Рассматриваются
бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия
алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть - непустое множество, то есть .
Определение. Бинарной операцией на множестве называется отображение
прямого произведения .
Другими словами: если каждой упорядоченной паре
элементов множества поставлен в соответствие
единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная
операция на множестве .
Пример.
Пусть - произвольные высказывания
: - бинарная операция на множестве
высказываний.
Пусть - произвольные множества
: - бинарная операция на множестве
множеств.
Пусть
: - бинарная операция на множестве
действительных чисел.
: - не является бинарной операцией
на множестве , так как .
Если - произвольная бинарная операция
на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо
записи пишут
, то есть
имеем . Элемент называется
композицией элементов .
Определение. Пусть . Отображение называется - местной
операцией на множестве . Число - ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется
выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число называется рангом нульместной
операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными
операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в
соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это
отображение множества во множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
- унарная операция
- не является унарной операцией
На множестве высказываний операция : - унарная операция
На множестве подмножеств универсального множества
операция дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества называется частичной - местной
операцией на множестве , если область определения отображения
не совпадает с .
Виды бинарных операций
Пусть - бинарные операции на множестве .
Операция - коммутативна на множестве .
Операция - ассоциативна на множестве .
Операция - дистрибутивна слева относительно
операции .
Операция дистрибутивна справа относительно
операции .
Пример.
Операция на множестве - коммутативна,
ассоциативна.
Операция на множестве - коммутативна,
ассоциативна.
На множестве множеств операции и дистрибутивны относительно
друг друга.
На множестве функций композиция функций -
ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие
алгебры.
Определение. Алгебра , где , - множество операций на .
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то
считаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
- алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
- алгебра натуральных чисел
относительно операций и .
Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если
множество ;
-
ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная
тройка ,
где , - множество
операций на ;
- множество
отношений на .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.
Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории
групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные
структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –
М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта referat/
Другие работы по теме:
Выпускная
Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения»
Выпускная
Вопрос о генезисе метода проектов как педагогической технологии
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Матричная форма формулы Крамера
С.К. Соболев Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости. Рассмотрим
Линейная алгебра
Обратная матрица. Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA0.
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Решение математических многочленов
Открытия О. Хайяма в области астрономии, математики и физики. Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы. Комментарии к трудностям во введениях Евклида. Закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению (Э. Галуа).
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Формулы по математике (11 кл.)
АЛГЕБРА Формулы Формулы сложения Формулы двойного аргумента Формулы половинного аргумента Ф-лы преобразования суммы в произведение Ф-лы преобразования произведения в сумму
Алгебра
“ Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами”. И. Ньютон Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
График
Связи между алгеброй и геометрией были известны еще древним математикам. Например, длина отрезка выражается числом, а ведь отрезок — геометрическая фигура, тогда как числа изучаются в алгебре.
Обратная матрица
Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей.Фундаментальная система решений.
Алгебра матриц
Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Матрицы
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
Основные сведения из векторной алгебры
Векторная алгебра Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные. 1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура.
Степінь з ірраціональним показником
Вступ Введення поняття степеня з ірраціональним показником Означення поняття степеня з ірраціональним показником Узагальнення поняття степеня Список літератури
Определители. Решение систем линейных уравнений
Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.
Степінь з ірраціональним показником
Операція піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь. Введення поняття степеня з ірраціональним показником. Означення поняття степеня з ірраціональним показником, узагальнення поняття степеня. Дві послідовності, що обирають поняття степеня.
Аль Хорезми - выдающийся математик и астроном
Полное имя аль Хорезми – Абу Адаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса аль Хорезми. Его научные интересы касались математики, астрономии, географии и истории. Алгебраические трактаты и введеные понятия: корень, алгоритм,корни и квадраты числел.
Решение нелинейных уравнений
ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
ЗНО математика 2008 с ответами
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ТЕСТУ З МАТЕМАТИКИ (Затверджені експертною комісією Українського центру оцінювання якості освіти 29 квітня 2008 року) Частина 1
Буль (Boole), Джордж
Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.