÿ ìіæ îêðåìèìè âèäàìè
÷îòèðèêóòíèêіâ ïîêàçàíî íà ìàëþíêó 10.
Âïèñàíі é îïèñàíі ÷îòèðèêóòíèêè(ìàë. Ìàë. 12
11 і 12)
Âèä Ñïіââіäíîøåííÿ Ñïіââіäíîøåííÿ
÷îòèðèêóòíèêà ìіæ ñòîðîíàìè ìіæ êóòàìè
Âïèñàíèé ó êîëî ac + bd? ef A + C ? B + D
Îïèñàíèé
íàâêîëî êîëà a + c? b + d
11
РОЗДІЛ 1
Ïëîùі ÷îòèðèêóòíèêіâ. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє
äî áóòêó äâîõ éîãî ñóñіäíіõ ñòîðіí: S? ab.
Ïëîùà ïàðàëåëîãðàìà:
S? ah ,àáî S ? absin ?,
a
äå à, b – éîãî ñòîðîíè, ? – êóò ìіæ íèìè, h –âèñîòà, îïóùåíà
íà ñòîðîíó a. a
ßêùî äіàãîíàëі ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþþòü d і d , à êóò
ìіæ íèìè ?, òî éîãî ïëîùà 1 2
.
Ïëîùà ðîìáà äîðіâíþє .
Ïëîùà òðàïåöії äîðіâíþє äîáóòêó ïіâñóìè її îñíîâ íà âè -
ñîòó:
Êîëî. Êóòè òà âіäðіçêè, ïîâ’ÿçàíі
ç êîëîì. Êîëî – ôіãóðà, ùî ñêëàäàєòüñÿ
ç óñіõ òî÷îê ïëîùèíè, ðіâíîâіääàëåíèõ
âіä äàíîї òî÷êè – öåíòðà êîëà. ×àñòèíà
ïëîùèíè, îáìåæåíà êîëîì, – êðóã.
Ðàäіóñ –âіäðіçîê, ùî ñïîëó÷àє áóäü-
ÿêó òî÷êó êîëà ç éîãî öåíòðîì. Âіäðіçîê,
Ìàë. 13 ùî ñïîëó÷àє äâі äîâіëüíі òî÷êè êîëà,
íàçèâàþòü õîðäîþ. Õîðäà, ùî ïðîõî-
äèòü ÷åðåç öåíòð êîëà, – äіàìåòð.
Ïðÿìà, ÿêà ìàє ç êîëîì òіëüêè îäíó
ñïіëüíó òî÷êó і ëåæèòü ó ïëîùèíі êîëà,
íàçèâàєòüñÿ äîòè÷íîþ äî êîëà.
Ìàþòü ìіñöå òàêі âëàñòèâîñòі:
? äіàìåòð êîëà, ïðîâåäåíèé ÷åðåç
ñåðåäèíó õîðäè, âіäìіííîї âіä äіàìåòðà,
Ìàë. 14 ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî íåї;
? äîòè÷íà äî êîëà ïåðïåíäèêóëÿðíà
äî ðàäіóñà, ïðîâåäåíîãî â òî÷êó äîòèêó;
? âіäðіçêè äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ äî
êîëà ç îäíієї òî÷êè, ðіâíі;
? AM? BM? CM??DM (ìàë. 13);
? AK 2 ? AB? AC(ìàë. 14);
? âïèñàíèé êóò âèìіðþєòüñÿ ïîëî-
âèíîþ äóãè, íà ÿêó âіí ñïèðàєòüñÿ
(ìàë. 15):
;
Ìàë. 15
12
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
? (ìàë. 16);
? (ìàë. 17);
? êóò ìіæ õîðäîþ êîëà і äîòè÷íîþ,
ïðîâåäåíîþ â її êіíöі, âèìіðþєòüñÿ ïî -
ëîâèíîþ äóãè, ùî ìіñòèòüñÿ âñåðåäè íі
êóòà.
Äîâæèíó êîëà Ñ ðàäіóñà r âèçíà÷àþòü Ìàë. 16
çà ôîðìóëîþ Ñ ? 2?r. Äîâæèíó läóãè
êîëà ðàäіóñà r,ÿêà ìàє ïãðàäóñіâ, ìîæ- íà âèçíà÷èòè çà ôîðìóëîþ
Ïëîùó S êðóãà ðàäіóñà rçíàõîäÿòü
çà ôîðìóëîþ S??r 2 .
×àñòèíó êðóãà, îáìåæåíó äâîìà éîãî
ðàäіóñàìè, íàçèâàþòü ñåêòîðîì,à ÷à -
ñòè íó êðóãà, îáìåæåíó éîãî õîðäîþ і
äóãîþ, – ñåãìåíòîì.Ñåãìåíò ìîæå áóòè Ìàë. 17
ìåíøèì âіä ïіâêðóãà àáî áіëüøèì.
Ïіâêðóã – îäèí ç âèäіâ ñåêòîðà і ñåãìåíòà.ßêùî ñåêòîð êðóãà ðàäіóñà rìàє ïãðàäóñіâ, òî éîãî ïëîùà
Ïëîùà
äîâіëüíîãî ñåãìåíòà äîðіâíþє ñóìі àáî ðіçíèöі ïëîù ñåêòîðà і
òðèêóòíèêà.
Ñòîðîíà a ïðàâèëüíîãî n-êóòíèêà ÷åðåç ðàäіóñ Rîïèñàíîãî
êîëà і ðàäіóñ râïèñàíîãî êîëà âèðàæàєòüñÿ ôîðìóëàìè n
a ?2R sin і a ?2rtg .
n n
Çîêðåìà, a
? R, a ? R , a ? R.
3 4 6
a ?2r , a ? 2r, a ? r.
3 4 6
Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ. Ó êîæíîìó îïóêëîìó ÷îòèðèêóòíèêó
ABCD, âïèñàíîìó â êîëî, äîáóòîê
äîâæèí äіàãîíàëåé äîðіâ íþє ñóìі
äîáóòêіâ äîâæèí éîãî ïðîòèëåæíèõ
ñòîðіí, òîáòî AC · BD ? AB · CD +
+ BC · AD (äèâ. ìàë. 11).
Òåîðåìà Ìåíåëàÿ. Íåõàé A , B ,
C – òðè òî÷êè, ÿêі ëåæàòü âіä ïî- 1 1
âіäíî íà ñòîðîíàõ BC, CA, AB ABC 1
àáî íà їõ ïðîäîâæåííÿõ (ìàë. 18).
Òî÷êè A 1 , B 1 , C 1 òîäі і òіëüêè òîäі Ìàë. 18
13
РОЗДІЛ 1
ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé, êîëè, âðàõî-
âóþ÷è íàïðÿìè âіä ðіçêіâ,
Òåîðåìà ×åâè. Íåõàé A , B , C – òðè
òî÷êè, ÿêі ëåæàòü âіäïîâіäíî íà ñòîðî- 1 1 1
íàõ BC, CA, AB ABC àáî íà їõ ïðîäîâ-
æåííÿõ (ìàë. 19). Äëÿ òîãî ùîá ïðÿìі
Ìàë. 19 AA , BB і CC ïåðåòèíàëèñÿ â îäíіé
òî÷ öі àáî áóëè âñі ïàðàëåëüíі, íåîáõіäíî 1 1 1
і äîñòàòíüî, ùîá âèêîíóâàëàñü óìîâà:
Îñòàííþ ðіâíіñòü íàçèâàþòü óìîâîþ
×åâè.
Ïðÿìà Åéëåðà. Îðòîöåíòð H òðè-
Ìàë. 20 êóòíèêà, éîãî öåíòðîїä M і öåíòð O
îïèñàíîãî êîëà ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé
(ìàë. 20), ïðè÷îìó OM: MH ? 1 : 2.
Êîëî Åéëåðà (êîëî äåâ’ÿòè òî÷îê). Îñíîâè âèñîò òðèêóò-
íèêà, ñåðåäèíè éîãî ñòîðіí і ñåðåäèíè âіäðіçêіâ, ÿêі ñïîëó÷à-
þòü îðòîöåíòð òðèêóòíèêà ç éîãî âåðøèíàìè, ëåæàòü íà
îäíîìó êîëі (ìàë. 21). Öåíòð öüîãî
êîëà çáіãàєòüñÿ іç ñåðåäèíîþ âіä-
ðіçêà, ÿêèé ñïîëó÷àє îðòîöåíòð
òðèêóòíèêà і öåíòð îïèñàíîãî êîëà.
Éîãî ðàäіóñ äîðіâíþє ïîëîâèíі
ðàäіóñà îïèñàíîãî êîëà.
Ïðÿìà Ñіìñîíà. Îñíîâè ïåðïåí-
äèêóëÿðіâ, îïóùåíèõ íà ñòîðîíè
òðèêóòíèêà ç òî÷êè îïèñàíîãî êîëà,
ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé.
Êîëî Àïîëëîíіÿ. Ãåîìåòðè÷íèì ìіñ-
Ìàë. 21 öåì òî÷îê, âіäíîøåííÿ âіäñòàíåé âіä
ÿêèõ äî äâîõ äàíèõ òî÷îê ñòàëå, є êîëî.
Êîîðäèíàòè íà ïëîùèíі. Ïëî ùèíó, íà ÿêіé çàäàíî ñè -
ñòåìó êî îðäèíàò, íàçèâàþòü êîîðäèíàòíîþ ïëîùèíîþ.Êîæíіé
òî÷öі êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè âіäïîâіäàє єäèíà ïàðà äіéñíèõ
÷èñåë (êîîðäèíàòè öієї òî÷êè), à êîæíіé ïàðі äіéñíèõ ÷èñåë –
єäèíà òî÷êà êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè.
Êîæíà êîîðäèíàòà ñåðåäèíè âіä ðіçêà äîðіâíþє ïіâñóìі âіäïî-
âіäíèõ êîîðäèíàò éîãî êіíöіâ.Òîáòî ÿêùî êіíöі âіäðіçêà À(õ ; ó )
і Â(õ ; ó ), òî ñåðåäèíîþ äàíîãî âіäðіçêà є òî÷êà ç êîîðäèíàòàìè 1 1
2 2
14
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè À(õ ; ó )і Â(õ ; ó ):
1 1 2 2
Êâàäðàò äîâæèíè âіäðіçêà äîðіâíþє ñóìі êâàäðàòіâ éîãî
ïðîåêöіé íà äâі âçàєìíî ïåðïåíäèêóëÿðíі ïðÿìі.
Ðіâíÿííÿì ôіãóðèíà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі íàçèâàþòü
ðіâíÿííÿ ç äâîìà çìіííèìè, ÿêå çàäîâîëüíÿþòü êîîðäèíàòè
êîæíîї òî÷êè äàíîї ôіãóðè і òіëüêè âîíè.
Ðіâíÿííÿ êîëàðàäіóñà rіç öåíòðîì ó òî÷öі À(à; b) ìàє âèãëÿä
(õ – à) 2 + (ó – b) 2 ? r 2 .
ßêùî öåíòð êîëà ðàäіóñà rëåæèòü ó ïî÷àòêó êîîðäèíàò, òî
éîãî ðіâíÿííÿ õ 2 + ó 2 ? r 2 .
Êîæíіé ïðÿìіé êîîðäèíàòíîї ïëîùèíè âіäïîâіäàє ëіíіéíå
ðіâíÿííÿ ç äâîìà çìіííèìè ax+ by+ ñ?0. Òàêå ðіâíÿííÿ
íàçèâàþòü çàãàëüíèì ðіâíÿííÿì ïðÿìîї.
Ðіâíіñòü y? kx + b – ðіâíÿííÿ ïðÿìîї ç êóòîâèì êî åôі öі єí-
òîì.Òóò k? tg?, äå ? – êóò, ÿêèé óòâîðþє ïðÿìà ç äîäàòíèì
íàïðÿìîì îñі ÎÕ.
– ðіâíÿííÿ ïðÿìîї, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâі
äàíі òî÷êè A(x ; y )і Â(õ ; ó ).
1 1 2 2
– ðіâíÿííÿ ïðÿìîї ó âіäðіçêàõ íà îñÿõ (÷èñëà àі b
ïîêàçóþòü, ÿêі âіäðіçêè ïðÿìà lâіäòèíàє íà îñÿõ êîîðäèíàò).
ßêùî ïðÿìі l і l çàäàíі ðіâíÿííÿìè y ? k x+ b і y ? k x+ b ,
òî: 1 2 1 1 1 2 2 2
1) l ?? l òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè k ? k ;
2) l 1 ? l 2 òîäі і òіëüêè òîäі, êîëè k 1 · k 2 ? –1.
1 2 1 2
Âåêòîðíі âåëè÷èíè – òі, ÿêі âèçíà÷àþòüñÿ íå òіëüêè ÷èñëî-
âèìè çíà÷åííÿìè, à é íàïðÿìàìè. Çíà÷åííÿ âåêòîðíèõ âåëè-
÷èí – âåêòîðè. Ãåîìåòðè÷íî âåêòîðè (íåíóëüîâі) çîáðàæàþòüñÿ
íàïðÿìëåíèìè âіäðіçêàìè. Íàïðÿìëåíèé âіäðіçîê ìàє ïî÷àòîê
і êіíåöü. Âіäñòàíü ìіæ íèìè – ìîäóëü (äîâæèíà) âåêòîðà.
Äâà âåêòîðè íàçèâàþòü êîëіíåàðíèìè, ÿêùî âіäïîâіäíі їì
íàïðÿìëåíі âіäðіçêè ðîçòàøîâàíі íà îäíіé ïðÿìіé àáî íà ïàðàëåëü-
íèõ ïðÿìèõ. Êîëіíåàðíі âåêòîðè áóâàþòü ñïіâíàïðÿìëåíèìè àáî
ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè. Äâà âåêòîðè ðіâíі, ÿêùî âîíè ñïіâíà-
ïðÿìëåíі і ìàþòü ðіâíі ìîäóëі. Äâà âåêòîðè íàçèâàþòü ïðîòèëåæ-
íèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü ðіâíі ìîäóëі і ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíі.
Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà ç ïî÷àòêîì A(x ; ó ) і êіíöåì Â(x ; y )
íàçèâàþòü ÷èñëà x? x – x і y? y – y . 1 1 2 2
2 1 2 1
15
РОЗДІЛ 1
Çàïèñóþòü òàêèé âåêòîð ó âèãëÿäі:
AB ? (x; y), àáî a ? (x; y), àáî AB ? (x – x ; y – y ).
2 1 2 1
Ìîäóëü âåêòîðà AB ? (x; y) ïîçíà÷àþòü ñèìâîëîì |AB|:
Ñóìîþ âåêòîðіâ a? (x ; y ) і b? (x ; y ) íàçèâàþòü âåêòîð
a+ b? (x + x ; y + y ). Äëÿ äîäàâàííÿ âåêòîðіâ âèêîíóþòüñÿ 1 1 2 2
ïåðåñòàâíèé і ñïîëó÷íèé çàêîíè. 1 2 1 2
Ãåîìåòðè÷íî äîäàâàòè âåêòîðè ìîæíà çà ïðàâèëîì òðèêóò-
íèêà àáî ïàðàëåëîãðàìà (ìàë. 22 і 23). Çàâæäè ïðàâèëüíі âåê-
òîðíі ðіâíîñòі:
AB + BC ? AÑ, AB + BC + CD ? AD.
Ðіçíèöåþ âåêòîðіâ a? (x ; y ) і b? (x ; y ) íàçèâàþòü âåêòîð
a – b ? (x – x ; y – y ). 1 1 2 2
1 2 1 2
Ðіçíèöÿ âåêòîðіâ AB і KP äîðіâíþє AB + PK. Ùîá âіäíÿòè
âіä îäíîãî âåêòîðà äðóãèé, òðåáà äî ïåðøîãî äîäàòè âåêòîð,
ïðîòèëåæíèé äðóãîìó.
ßêі íå áóëè á âåêòîðè AB і AC, çàâæäè AB– AC ? CB.
Äîáóòêîì âåêòîðà a? (x; y) íà ÷èñëî níàçèâàþòü âåêòîð
na ? (nx; ny). Çàâæäè ïðàâèëüíі ðіâíîñòі:
(n + m) a ? na + ma і n(a + b) ? na + nb.
Ñêàëÿðíèì äîáóòêîìäâîõ íåíóëüîâèõ âåêòîðіâ íàçèâàþòü
äîáóòîê ìîäóëіâ öèõ âåêòîðіâ íà êîñèíóñ êóòà ìіæ íèìè:
a ??b ? |a| ??|b| cos ?.
ßêùî õî÷ îäèí ç âåêòîðіâ íóëüîâèé, òî їõ ñêàëÿðíèé
äîáóòîê äîðіâíþє íóëþ.
Êóò ? ìіæ íåíóëüîâèìè âåêòîðàìè a і bìîæíà çíàéòè,
êî ðè ñòóþ÷èñü ôîðìóëîþ cos? ? .
ßêùî a ? (x ; y ) і b ? (x ; y ), òî a??b ? x x + ó ó .
1 1 2 2 1 2 1 2
a ? kb àáî – óìîâà êîëіíåàðíîñòі íåíóëüîâèõ âåêòîðіâ
a і b (k? 0);
a ??b ? 0 àáî x ? x + y ? y ? 0 – óìîâà їõ ïåð ïåí äè êó ëÿð íîñòі.
1 2 1 2
a b a a + b
a + b b
Ìàë. 22 Ìàë. 23
16
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
З A П И Т A Н Н Я І З A В Д A Н Н Я Д Л Я С А М О К О Н Т Р О Л Ю
1. Ùî òàêå ãåîìåòðіÿ? Ùî òàêå ïëàíіìåòðіÿ?
2. Íàâåäіòü ïðèêëàäè ïëîñêèõ і íåïëîñêèõ ôіãóð.
3. Ùî îçíà÷àþòü çàïèñè À? à, Â? à?
4. ßê ñëіä ðîçóìіòè âèñëіâ «òî÷êà Âëåæèòü ìіæ À і Ñ»?
5. Ùî òàêå ïðîìіíü? ßê ïîçíà÷àþòü ïðîìåíі?
6. Ùî òàêå âіäðіçîê? Ùî òàêå êіíöі âіäðіçêà?
7. Ùî òàêå âіäñòàíü ìіæ äâîìà òî÷êàìè?
8. ßêà ôіãóðà íàçèâàєòüñÿ êóòîì? ßê ïîçíà÷àþòü êóòè?
9. ßêèé êóò íàçèâàþòü ãîñòðèì? Ïðÿìèì? Òóïèì? Ðîç-
ãîðíóòèì?
10. ßêі êóòè íàçèâàþòü ñóìіæíèìè? ×îìó äîðіâíþє їõ
ñóìà?
11. ßêі êóòè íàçèâàþòü âåðòèêàëüíèìè?
12. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî âåðòèêàëüíі êóòè.
13. ßêі ïðÿìі íàçèâàþòü ïåðïåíäèêóëÿðíèìè?
14. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ.
15. Ñôîðìóëþéòå îçíàêó ïàðàëåëüíîñòі ïðÿìèõ.
16. Ñôîðìóëþéòå àêñіîìó Åâêëіäà ïðî ïàðàëåëüíіñòü
ïðÿìèõ.
17. Ùî òàêå òðèêóòíèê? Íàçâіòü åëåìåíòè òðèêóòíèêà.
18. ßêèìè áóâàþòü òðèêóòíèêè?
19. Ùî òàêå áіñåêòðèñà, ìåäіàíà, âèñîòà òðèêóòíèêà?
20. Côîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî ñóìó êóòіâ òðèêóòíèêà.
21. Ñôîðìóëþéòå îçíàêè ðіâíîñòі òðèêóò íèêіâ.
22. ßêèé òðèêóòíèê íàçèâàþòü ðіâíîáåäðåíèì?
23. Ñôîðìóëþéòå êіëüêà âëàñòèâîñòåé ðіâíîáåäðåíîãî
òðèêóòíèêà.
24. ßê íàçèâàþòü ñòîðîíè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà?
25. Ñôîðìóëþéòå îçíàêè ðіâíîñòі ïðÿìîêóòíèõ òðèêóò-
íèêіâ.
26. Ùî òàêå ïåðïåíäèêóëÿð, ïîõèëà, ïðîåêöіÿ ïîõèëîї?
27. Ùî òàêå âіäñòàíü âіä òî÷êè äî ïðÿìîї?
28. Ùî òàêå êîëî? Öåíòð? Ðàäіóñ? Äіàìåòð? Õîðäà?
29. Ùî òàêå êðóã? ×èì âіäðіçíÿєòüñÿ êðóã âіä êîëà?
30. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ і âëàñòèâіñòü äîòè÷íîї äî êîëà.
31. Ùî òàêå öåíòðàëüíèé êóò? Âïèñàíèé êóò?
17
РОЗДІЛ 1
32. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî âïèñàíі êóòè.
33. ßê ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê çà òðüîìà äàíèìè ñòîðî-
íàìè?
34. ßê ïîáóäóâàòè êóò, ùî äîðіâíþє äàíîìó?
35. ßê ïîáóäóâàòè áіñåêòðèñó äàíîãî êóòà?
36. ßê ïîäіëèòè äàíèé âіäðіçîê íàâïіë?
37. ßê ÷åðåç äàíó òî÷êó ïðîâåñòè ïðÿìó, ïåðïåíäèêó ëÿð-
íó äî äàíîї ïðÿìîї? À ïàðàëåëüíó äàíіé ïðÿìіé?
38. Ùî òàêå ãåîìåòðè÷íå ìіñöå òî÷îê? Íàâåäіòü ïðè êëàäè.
39. Ùî òàêå ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äàíîãî âіä ðіçêà?
40. ßê íàâêîëî äàíîãî òðèêóòíèêà îïèñàòè êîëî?
41. ßê ó äàíèé òðèêóòíèê âïèñàòè êîëî?
42. Ùî òàêå ÷îòèðèêóòíèê?
43. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ïàðàëåëîãðàìà.
44. ßêі âëàñòèâîñòі ìàє ïàðàëåëîãðàì?
45. Ñôîðìóëþéòå îçíàêè ïàðàëåëîãðàìà.
46. Ùî òàêå ïðÿìîêóòíèê? ßêі âëàñòèâîñòі ìàє ïðÿìî-
êóò íèê?
47. Ùî òàêå ðîìá? Êâàäðàò? Íàçâіòü їõ âëàñòèâîñòі.
48. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó Ôàëåñà.
49. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî ñåðåäíþ ëіíіþ òðèêóòíèêà.
50. Ùî òàêå òðàïåöіÿ? Ðіâíîáі÷íà òðàïåöіÿ? Ïðÿìîêóòíà
òðàïåöіÿ?
51. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî ñåðåäíþ ëіíіþ òðàïåöії.
52. ßêі òðèêóòíèêè íàçèâàþòü ïîäіáíèìè?
53. Ñôîðìóëþéòå îçíàêè ïîäіáíîñòі òðèêóò íèêіâ.
54. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó Ïіôàãîðà.
55. ßê çíàéòè êîîðäèíàòè ñåðåäèíè âіäðіçêà?
56. ßê çíàéòè âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè ç äàíèìè êîîðäè-
íàòàìè?
57. Ùî òàêå ðіâíÿííÿ ôіãóðè?
58. ßêå ðіâíÿííÿ ìàє êîëî? Ïðÿìà?
59. Íàâåäіòü ïðèêëàäè âåêòîðíèõ âåëè÷èí.
60. ßê çîáðàæàþòü âåêòîðè?
61. Ùî òàêå êîîðäèíàòè âåêòîðà?
62. Ùî òàêå äîâæèíà âåêòîðà?
63. ßêі âåêòîðè íàçèâàþòü ðіâíèìè? Êîëіíåàðíèìè?
Ïðîòèëåæíèìè?
18
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
64. Ùî òàêå ñóìà äâîõ âåêòîðіâ?
65. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî òðèêóòíèêà äëÿ äîäàâàííÿ
âåêòîðіâ.
66. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ïàðàëåëîãðàìà äëÿ äîäàâàí íÿ
âåêòîðіâ.
67. Ùî òàêå ðіçíèöÿ âåêòîðіâ? ßê її çíàõîäÿòü?
68. Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëî ìíîæåííÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.
69. Ñôîðìóëþéòå âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.
70. Ùî òàêå ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ êóòà?
71. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó êîñèíóñіâ.
72. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ñèíóñіâ.
73. Ùî òàêå ìíîãîêóòíèê?
74. ×îìó äîðіâíþє ñóìà êóòіâ îïóêëîãî n- êóòíèêà?
75. Ñôîðìóëþéòå îçíà÷åííÿ ïðàâèëüíîãî ìíîãîêóòíèêà.
76. Çà ÿêîþ ôîðìóëîþ çíàõîäÿòü äîâæèíó êîëà?
77. Ùî òàêå ïëîùà ìíîãîêóòíèêà?
78. Çà ÿêèìè ôîðìóëàìè îá÷èñëþþòü ïëîùі ïðÿìîêóò-
íèêà, ïàðàëåëîãðàìà, òðèêóòíèêà, òðàïåöії?
79. Ñôîðìóëþéòå òåîðåìó ïðî âіäíîøåííÿ ïëîù ïîäіáíèõ
ìíîãîêóòíèêіâ.
80. Çà ÿêîþ ôîðìóëîþ çíàõîäÿòü ïëîùó êðóãà?
П Е Р Е В І Р Т Е С Е Б Е
Тематичні завдання в тестовій формі
Ïðÿìі і êóòè Ïðÿìі і êóòè
1. Óñòàíîâіòü, íà ñêіëüêè ÷àñòèí ìîæóòü ðîçáèòè ïëîùè íó
äâі її ïðÿìі.
à) Íà 2 àáî íà 3; á) íà 2 àáî íà 4;
â) íà 3 àáî íà 4; ã) íà 3 àáî íà 5.
2. ßêùî îäèí іç ñóìіæíèõ êóòіâ íà 80? áіëüøèé âіä äðóãîãî,
òî äðóãèé êóò äîðіâíþє:
à) 80?; á) 140?; â) 50?; ã) 120?.
3. Âіäîìî, ùî a ? ci b? c. Óêàæіòü ïðàâèëüíå âіäíîøåííÿ.
à) a ? b; á) a ? b; â) a || b; ã) a ? b.
4. Êóò ìіæ îäíієþ ç äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ і їõ ñі÷íîþ
äîðіâíþє 60?. Ïіä ÿêèì êóòîì áіñåêòðèñà öüîãî êóòà ïåðå-
òèíàє äðóãó ïðÿìó?
à) 60?; á) 40?; â) 30?; ã) 120?.
19
РОЗДІЛ 1
5. Ñêіëüêè ïðÿìèõ ìîæíà ïðîâåñòè ÷åðåç äâі ðіçíі òî÷êè?
à) Îäíó; á) äâі; â) òðè; ã) æîäíîї.
6. Âïèñàíèé êóò, ùî ñïèðàєòüñÿ íà äіàìåòð, äîðіâíþє:
à) 180?; á) 80?; â) 45?; ã) 90?.
7. ßêèì çíàêîì íå ïîçíà÷àþòü âçàєìíå ðîçòàøóâàííÿ äâîõ
ïðÿìèõ?
à) a ? b; á) a ? b; â) a || b; ã) a??b.
8. Ïðÿìі à і bíå ïàðàëåëüíі ïðÿìіé ñ. ×è âèïëèâàє ç öüîãî,
ùî ïðÿìі à і bíå ïàðàëåëüíі? à) Òàê; á) íі; â) òàê, ÿêùî a ? ñ; ã) íі, ÿêùî b ? ñ.
9. Ñêіëüêè ïàð âåðòèêàëüíèõ êóòіâ óòâîðþþòü òðè ïðÿìі, ùî
ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі? à) 3; á) 6; â) 9; ã) 12.
10. Íà îäíіé ñòîðîíі êóòà âіäêëàäåíî òðè âіäðіçêè ÀÂ ? 2,
ÂÑ ? 3 і ÑD ? 5. ×åðåç òî÷êè À, Â, Ñ і D ïðîâåäåíî ïàðàëåëüíі
ïðÿìі ÀÀ , ÂÂ , ÑÑ і DD äî ïåðåòèíó ç іíøîþ ñòîðîíîþ
êóòà. Çíàéäіòü Â 1 1 Ñ 1 , ÿêùî À 1 D ? 20.
1 1 1 1
à) 9; á) 6; â) 4; ã) 10.
Òðèêóòíèêè Òðèêóòíèêè
1. ßêùî êóòè òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2, 3 і 4, òî
éîãî íàéìåíøèé êóò äîðіâíþє:
à) 80?; á) 40?; â) 30?; ã) 20?.
2. Íàéìåíøèé çîâíіøíіé êóò ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà
äîðіâíþє:
à) 180?; á) 90?; â) 135?; ã) 125?.
3. Ïëîùà ðіâíîñòîðîííüîãî òðèêóòíèêà çі ñòîðîíîþ 2 äì
äîðіâíþє:
à) 4 äì 2 ; á) 2 äì 2 ; â) äì 2 ; ã) 0,5 äì 2 .
4. Çíàéäіòü ðàäіóñ êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî òðèêóòíèêà ÀÂÑ,
ÿêùî ÀÑ ? 3 ñì, ?B ? 30?.
à) 3 ñì; á) 6 ñì; â) ñì; ã) 12 ñì.
5. Ìåíøà ìåäіàíà ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ç êàòåòàìè 5 ñì
і 12 ñì äîðіâíþє:
à) 2,5 ñì; á) 6,5 ñì; â) 6 ñì; ã) 5 ñì.
6. Ó òðèêóòíèêó ïðîâåëè òðè ñåðåäíі ëіíії. Ñêіëüêè ïàð ïîäіá-
íèõ òðèêóòíèêіâ óòâîðèëîñÿ?
à) 4; á) 6; â) 10; ã) 12.
20
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
7. Çà ÿêîþ ôîðìóëîþ îá÷èñëþþòü ðàäіóñ êîëà, âïèñàíîãî â
òðèêóòíèê? à)
á) â) ã)
8. Ãіïîòåíóçà ðіâíîáåäðåíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîðіâ- íþє
, à áіñåê òðè ñà, îïóùåíà íà íåї:
à) ; á) ; â) ; ã) .
9. Çíàéäіòü ïëîùó òðèêóòíèêà, äâі ñòîðîíè ÿêîãî äîðіâíþ-
þòü 6 ñì і 14 ñì, à êóò ìіæ íèìè 30?. à) 42 ñì
2 ; á) 21 ñì 2 ; â) 21 ñì 2 ; ã) 21 ñì 2 .
10. Ïëîùі äâîõ ïîäіáíèõ òðèêóòíèêіâ âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 9. ßê
âіäíîñÿòüñÿ їõíі ñòîðîíè?
à) 16 : 81; á) 2 : 4,5; â) 1 : 2,5; ã) 2 : 3.
×îòèðèêóòíèêè ×îòèðèêóòíèêè
1. Êіëüêіñòü îñåé ñèìåòðії êâàäðàòà äîðіâíþє:
à) 2; á) 3; â) 4;ã) 5.
2. Îñíîâè òðàïåöії äîðіâíþþòü 4 ñì і 10 ñì, à її ñåðåäíÿ
ëіíіÿ:
à) 4 ñì ; á) 7 ñì; â) 10 ñì; ã) 3,5 ñì.
3. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 16 ñì. Îäíà éîãî ñòî-
ðîíà – 5 ñì, à äðóãà:
à) 5 ñì; á) 6 ñì; â) 11 ñì; ã) 3 ñì.
4. Çíàéäіòü êóòè ðîìáà, ÿêùî âîíè ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 2 і 7.
à) 30? і 70?; á) 20? і 140?; â)40? і 140?; ã) 80? і 280?.
5. Ìåíøà ñòîðîíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 5 ñì. Çíàéäіòü
äîâæèíó äіàãîíàëі, ÿêùî âîíà óòâîðþє ç áіëüøîþ ñòîðî-
íîþ êóò 30?.
à) 10 ñì; á) 5 ñì; â) 2,5 ñì; ã) 20 ñì.
6. Çíàéäіòü ïëîùó ðîìáà, ÿêùî éîãî ìåíøà äіàãîíàëü і ñòî-
ðîíà äîðіâíþþòü 4 ì. à) 4 ì
2 ; á) 6 ì 2 ; â) 8 ì 2 ; ã) 2 ì 2 .
7. ßêùî áіñåêòðèñà êóòà ïðÿìîêóòíèêà äіëèòü éîãî íà ÷àñ-
òèíè, ïëîùі ÿêèõ ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 1 і 3, òî éîãî ñóìіæíі
ñòîðîíè âіäíîñÿòüñÿ ÿê:
à) 1 : 2; á) 1 : 3; â) 1 : 4; ã) 2 : 3.
8. Ïåðèìåòð ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії, îïèñàíîї íàâêîëî êîëà,
äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäіòü áі÷íó ñòîðîíó òðàïåöії.
à) 5 ñì; á) 6 ñì; â) 11 ñì; ã) 3 ñì.
21
РОЗДІЛ 1
9. Çíàéäіòü íàéáіëüøèé êóò ïðÿìîêóòíîї òðàïåöії, ÿêùî îäèí
ç її êóòіâ óä âі÷і áіëüøèé çà іíøèé.
à) 130? àáî 170?; á) 120? àáî 135?;
â)140? àáî 145?; ã) 180? àáî 128?.
10. Îäèí ç êóòіâ ðîìáà äîðіâíþє 120?, à ïåðèìåòð 24 ñì. Ìåíøà
äіàãî íàëü ðîìáà äîðіâíþє:
à) 2 ñì; á) 3 ñì; â) 4 ñì; ã) 6 ñì.
Êîëî і êðóã Êîëî і êðóã
1. Äîâæèíà ÷âåðòі êîëà ðàäіóñà 2??ì äîðіâíþє:
à) ? 2 ì; á) 16? ì; â) 2 ì; ã) 4? ì 2 .
2. Ïëîùà êðóãà äîðіâíþє 100? ñì 2 . Çíàéäіòü äîâæèíó éîãî
êîëà.
à) 100? ñì; á) 50? ñì; â) 20? ñì; ã) 2500? ñì.
3. Êóò ìіæ äâîìà ðàäіóñàìè êîëà äîðіâíþє 125?. Çíàéäіòü êóò
ìіæ äîòè÷íèìè, ïðîâåäåíèìè ÷åðåç êіíöі öèõ ðàäіóñіâ.
à) 125?; á) 95?; â) 35?; ã) 55?.
4. Ïіä ÿêèì êóòîì іç öåíòðà êîëà, âïèñàíîãî â ðіâíîñòîðîí-
íіé òðèêóòíèê, âèäíî ñòîðîíó öüîãî òðèêóòíèêà?
à) 30?; á) 60?; â) 90?; ã) 120?.
5. Ðàäіóñ êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî ïðàâèëüíîãî øåñòèêóò-
íèêà ç ïåðèìåòðîì 24 ñì, äîðіâíþє:
à) 12 ñì; á) 3 ñì; â) 6 ñì; ã) 4 ñì.
6. Êîëà ðàäіóñіâ 3 ì і 7 ì ìàþòü âíóòðіøíіé äîòèê. Âіäñòàíü
ìіæ їõíіìè öåíòðàìè:
à) 2 ì; á) 10 ì; â) 4 ì; ã) 5 ì.
7. Çíàéäіòü ïëîùó êіëüöÿ, óòâîðåíîãî êîíöåíòðè÷íèìè
êîëàìè ðàäіóñіâ 3 ì і 5 ì.
à) 2 ì 2 ; á) 16? ì 2 ; â) 2? ì 2 ; ã) 4? ì 2 .
8. Ñòîðîíà êâàäðàòà, îïèñàíîãî íàâêîëî êîëà çàâäîâæêè
16? ñì, äîðіâíþє: à) 16 ñì; á) 8 ñì; â) 4 ñì; ã) 4
ñì.
9. Ïðàâèëüíèé òðèêóòíèê ABCâïèñàíèé ó êîëî. Çíàéäіòü
äîâæèíó êîëà, ÿêùî äîâæèíà äóãè ÂÀÑäîðіâíþє 6 ñì. à) 12? ñì; á) 12 ñì; â) 9 ñì; ã) 4 ñì.
10. Çíàéäіòü ïëîùó ñåêòîðà êðóãà ðàäіóñà 6 ñì ç öåíòðàëüíèì
êóòîì 60?.
à) 6? ñì 2 ; á) 3? ñì 2 ; â) 9? ñì 2 ; ã) 2? ñì 2 .
22
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Êîîðäèíàòè íà ïëîùèíі Êîîðäèíàòè íà ïëîùèíі
1. Ñåðåäèíà âіäðіçêà KÐ, äå K(1; –3), Ð(7; 5), ìàє êî îð äè-
íàòè:
à) (–1; 3); á) (4; 1); â) (2; 1); ã) (3; 4).
2. ßêèé çíàê ñëіä ïîñòàâèòè â çàïèñó ÀÑ* ÂÑ çàìіñòü çіðî÷êè,
ÿêùî À(–1; 3), Â(5; 6), Ñ(2; 4,5)?
à) >; á) <; â) ?; ã) ?.
3. ßêà ç òî÷îê íå íàëåæèòü ïðÿìіé 2õ+ ó? 7?
à) (–2; 11); á) (–0,5; 8); â) (2; 5); ã) (0,5; 6).
4. Ïðÿìіé ó? õ+ 5 ïàðàëåëüíà ïðÿìà: à) ó? 5; á) 3õ+ ó? 4; â) 2ó– õ? 2; ã) õ+ 3ó? 6.
5. Ïðÿìà õ+ ó? 5 óòâîðþє ç äîäàòíèì íàïðÿìîì îñі ÎÕ
êóò:
à) 90?; á) 45?; â) 135?; ã) 30?.
6. Öåíòð êîëà õ 2 + (ó– 2) 2 – 8 ? 0 ìàє êîîðäèíàòè:
à) (0; 4); á) (1; 2); â) (0; 2); ã) (2; 4).
7. Òî÷êà Ì, ÿêà ëåæèòü íà îñі ÎÕòà ðіâíîâіääàëåíà âіä òî÷îê
À(5; 4) і Â(2; 1), ìàє êîîðäèíàòè:
à) (0; 4); á) (1; 0); â) (0; 2); ã) (6; 0).
8. Êîëî ç äіàìåòðîì ÀÂ, äå À(4; 3), Â(–4; –3), ìàє ðіâ íÿí íÿ:
à) õ 2 + ó 2 ? 5; á) õ 2 + ó 2 ? 9;
â) õ 2 + ó 2 ? 25; ã) õ 2 + ó 2 ? 3.
9. ßêùî äіàìåòð êîëà õ 2 + ó 2 ? 25 ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó
À(3; 4), òî éîãî ðіâíÿííÿ:
à) 3õ+ 4ó? 25; á) 3ó? 4õ;
â) ó+ õ?5; ã) 4õ+ 3ó? 0.
10. ßêà ç ïðÿìèõ íå є äîòè÷íîþ äî êîëà õ 2 + (ó– 2) 2 ? 9?
à) õ? 3; á) ó? 3; â) õ? –3; ã) ó? –1.
Âåêòîðè Âåêòîðè
1. ßêùî À(1; –3) і Â(–7; 12), òî âåêòîð AB ìàє êîîðäèíàòè:
à) (6; –15); á) (–8; 15); â) (–8; 9); ã) (–6; 9).
2. ßêùî âåêòîðè a і b ïåðïåíäèêóëÿðíі, òî: à) a + b ? 0; á) a – b ? 0;
â) a · b ? 0; ã) a : b ? 0.
3. Çíàéäіòü êîîðäèíàòè âåêòîðà m ? 2p + 3q, ÿêùî p ? (–2; 1),
q ? (4; –3).
à) (8; –7); á) (–14; 0); â) (8; 11); ã) (–2; 3).
23
РОЗДІЛ 1
4. Çíàéäіòü äîâæèíó âåêòîðà a ? (–2; 4). à) 2
; á) 20; â) 12; ã) 2 .
5. Âåêòîð, êîëіíåàðíèé âåêòîðó a ? (–1; 4), ìàє êîîðäèíàòè:
à) (–2; –8); á) (0,5; 2); â) (3; –3); ã) (4; –16).
6. Ñóìîþ âåêòîðіâ BC + AB + DA + CD є âåêòîð:
à) AÂ; á) AC; â) 0; ã) AD.
7. ßêùî ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ îäèíè÷íèõ âåêòîðіâ äîðіâ-
íþє 0,5, òî êóò ìіæ íèìè:
à) 30?; á) 60?; â) 120?; ã) 45?.
8. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі ò âåêòîðè a ? (–2; 6) і b ? (9; ò)
ïåðïåíäèêóëÿðíі?
à) –3; á) 27; â) 3; ã) –27.
9. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі õ âåêòîðè m ? (3; õ) і n ? (–6; 7)
êîëіíåàðíі?
à) 14; á) 3,5; â) –3,5; ã) –14.
10. Ïðîåêöії âåêòîðà AB íà îñі õ і ó äîðіâíþþòü âіäïîâіäíî à і
b, à ïðîåêöіÿ âåêòîðà BA íà âіñü ó äîðіâíþє:
à) –à; á) –b; â) b; ã) à.
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПЛАНІМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
§ 2
Ïëàíіìåòðè÷íі çàäà÷і áóâàþòü ðіçíèõ âèäіâ, çäåáіëüøîãî –
íà îá÷èñëåííÿ, ïîáóäîâó, äîâåäåííÿ ÷è äîñëіäæåííÿ. Ó çàäà-
÷àõ íà îá÷èñëåííÿ íàé÷àñòіøå âèìàãàєòüñÿ çíàéòè çíà÷åííÿ
ãåîìåòðè÷íîї âåëè÷èíè: âіäñòàíü, äîâæèíó äóãè, ìіðó êóòà,
ïåðèìåòð ÷è ïëîùó ôіãóðè.
ÇÀÄÀ×À 1. Çíàéäіòü ñóìó êóòіâ À, Â, Ñ, D, Å çіðêè, çîáðàæåíîї
íà ìàëþíêó 24.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Çîâíіøíіé êóò òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñóìі
äâîõ âíóòðіøíіõ êóòіâ, íå ñóìіæíèõ ç íèì. Òîìó, ïîçíà÷èâøè
íà ìàëþíêó äâà êóòè öèôðàìè 1 і 2, ìàєìî:
? +?D??1, ?Ñ +?Å??2.Îòæå,
C ?À +? +?Ñ +?D +?Å??À +
B D + ?1 +?2 ? 180?. ÂІÄÏÎÂІÄÜ. Ñóìà êóòіâ êîæíîї
2 1 òàêîї ï’ÿòèêóòíîї çіðêè äîðіâíþє
180?.
A E Ó çàäà÷àõ íà ïîáóäîâó âèìàãà-
Ìàë. 24 єòüñÿ ïîáóäóâàòè ôіãóðó çі âêàçàíèìè
24
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
âëà ñòè âîñòÿìè. Êëàñè÷íèìè ââàæàþòü ïîáóäîâè, âèêîíóâàíі
òіëüêè ëіíіéêîþ і öèðêóëåì. Ïðè öüîìó ÷àñòî âèêîðèñòîâó-
þòü ìåòîäè ãåîìåòðè÷íèõ ìіñöü, ïîäіáíîñòі, ïàðàëåëüíîãî
ïåðåíåñåííÿ, ñèìåòðії òîùî.
ÇÀÄÀ×À 2. Ïîáóäóéòå ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê çà ãіïîòåíó-
çîþ ñ і ñóìîþ äâîõ êàòåòіâ m.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Àíàëіç. Ïðè ïóñ-
òè ìî, ùî ïîòðіáíèé òðè êóò íèê ÀÂÑ
ïîáóäîâàíî (ìàë. 25). Äîáóäóâàâøè
äî íüîãî ïðÿ ìîêóòíèé ðіâ íî áåä-
ðåíèé òðèêóòíèê ÂÑK, ìàòèìåìî
òðèêóòíèê ÀÂK, ó ÿêîãî ?K ? 45?,
ÀK? mі ÀÂ? ñ – âіäîìі âіäðіçêè. Çà
äâîìà äàíèìè ñòîðîíàìè і êóòîì K Ìàë. 25
òðèêóòíèê ÀÂKïîáóäóâàòè ìîæ íà.
Ïðîâіâøè â íüîìó ïåð ïåí äèêóëÿð
ÂÑ, ìîæíà âèçíà÷èòè òðåòþ âåð øè-
íó Ñ òðè êóò íèêà ÀÂÑ.
Ïîáóäîâà. Âіäêëàäàєìî âіäðіçîê B 1
ÀK? m. Ïðè îäíîìó éîãî êіíöі
áóäóєìî êóò ÀKÂ? 45?, à ç äðóãîãî, B
ÿê іç öåíòðà, ïðîâîäèìî äóãó êîëà
ðàäіóñà ÀÂ? ñ. ßêùî öÿ äóãà ïåðå-
òèíàє ïðîìіíü KÂ ó òî÷öі Â, ïðî-
âîäè ìî ïåðïåíäèêóëÿð ÂÑ äî ÀK. A С 1 C K
Òðèêóòíèê ÀÂÑ òîé, ÿêèé âèìà- Ìàë. 26
ãàëîñÿ ïîáóäóâàòè.
ÄÎÂÅÄÅÍÍß. Çà ïîáóäîâîþ ÀÑ?ÂÑ, ÀÂ? ñ і ÀÑ + ÑÂ?
? ÀÑ + ÑK? ÀK? m.
Äîñëіäæåííÿ. ßêùî ñ? m, òî çãіäíî ç íåðіâíіñòþ òðèêóòíèêà
ðîçâ’ÿçêіâ íå іñíóє.
ßêùî ñ < , òî äóãà êîëà íå ìàє ç ïðîìåíåì KÂ ñïіëüíèõ
òî÷îê, à òîìó ðîçâ’ÿçêіâ íåìàє.
ßêùî ? ñ < m, òî çàäà÷à ìàє îäèí ðîçâ’ÿçîê:
ïðè ñ? êîëî і ïðîìіíü KÂäîòèêàþòüñÿ;
â іíøèõ âèïàäêàõ, õî÷ äóãà ç ïðîìåíåì і ïåðåòèíàþòüñÿ ó
äâîõ òî÷êàõ (ìàë. 26), àëå óòâîðåíі ïðè öüîìó òðèêóòíèêè
ÀÂÑ і ÀÂ Ñ ðіâíі.
Ó çàäà÷àõ íà äîâåäåííÿ ïðîïîíóєòüñÿ äîâåñòè ÿêå-íåáóäü 1 1
òâåðä æåííÿ.
25
РОЗДІЛ 1
B ÇÀÄÀ×À 3. Äîâåäіòü, ùî ñóìà âіäñòà-
íåé âіä äîâіëüíîї òî÷êè Õ âíóòðіøíüîї
îáëàñòі ïðàâèëüíîãî òðèêóòíèêà äî
K éîãî ñòîðіí ñòàëà, òîáòî íå çàëåæèòü
P âіä ïîëîæåííÿ öієї òî÷êè.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íåõàé ÀÂÑ – ïðà-
X âèëüíèé òðèêóòíèê çі ñòîðîíîþ à і
A T C âíóòðіøíіé îáëàñòі, à ÕK, ÕÐ, ÕÒ – âèñîòîþ h, Õ – äîâіëüíà òî÷êà ó éîãî
Ìàë. 27 ïåðïåíäèêóëÿðè äî ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ (ìàë. 27).
Âèðàçèìî äâîìà ñïîñîáàìè ïëîùó S
òðèêóòíèêà ABC.
Âіäðіçêè ÕÀ, ÕÂ, ÕÑ äàíèé òðèêóòíèê ðîçáèâàþòü íà òðè
òðèêóòíèêè ç îñíîâàìè ÀÂ, ÂÑ, ÑÀ і âèñîòàìè ÕK, ÕÐ, ÕÒ.
Їõ ïîäâîєíі ïëîùі äîðіâíþþòü à · ÕK, à · ÕÐ, à · ÕÒ, à ïîäâîєíà
ïëîùà âñüîãî òðèêóòíèêà à · h. Îòæå,
à · ÕK + à · ÕÐ + à · ÕÒ? à · h, çâіäñè ÕK + ÕÐ + ÕÒ? h.
Îòæå, äå á íå áóëà òî÷êà Õ (óñåðåäèíі ABC), ñóìà âіäñòàíåé
âіä íåї äî ñòîðіí íå çìіíþєòüñÿ і äîðіâíþє h.
Ó çàäà÷àõ íà äîñëіäæåííÿ ïðîïîíóєòüñÿ äîñëіäèòè ùî-íå áóäü.
ÇÀÄÀ×À 4. Êîæíà ñòîðîíà ïà ðà ëå ëî ãðàìà ïàðàëåëüíà ïðî-
òè ëåæíіé ñòîðîíі. À ÷è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê, êîæíà ñòî ðî íà
ÿêîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðî òè ëåæíîї ñòîðîíè?
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Ïåðøèé ñïîñіá. Ñïðî áóєìî íàêðåñëèòè õî÷à
á îäèí ç òàêèõ ÷îòèðèêóòíèêіâ. Íåõàé À і ÑD – éîãî ïðî òè-
ëåæíі ñòîðîíè – ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè. Ïðîâіâøè âіäðіçêè
ÀD і ÂÑ, óòâîðèìî ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD, ó ÿêîãî À ? ÑD
(ìàë. 28). Äâі іíøі éîãî ñòîðîíè ÀD і ÂÑ ìîæóòü áóòè íå ïåð-
ïåí äè êóëÿðíі. Àëå ïðîäîâæèâøè àáî âêî ðî òèâøè âіä ðі çîê
ÀÂ, ìîæíà äîñÿãòè, ùîá і âîíè ñòàëè ïåðïåíäèêóëÿðíèìè.
ÂІÄÏÎÂІÄÜ. ×îòèðèêóòíèê, êîæíà ñòîðîíà ÿêîãî ïåðïåí-
äè êóëÿðíà äî ïðî òèëåæíîї ñòîðîíè, іñíóє.
Äðóãèé ñïîñіá. Íåõàé ÀÂÑ– äîâіëüíèé ãîñòðîêóòíèé
òðèêóòíèê, à éîãî âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі Í (ìàë. 29).
C
D
A B
Ìàë. 28 Ìàë. 29
26
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Çàôàðáóєìî íåîïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑÍ. Êîæíà éîãî ñòî-
ðîíà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðîòèëåæíîї ñòîðîíè.
Äðóãèé ñïîñіá ïðîäóêòèâíіøèé: âіí äîäàòêîâî ïîêàçóє, ùî
â òàêîãî ÷îòèðèêóòíèêà äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі. À îòæå,
ñåðåäèíè ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà ÀÂÑÍ – âåðøèíè ïðÿìîêóò-
íèêà, à ïëîùà ÷îòèðèêóòíèêà ÀÂÑÍ äîðіâíþє ïіâäîáóòêó äіà-
ãîíàëåé òîùî.
ßêùî â ðîçâ’ÿçàííі âèêîðèñòîâóþòü òіëüêè ãåîìåòðè÷íі
âіäîìîñòі, òàêå ðîçâ’ÿçàííÿ íàçèâàþòü ãåîìåòðè÷íèì. ßêùî
æ âèêîðèñòîâóþòü âіäîìîñòі ç àëãåáðè ÷è ìàòåìàòè÷íîãî àíà-
ëіçó, òî êàæóòü ïðî àíàëіòè÷íå ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàé÷àñòіøå
àíàëіòè÷íå ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і çâîäèòüñÿ äî ñêëàäàííÿ çà óìî-
âîþ ãåîìåòðè÷íîї çàäà÷і âіäïîâіäíèõ ðіâíÿíü ÷è ñèñòåì
ðіâíÿíü.
ÇÀÄÀ×À 5. Çíàéäіòü ïëîùó ðîìáà, ÿêùî éîãî âèñîòà і ìåí-
øà äіàãîíàëü âіäïîâіäíî äîðіâíþþòü 12 ñì і 13 ñì.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íåõàé ÀÂÑD– ðîìá
(ìàë. 30), à ÂÍ і ÂD– éîãî âèñîòà і äі à -
ãîíàëü. Òîäі ÂÍ ? 12 ñì, ÂD ? 13 ñì, à ÍD ?
(ñì).
Íåõàé ÀÍ? õ.Òîäі ÀÂ? AD? AH +
+ HD? x + 5.
Ç ÀÂÍ ÀÂ 2 ? ÂÍ 2 + ÀÍ 2 . Ìîæåìî Ìàë. 30
ñêëàñòè ðіâíÿííÿ:
(x + 5) 2 ? 12 2 + õ 2 , àáî õ 2 + 10õ + 25 ? 144 + õ 2 , çâіäñè
õ? 11,9 (ñì).
Ìàєìî ÀÂ? x + 5 ? 11,9 + 5 ? 16,9 (ñì). Çíàéäåìî òåïåð
ïëîùó S ðîìáà ÀÂÑD.
S ? ÂÍ· AD, òîáòî S?12 · 16,9 ? 202,8 (ñì 2 ).
ÂІÄÏÎÂІÄÜ. S?202,8 ñì 2 .
Åôåêòèâíèìè ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷
є êîîðäèíàòíèé і âåêòîðíèé ìåòîäè.
Êîîðäèíàòíèé ìåòîä ïîëÿãàє â òîìó, ùî ðîçâ’ÿçóþ÷è ãåî-
ìåòðè÷íó çàäà÷ó, îïåðóþòü êîîðäèíàòàìè îêðåìèõ òî÷îê,
ðіâíÿííÿìè ïðÿìèõ àáî іíøèõ ëіíіé. Ðîçâ’ÿçóþ÷è çàäà÷ó
êîîðäèíàòíèì ìåòîäîì,ðîçãëÿäóâàíі ôіãóðè ðîçìіùóþòü íà
êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі. Ïðèïèñàâøè îêðåìèì òî÷êàì ôіãóð
êîîðäèíàòè, à ëіíіÿì — ðіâíÿííÿ, äàëі îá÷èñëþþòü êîîðäè-
íàòè іíøèõ òî÷îê, âèâîäÿòü ðіâíÿííÿ іíøèõ ëіíіé. Ó ðåçóëü-
òàòі îòðèìóєìî ïîòðіáíó âіäïîâіäü.
Ðàöіîíàëüíіñòü ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і öèì ìåòîäîì çíà÷íîþ
ìіðîþ çàëåæèòü âіä òîãî, ÿê ðîçãëÿäóâàíó ôіãóðó ðîçìіñòèòè
âіäíîñíî êîîðäèíàòíèõ îñåé. Íàéçðó÷íіøå öèì ìåòîäîì
27
РОЗДІЛ 1
êîðèñòóâàòèñÿ òîäі, êîëè â çàäà÷і ìîâà éäå ïðî ïðÿìі êóòè àáî
ñóìè êâàäðàòіâ ÿêèõîñü âіäñòàíåé.
ÇÀÄÀ×À 6. Çíàéäіòü ñóìó êâàäðàòіâ
âіäñòàíåé âіä äîâіëüíîї òî÷êè êîëà
ðàäіóñà 5 ñì äî âåðøèí îïèñàíîãî
íàâêîëî íüîãî êâàäðàòà.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Êîëî ðàäіóñà 5 ñì і
îïèñàíèé íàâêîëî íüîãî êâàäðàò ðîç-
ìіñòèìî â ñèñòåìі êîîðäèíàò òàê, ùîá
її îñі áóëè ñåðåäèííèìè ïåð ïåí äè êó ëÿ-
ðàìè äëÿ ñòîðіí êâàäðàòà (ìàë. 31).
Òîäі êîëó âіäïîâіäàòèìå ðіâíÿííÿ õ 2 +
Ìàë. 31 + ó 2 ? 25, à âåðøèíè êâàäðàòà ìà òè ìóòü
êîîðäèíàòè À(5; –5), Â(5; 5), Ñ(–5; 5),
D(–5; –5).
ßêùî Ì(õ; ó) – äîâіëüíà òî÷êà êîëà, òî ÌÀ 2 + Ì 2 + ÌÑ 2 +
+ ÌD 2 ? (5 – õ) 2 +(–5 – ó) 2 + (5 – õ) 2 +(5 – ó) 2 + (–5 – õ) 2 +
+(5 – ó) 2 + (–5 – õ) 2 +(–5 – ó) 2 ? 2((5 – õ) 2 +(5 + õ) 2 +(5 +
+ ó) 2 + (5 – ó) 2 ) ? 200 + 4(õ 2 + ó 2 ) ? 300 (ñì 2 ).
ÂІÄÏÎÂІÄÜ. 300 ñì 2 .
ßêùî çàäà÷ó ðîçâ’ÿçóþòü, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі
âåêòîðіâ, òî öå – âåêòîðíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і. Äëÿ
åôåêòèâíîãî éîãî çàñòîñóâàííÿ ñëіä óìіòè ãåîìåòðè÷íі ñïіâ-
âіäíîøåííÿ (âëàñòèâîñòі ãåîìåòðè÷íèõ ôіãóð) çàïèñóâàòè ó
âèãëÿäі âåêòîðíèõ ðіâíîñòåé. Ïðè öüîìó ÷àñòî âèêîðèñòîâó-
þòü òàêі òâåðäæåííÿ òà âåêòîðíі ðіâíîñòі:
1) OA ? OB– òî÷êè À і  çáіãàþòüñÿ;
2) AB ? kCD – ïðÿìі ÀÂ і CD ïàðàëåëüíі àáî çáіãàþòüñÿ;
3)AB ? kAC – òî÷êè À, Â, Ñëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé;
4) AB · CD ? 0– ïðÿìі ÀÂі CD ïåðïåíäèêóëÿðíі; 5)
,à ÷èñëà mі näîäàòíі – òî÷êà Ìäіëèòü
âіä ðіçîê ÀÂó âіäíîøåííі ÀÌ: ÌÂ? m : ï;
6) a · b ? |a| · |b| cos? – êóò ìіæ ïðÿìèìè, íà ÿêèõ ëåæàòü
âåêòîðè aіb,äîðіâíþє ?;
7) –Ì – ñåðåäèíà âіäðіçêà ÀÂ;
8) – Ì –òî÷êà ïåðåòèíó ìåäіàí
òðèêóòíèêà ÀÂÑ;
9) – òî÷êà Ì äіëèòü âіäðіçîê ÀÂ
ó âіäíîøåííі ÀÌ : ÌÂ ? ò : ï.
28
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Êîðèñòóþ÷èñü öèìè ñïіââіäíîøåííÿìè, ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè
áàãàòî ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷ òà äîâîäèòè òåîðåìè.
Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і âåêòîðíèì ìåòîäîì ñêëàäàєòüñÿ ç
êіëüêîõ êðîêіâ:
– ïîäàíі â çàäà÷і ñïіââіäíîøåííÿ «ïåðåêëàäàþòü ìîâîþ»
âåêòîðіâ, òîáòî çàïèñóþòü їõ âіäïîâіäíèìè âåêòîðíèìè
ðіâíîñòÿìè;
– îòðèìàíі âåêòîðíі ðіâíîñòі ïåðåòâîðþþòü, âèêîðèñòîâó-
þ÷è ïðàâèëà âåêòîðíîї àëãåáðè;
– âіä ìîâè âåêòîðіâ ïåðåõîäÿòü äî ìîâè ãåîìåòðії.
ÇÀÄÀ×À 7. Òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìèõ, ÿêèì íàëåæàòü áі÷íі
ñòîðîíè òðàïåöії, òà ñåðåäèíè її îñíîâ ëåæàòü íà îäíіé ïðÿ-
ìіé. Äîâåäіòü.
ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íà ìàëþíêó 32 çîáðàæåíî òðàïåöіþ ÀÂÑD.
Òî÷êè Ì і N– ñåðåäèíè її îñíîâ, à Î – òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìèõ ÀÂ
і ÑD. Ùîá äîâåñòè, ùî òî÷êè Ì, N і Î ëåæàòü íà îäíіé ïðÿ ìіé,
ïîêàæåìî, ùî âåêòîðè OM і ON – êî -
ëіíåàðíі.
Îñêіëüêè Ì – ñåðåäèíà ÂÑ, à N –
ñåðåäèíà AD, òî âèêîíóþòüñÿ ðіâíîñòі:
OM ? (OB + OC) і ON? (OA + OD).
Îñêіëüêè ÎÂÑ ÎÀD, òî OA: OB ?
? OD: OC ? k. Çâіäñè
OA? kOB, OD? kOC, ON ? (kOB +
+ kOC)? k(OB + OC) ? kOM.
Ìàєìî ON ? kOM. Îòæå, òî÷êè Ì, N і
Îëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé. Ìàë. 32
З A З A З A Д A Ч І І В П Р A В И Д A Д A Ч І Ч І І І В В П Р П Р A В A В И И
А А
1. ×åðåç òî÷êó íà ïëîùèíі ïðîâåäåíî 3 ïðÿìі. Äîâåäіòü, ùî
ìіðè ïðèíàéìíі äâîõ ç óòâîðåíèõ êóòіâ ìåíøі çà 61?.
2. Óñòàíîâіòü âèä òðèêóòíèêà, ÿêùî éîãî êóòè ïðîïîðöіéíі
÷èñëàì 1, 2 і 3.
3. Âèçíà÷òå íàéáіëüøèé âíóòðіøíіé êóò òðèêóòíèêà, ÿêùî
éîãî çîâíіøíі êóòè (âçÿòі ïî îäíîìó ïðè âåðøèíі) ïðîïîð-
öіéíі ÷èñëàì 2, 3 і 4.
4. Âèñîòà і ìåäіàíà ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, ïðîâåäåíі ç âåð-
øèíè ïðÿìîãî êóòà, äіëÿòü êóò íà òðè ðіâíі ÷àñòèíè.
29
РОЗДІЛ 1
Çíàéäіòü êóò ìіæ âèñîòîþ і áіñåêòðèñîþ, ïðîâåäåíîþ іç
öієї âåðøèíè.
5. Òî÷êà Î – ñïіëüíà ñåðåäèíà âіäðіçêіâ AD і BC. Ïðÿìà l, ùî
ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Î, ïåðåòèíàє âіäðіçîê À ó òî÷öі Ì,
à âіäðіçîê CD ó òî÷öі N. Äîâåäіòü:
à) ÌÎ? NO; á) AM? DN; â)??DNO? ?AMO.
6. Ó ðіâíîáåäðåíîìó òðèêóòíèêó ÀÂÑ ïðîâåäåíî ìåäіàíè ÀÌ
і BN äî áі÷íèõ ñòîðіí. Äîâåäіòü:
à) ÀÌÂ ? BNA; á) CAM ? CBN.
7. Ó ðіâíîáåäðåíîìó òðèêóòíèêó ÀÂÑ ïðîâåäåíî áіñåêòðèñè
ÀÌ і BN äî áі÷íèõ ñòîðіí. Äîâåäіòü:
à) ÀÌÂ ? BNA; á) CAM ? CBN.
8. Ïîáóäóéòå ðіâíîáåäðåíèé òðèêóòíèê, ó ÿêîãî áі÷íà ñòîðîíà
і âèñîòà, ïðîâåäåíà äî îñíîâè, äîðіâíþþòü âіäïîâіäíî 8 ñì
і 6 ñì.
9. Ïîáóäóéòå ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê, ó ÿêîãî îäèí ç êàòå-
òіâ äîðіâíþє 3 ñì, à ìåäіàíà, ïðîâåäåíà äî іíøîãî êàòåòà,
6 ñì.
10. Ïîäіëіòü çàäàíèé âіäðіçîê íà 7 ðіâíèõ ÷àñòèí.
11. Ñóìà äâîõ ñóñіäíіõ êóòіâ îïóêëîãî ÷îòèðèêóòíèêà äîðіâíþє
100?. Çíàéäіòü êóò ìіæ áіñåêòðèñàìè äâîõ іíøèõ éîãî êóòіâ.
12. Çíàéäіòü óñі ìåäіàíè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ç êàòåòàìè
3,2 ñì і 4,8 ñì.
13. Áіñåêòðèñà òóïîãî êóòà ïàðàëåëîãðàìà äіëèòü éîãî ñòîðîíó
íà âіäðіçêè 5 ñì і 15 ñì, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè ãîñòðîãî
êóòà. Îá÷èñëіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà.
14. Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîâåäåíèé ç âåðøèíè ïðÿìîãî êóòà äî
îäíієї ç äіàãîíàëåé ïðÿìîêóòíèêà, ïîäіëÿє її ó âіäíîøåííі
1 : 3. Äîâåäіòü, ùî îäíà çі ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє
ïîëîâèíі äіàãîíàëі.
15. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 6 ñì і 4 ñì, à âèñîòà,
ïðîâåäåíà ç їõíüîї ñïіëüíîї âåðøèíè, – 4 ñì. Çíàéäіòü
ïëîùó òðèêóòíèêà.
16. Çíàéäіòü îñíîâè òðàïåöії, ÿêùî їõ ðіçíèöÿ і ñåðåäíÿ ëіíіÿ
òðàïåöії äîðіâíþþòü 10 ì.
17. Êàòåòè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 5 ñì і
12 ñì. Çíàéäіòü ñèíóñè, êîñèíóñè і òàíãåíñè êóòіâ òðè êóò-
íèêà.
18. Îá÷èñëіòü êóòè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії, ÿêùî ñèíóñ îäíîãî ç
íèõ äîðіâíþє 0,5 .
19. Ïîáóäóéòå êóò, êîñèíóñ ÿêîãî äîðіâíþє 0,5. Çíàéäіòü ñèíóñ
і òàíãåíñ öüîãî êóòà.
20. Ïîáóäóéòå êóò, òàíãåíñ ÿêîãî äîðіâíþє 5. Çíàéäіòü ñèíóñ і
êîñèíóñ öüîãî êóòà.
30
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
21. Ïîáóäóéòå ðіâíîáåäðåíèé òðèêóòíèê çà áі÷íîþ ñòîðîíîþ 6 cì і êóòîì ïðè îñíîâі, êîñèíóñ ÿêîãî äîðіâíþє .
22. Êîñèíóñè ãîñòðèõ êóòіâ òðàïåöії äîðіâíþþòü 0,8 і 0,6.
Çíàéäіòü ñèíóñè, êîñèíóñè і òàíãåíñè éîãî òóïèõ êóòіâ.
23. Çíàéäіòü íåâіäîìó ñòîðîíó ÀÂÑ, ÿêùî:
à) ÀÂ? 3 ñì, ÂÑ? 8 ñì, ?Â? 60?;
á) ÀÂ? 6 ñì, ÀÑ? 4 ñì, ?À? 45?.
24. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 7, 8 і 13. Çíàéäіòü
íàéáіëüøèé êóò òðèêóòíèêà, ÿêùî éîãî ïåðèìåòð 56 ñì.
25. Äіàãîíàëі ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþþòü 12 ñì і 32 ñì, à îäíà
çі ñòîðіí 14 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà і êóò
ìіæ éîãî äіàãîíàëÿìè.
26. Äіàãîíàëі ðîìáà äîðіâíþþòü 16 ñì і 12 ñì. Çíàéäіòü ïåðè-
ìåòð і ïëîùó ðîìáà.
27. Ïåðèìåòð ðîìáà äîðіâíþє 6,8 ñì, à îäíà ç äіàãîíàëåé 1,6 ñì.
Çíàéäіòü ïëîùó ðîìáà.
28. Ïåðèìåòð ïàðàëåëîãðàìà äîðіâíþє 52 ñì, à éîãî ïëîùà
60 ñì 2 . Çíàéäіòü ñòîðîíè і âèñîòè ïàðàëåëîãðàìà, ÿêùî
éîãî ãîñòðèé êóò 30?.
29. Ó ðіâíîáі÷íіé òðàïåöії îñíîâè äîðіâíþþòü 8 ñì і 18 ñì.
Çíàéäіòü ðàäіóñ âïèñàíîãî êîëà.
30. Áіñåêòðèñà ïðÿìîãî êóòà òðèêóòíèêà äіëèòü ãіïîòåíóçó íà
âіäðіçêè 20 äì і 15 äì. Çíàéäіòü ïëîùó òðèêóòíèêà.
31. Çíàéäіòü äіàãîíàëі ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії, îñíîâè ÿêîї äîðіâ-
íþþòü 11 ñì і 21 ñì, à áі÷íà ñòîðîíà 13 ñì.
32. Çíàéäіòü êóòè îïóêëîãî ï’ÿòèêóòíèêà, ÿêùî âîíè ïðî-
ïîðöіéíі ÷èñëàì 3, 4, 5, 7, 8.
33. Öåíòðàëüíèé êóò ïðàâèëüíîãî ï-êóòíèêà ó 4 ðàçè ìåíøèé
çà éîãî âíóòðіøíіé êóò. Çíàéäіòü ï.
34. Íàêðåñëіòü êîëî äіàìåòðà 6 ñì. Âïèøіòü ó êîëî é îïèøіòü
íàâêîëî íüîãî ïðà âèëüíі ï-êóòíèêè òà îá÷èñëіòü їõ ïåðè-
ìåòðè, ÿêùî: à) ï? 3; á) ï? 4; â) ï? 6; ã) ï? 12.
35. Ó êîëî âïèñàíî êâàäðàò і ïðàâèëüíèé øåñòèêóòíèê. Ïå ðè-
ìåòð êâàäðàòà 24 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó øå ñòè-
êóòíèêà.
36. Íàâêîëî êîëà îïèñàíî ïðàâèëüíèé òðèêóòíèê, à â êîëî
âïèñàíî ïðàâèëüíèé øåñòèêóòíèê, ïåðèìåòð ÿêîãî 18 ñì.
Çíàéäіòü ïåðèìåòð і ïëîùó òðèêóòíèêà.
37. Äàíî ïðàâèëüíèé øåñòèêóòíèê çі ñòîðîíîþ 4 ñì. Çíàéäіòü
øèðèíó і ïëîùó êіëüöÿ, óòâîðåíîãî êîëàìè, âïèñàíèì і
îïèñàíèì íàâêîëî øåñòèêóòíèêà.
38. Çíàéäіòü ñòîðîíè òà ïëîùó ÀÂÑ, ÿêùî A(3; 4), B(–3; 4),
C(–3; –4).
31
РОЗДІЛ 1
39. Äàíî ÀÂÑ, ó ÿêîãî À(7; 5), Â(4; 1), Ñ(–4; 7). Çíàéäіòü
äîâæèíè éîãî ìåäіàí.
40. Âіäðіçîê MNòî÷êàìè Kі Ðïîäіëåíî íà òðè ðіâíі ÷àñòèíè
(ÌK? KÐ? PN). Çíàéäіòü êîîðäèíàòè òî÷êè N, ÿêùî
Ì(2; –4), Ð(–6; 2).
41. Íà îñі àáñöèñ çíàéäіòü òî÷êó Ì, ÿêà ðіâíîâіääàëåíà âіä
ïî÷àòêó êîîðäèíàò і âіä òî÷êè Ð(2; 3).
42. Íàïèøіòü ðіâíÿííÿ ïðÿìîї, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè
À(1; 4) і Â(–2; 1). Çíàéäіòü ïëîùó òðèêóòíèêà, ÿêèé âіä òè-
íàє öÿ ïðÿìà âіä îñåé êîîðäèíàò.
43. Äîâåäіòü, ùî òðèêóòíèê ç âåðøèíàìè À(3; 4), Â(6; –2),
Ñ(–3; 1) – ðіâíîáåäðåíèé. Çíàéäіòü éîãî ïëîùó.
44. Óñòàíîâіòü âèä ÷îòèðèêóòíèêà ABCD, ÿêùî A(3; 1), B(4; 6),
Ñ(9; 7), D(8; 2). Çíàéäіòü éîãî ïåðèìåòð і ïëîùó.
45. Çíàéäіòü êîîðäèíàòè òî÷êè, ÿêà ñèìåòðè÷íà òî÷öі À(3; –5)
âіäíîñíî: à) òî÷êè (0; 0); á) îñі àáñöèñ; â) îñі îðäèíàò.
46. Ïîáóäóéòå äâà äîâіëüíі âåêòîðè aі b. Ïîáóäóéòå âåêòîð d
òàêèé, ùî: à) d? a + b; á) d? a– b;
â) d? a– 3b; ã) d? 2a+ 0,5b.
47. ×è ðіâíі âåêòîðè ABі CD, ÿêùî A(1; 6), B(3; 2), Ñ(0; –1),
D(2; –5)?
48. Çíàéäіòü ìîäóëü âåêòîðà p? 2a– 3b, ÿêùî a? (1; 3), b?
? (–2; 0).
49. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ õâåêòîðè a? (õ; 2) і b? (4; 2x)
êîëіíåàðíі?
50. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ õâåêòîðè p? (2; õ) і s? (õ; õ+ 3)
ïåðïåíäèêóëÿðíі?
Б Б
51. Ïî ðіçíі ñòîðîíè âіä ïðÿìîї MN ïîçíà÷åíî òî÷êè À і  òàê,
ùî ÌÀ ? ÌÂ і NA? NB. Äîâåäіòü, ùî ÀÂ ? MN.
52. Ó ðіâíîáåäðåíîìó òðèêóòíèêó îñíîâà äîðіâíþє 30 ñì. Âè -
ñîòà, ïðîâåäåíà äî áі÷íîї ñòîðîíè, ïîäіëÿє її íà âіäðіçêè ó
âіäíîøåííі 7 : 18, ïî÷èíàþ÷è âіä âåðøèíè. Çíàéäіòü ïëîùі
÷àñòèí òðèêóòíèêà, íà ÿêі éîãî ïîäіëÿє öÿ âèñîòà.
53. Ñòîðîíà òðèêóòíèêà, ìåäіàíà і âèñîòà, ïðîâåäåíі äî íåї,
äîðіâíþþòü âіäïîâіäíî 34, 25 і 24 ñì. Çíàéäіòü ïåðèìåòð
òðèêóòíèêà.
54. Îñíîâè òðàïåöії äîðіâíþþòü 6 ñì і 18 ñì. Ó ÿêîìó âіäíî-
øåííі äіàãîíàëі äіëÿòüñÿ òî÷êîþ ïåðåòèíó?
55. Äîâæèíà êîëà çáіëüøèëàñÿ íà 20 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ
çáіëüøèòüñÿ ïëîùà âïèñàíîãî â öå êîëî ïðàâèëüíîãî
òðèêóòíèêà?
32
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
56. Ãіïîòåíóçà ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîðіâíþє 12 ñì, à
îäèí ç ãîñòðèõ êóòіâ äîðіâíþє 30?. Çíàéäіòü ðàäіóñ êîëà ç
öåíòðîì ó âåðøèíі öüîãî êóòà, ÿêå ïîäіëÿє äàíèé òðèêóò-
íèê íà äâі ðіâíîâåëèêі ÷àñòèíè.
57. Áàòüêî і äî÷êà ñòîÿòü îäíå íàâïðîòè îäíîãî. Їõíі òіíі âіä-
ïîâіäíî äîðіâíþþòü 3 ì і 2,5 ì. ßêèé çðіñò ìàє äî÷êà,
ÿêùî çðіñò áàòüêà 183 ñì?
58. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії, â ÿêó ìîæíà âïèñàòè êîëî,
ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 3 і 11. Çíàéäіòü ñèíóñè êóòіâ òðà -
ïåöії.
59. Çíàéäіòü íåâіäîìі ñòîðîíè ÀÂÑ, ÿêùî:
à) ÀÂ? 5 ñì, ÂÑ? 8 ñì, ?Â? 60?; á) ÀÂ? 6 ñì, ÀÑ? 4 ñì, cos B? ; â) ÀÑ– ÀÂ? 6 ñì, ÂÑ? 8 ñì, ?Â? 120?;
ã) ÀÑ? 6 ñì, ÂÑ? 14 ñì, ?A? 60?.
60. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 11 ñì, 23 ñì і 30 ñì.
Çíàéäіòü äîâæèíó ìåäіàíè, áіñåêòðèñè і âèñîòè, ïðîâåäå-
íèõ äî íàéáіëüøîї ñòîðîíè.
61. Ó òðèêóòèêó ÀÂÑ AB? BC? 6 ñì, sin A? 0,4. Çíàéäіòü âіä-
ñòàíü âіä òî÷êè ïåðåòèíó ìåäіàí òðèêóòíèêà äî öåíòðà
êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî òðèêóòíèêà.
62. AL– áіñåêòðèñà ðіâíîáåäðåíîãî ÀÂÑ(ÀÂ? ÂÑ), BL? à,
?A? 2?. Çíàéäіòü ñòîðîíè òðèêóòíèêà і äîâæèíè éîãî
áіñåêòðèñ.
63. BM– ìåäіàíà òðèêóòíèêà ÀÂÑ, BM? m, ?ABM? ?, ?CBM?
? ?. Çíàéäіòü ÀÂ.
64. Îñíîâè òðàïåöії äîðіâíþþòü 6 ñì і 24 ñì. Çíàéäіòü ðàäіóñè
âïèñàíîãî і îïèñàíîãî êіë.
65. Íà ñòîðîíàõ ÀÂі ÂÑòðèêóòíèêà ÀÂÑâçÿòî òî÷êè Kі Ò
òàê, ùî ÀÂ? 10 ñì, ÀK? 2 ñì, ÂÑ? 14 ñì, ÒÑ? 9 ñì. Çíàé-
äіòü ïëîùó ÷îòèðèêóòíèêà ÀKTÑ, ÿêùî S ? 28 ñì 2 .
ÀÂÑ
66. Îñíîâè ðіâíîáі÷íîї òðàïåöії ABCDäîðіâíþþòü 11 ñì і 21 ñì,
à áі÷íà ñòîðîíà – 13 ñì. Çíàéäіòü ðàäіóñè êіë: à) îïè ñàíîãî
íàâêîëî òðàïåöії; á) âïèñàíîãî â ÀÂÑ; â) âïè ñàíîãî â
ACD.
67. Äàíî äâà êðóãè ç ðàäіóñàìè ïî 1 äì, âіäñòàíü ìіæ їõ öåíòðà ìè äîðіâíþє
äì. Çíàéäіòü ïëîùó ñïіëüíîї ÷àñ-
òèíè öèõ êðóãіâ.
68. Ñïіëüíà õîðäà äâîõ êðóãіâ ñòÿãóє äóãè 60? і 120?. Çíàéäіòü
âіäíîøåííÿ ðàäіóñіâ öèõ êðóãіâ.
69. ×îòèðè ñåðïèêè óòâîðåíі êîëîì, îïèñàíèì íàâêîëî êâàä-
ðàòà, і ïіâêîëàìè, ïîáóäîâàíèìè íà ñòîðîíàõ êâàäðàòà ÿê
33
РОЗДІЛ 1
Ìàë. 33 Ìàë. 34 Ìàë. 35
íà äіàìåòðàõ (ìàë. 33).Äîâåäіòü, ùî ñóìà ïëîù öèõ ÷îòè-
ðüîõ ñåðïèêіâ äîðіâíþє ïëîùі êâàäðàòà.
70. Çíàéäіòü ïëîùó ôіãóðè, çàøòðèõîâàíîї íà ìàëþíêó 34.
71. Íà ìàëþíêó 35 çîáðàæåíî òðè ðіçíі ïîïàðíî äîòè÷íі êîëà
і õîðäà, ÿêà äîòèêàєòüñÿ äî äâîõ ìåíøèõ êіë ó їõ ñïіëüíіé
òî÷öі. Çíàéäіòü ïëîùó çàøòðèõîâàíîї ÷àñòèíè áіëüøîãî
êðóãà, ÿêùî äî âæèíà õîðäè à.
72. Ó êðóãîâèé ñåêòîð ÀÎÂðàäіóñà ÎÀ? 10 ñì âïèñàíî êîëî.
Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ ïëîù ñåêòîðà і êðóãà, ÿêùî S ?
? 25 ñì 2 . ÀÎÂ
73. AK, BL, CM– ìåäіàíè òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Çíàéäіòü êîîðäè-
íàòè òî÷êè L, ÿêùî À(–3; –1), Â(–2; 1), K(1; –1).
74. Çíàéäіòü ñòîðîíè òà ïëîùó òðèêóòíèêà ÀÂÑ, ÿêùî A(a; b),
B(–a; b), C(–a; –b) і òî÷êà Àëåæèòü ó III êîîðäèíàòíіé ÷âåðòі.
75. Äàíî òðèêóòíèê ÀÂÑ, ó ÿêîãî À(7; 5), Â(4; 1), Ñ(–4; 7).
Çíàéäіòü äîâæèíè ìåäіàíè, âèñîòè і áіñåêòðèñè, ïðîâåäå-
íèõ ç âåðøèíè Â.
76. Âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó ïîïåðåäíüîї çàäà÷і, íàïèøіòü ðіâ-
íÿííÿ ìåäіàíè, âèñîòè і áіñåêòðèñè, ïðîâåäåíèõ ç âåð øè-
íè Â.
77. Òî÷êè À(2; –5) і Ñ(2; –1) є âåðøèíàìè êâàäðàòà ABCD. Íà ïè-
øіòü ðіâíÿííÿ êîëà, âïèñàíîãî â öåé êâàäðàò, òà êîëà, îïè -
ñàíîãî íàâêîëî íüîãî. Çíàéäіòü íåâіäîìі âåðøèíè êâàäðàòà.
78. Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ ïðÿìîї, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòðè
äâîõ êіë: õ 2 + ó 2 – 4õ+ 2ó? 0 і õ 2 + ó 2 + 4õ– 6ó? 3.
79. ×è ìàє òðèêóòíèê ÀÂÑ, ó ÿêîãî À(–6; –1), Â(–3; 5), Ñ(3; 2),
âіñü ñèìåòðії? ßêùî ìàє, òî çàïèøіòü її ðіâíÿííÿ.
80. ÀÑ– äіàãîíàëü êâàäðàòà. Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ îñåé ñèìåòðії
öüîãî êâàäðàòà, ÿêùî À(1; 2), Ñ(5; 6).
81. Êîëî ðàäіóñà 3 äîòèêàєòüñÿ äî îñåé êîîðäèíàò ó І ÷âåðòі.
Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ öüîãî êîëà і êîëà, ñèìåòðè÷íîãî äàíîìó
âіäíîñíî: à) ïî÷àòêó êîîðäèíàò; á) îñі àáñöèñ; â) îñі îðäè-
íàò; ã) ïðÿìîї ó? 2õ.
82. Ζ òî÷êà ïåðåòèíó ìåäіàí ðіâíîñòîðîííüîãî òðèêóòíèêà
ÀÂÑ. Ïðè ïàðàëåëüíîìó ïåðåíåñåííі òî÷êà Àâіäîáðàçèëàñÿ
íà òî÷êó Î. Âèêîíàéòå ïàðàëåëüíå ïåðåíåñåííÿ ÀÂÑ. Çíàé-
äіòü ïåðèìåòð ïîáóäîâàíîãî òðèêóòíèêà, ÿêùî S ? S .
ÀÎÂ
34
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
83. Ïðè ãîìîòåòії âіäíîñíî ïî÷àòêó êîîðäèíàò òî÷êà À(1; 2)
ïåðåõîäèòü ó òî÷êó À (3; 6). Ó ÿêó òî÷êó ïðè öіé ãîìîòåòії
ïåðåéäå òî÷êà Â(3; –2)? Çíàéäіòü êîåôіöієíò ãîìîòåòії. 1
84. Ðîìáè ABCDі MNPK –ïîäіáíі, ÀÑ: BD? 4 : 5. Çíàéäіòü äіà-
ãîíàëі ðîìáà MNPK, ÿêùî éîãî ïëîùà äîðіâíþє 40 ñì 2 .
85. Ïðÿìà MN, ïàðàëåëüíà îñíîâі ÀÑòðèêóòíèêà ÀÂÑ, äіëèòü
éîãî íà äâі ÷àñòèíè – òðèêóòíèê і òðàïåöіþ. Ïëîùі öèõ
ôіãóð ïðîïîðöіéíі ÷èñëàì 1 і 3. Çíàéäіòü ïåðèìåòð ÀÂÑ,
ÿêùî ïåðèìåòð MBNäîðіâíþє 7 ñì.
86. Ïîáóäóéòå òðè äîâіëüíі âåêòîðè a, b, c. Ïîáóäóéòå âåêòîð
dòàêèé, ùî:
à) d? a + 2b; á) d? 2a– 3b;
â) d? 0,5a– 3b+ 2c; ã) d? a+ 0,5b– 2c.
87. Çíàéäіòü ìîäóëü âåêòîðà m? a+ 2b, ÿêùî |a| ? 2, |b| ? 1,
.
88. Çíàéäіòü êîñèíóñ êóòà À òðèêóòíèêà ÀÂÑ, ÿêùî A(–1; 2),
B(3; 5), Ñ(2; –1).
89. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ àêóò ìіæ âåê òîðàìè m? (6; à) і
b?(–5; à – 1) òóïèé?
90. Çíàéäіòü êóò ìіæ îäèíè÷íèìè âåêòîðàìè aі b, ÿêùî âåê-
òîð 5a –4bïåð ïåí äè êóëÿðíèé äî âåêòîðà a– 2b.
91. Äàíî òî÷êè À(4; –2) і B(2; –5). Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ ïðÿìîї,
ÿêà äîòèêàєòüñÿ äî êîëà äіàìåòðà ÀÂó òî÷öі À.
92. Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ ç òî÷êè A(5; 0)
äî êîëà õ 2 + ó 2 ??9.
93. Íà äіàãðàìі Âîðîíîãî çîáðàæåíî òðè àíòåíè A, Â, C, їõ
êî îð äèíàòè òà îáëàñòі îáñëóãîâóâàííÿ (ìàë. 36). Ðåáðà
OM, ON, OK êëіòèí íà äіàãðàìі Âîðîíîãî áóäóþòüñÿ ÿê
ñåðåäèííі ïåðïåíäèêóëÿðè äî âіäðіçêіâ ÀÂ, ÂÑ і ÀÑ.
Çàïèøіòü ðіâíÿííÿ ðåáåð äіàãðàìè Âîðîíîãî і êîîðäèíàòè
òî÷êè Î – âåðøèíè äіàãðàìè Âîðîíîãî.
Ãåîðãіé Ôåîäîñіéîâè÷
Ìàë. 36 ÂÎÐÎÍÈÉ (1868–1908)
35
РОЗДІЛ 1
94*. Íà ñòîðîíàõ ÀÂ, ÂÑ і ÑÀ òðè êóòíè êà
ÀÂÑ ïîçíà÷åíî òî÷êè À ,  , Ñ òàêі,
ùî ÀÑ : Ñ Â ??ÂÀ : À Ñ? ÑÂ 1 1 : Â 1 À ? 2
1 1 1 1 1 1
(ìàë. 37). ßê âіäíîñÿòüñÿ ïëîùі òðè-
êóòíèêіâ ÀÂÑ і KÐÒ?
95*. Íà ñòîðîíàõ äîâіëüíîãî òðèêóòíèêà
ÀÂÑçîâíі íüîãî ïîáóäîâàíîïðàâèëüíі
òðèêóòíèêè (ìàë. 38). Äîâåäіòü, ùî їõ
öåíòðè K, Ð, Ò – âåðøèíè ïðà âèëü íèõ
Ìàë. 37 òðèêóòíèêіâ.
96. Íà îñíîâі ÀÑ òðèêóòíèêà ÀÂÑâçÿòî
òî÷êè Ì і Í òàêі, ùî ÀÌ < AH. Ïðÿ ìі
ÂÌ і ÂH äіëÿòü ìåäіàíó ÀK íà òðè ðіâ íі
÷àñòèíè. Çíàéäіòü ÀÑ, ÿêùî ÌÍ? 3. 97*.
Ïðîòèëåæíі ñòîðîíè îïóêëîãî øåñ-
òèêóòíèêà ïàðàëåëüíі. Äîâåäіòü, ùî
ïðÿìі, ÿêі ñïîëó÷àþòü ñåðåäèíè ïðîòè-
ëåæíèõ ñòîðіí, ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé
òî÷öі. 98*.
Ïðÿìà Åéëåðà ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð
Ìàë. 38 âïèñàíîãî ó òðèêóòíèê êîëà. Äî âå äіòü,
ùî òðèêóòíèê ðіâíîáåäðåíèé.
99*. ßêùî âïèñàíå â òðèêóòíèê êîëî äîòèêàєòüñÿ äî éîãî ñòî-
ðіí ÀÂ, ÂÑ, ÑÀ â òî÷êàõ À ,  , Ñ , òî ïðÿìі ÀÀ ,  ,
ÑÑ ïåðåòèíàþòüñÿ â îäíіé òî÷öі. Äîâåäіòü. 1 1 1 1 1
100*. Íà êàòåòàõ ÀÑ і ÂÑ ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑçîâíі 1
íüîãî ïîáóäîâàíî êâàäðàòè ÀÑKÐ і ÑÂÌÒ. Äîâåäіòü, ùî
ïðÿìі ÀÌ, ÂÐ і âèñîòà ÑÍ òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â
îäíіé òî÷öі.
36
Bevz_poglyb_Geometr_10.indd 36 30.06.2010 17:40:15