1. Похідна за напрямом.
Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом.
Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини , називають скалярним полем.
Нехай задано скалярне поле . Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого.
На векторі на відстані від його початку візьмемо точку. Тоді
.
Обчислимо тепер прирістфункціїпри переході від точки М до точки в напрямі вектора :
.
Якщо існує границя відношення при .то цю границю називають похідною функції u(x;y;z) в точці M(x;y;z) за напрямом вектора і позначають, тобто
.
Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом . припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так:
. де - нескінченно малі функції при .
Оскільки
то
.
Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом
1
З формули 1 випливає .що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом . Дійсно , якщо збігається із одним із ортів то похідна за напрямом збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщо , то, тому
.
Подібно до того як частинні похідні характеризують швидкість зміни функції в напрямі осей координат, так і похідна показує швидкість зміни скалярного поля u(x;y;z) в точці M(x;y;z) за напрямом вектора .
Абсолютна величина похідної відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції u(x;y;z) в напрямі(зростання чи спадання).
Очевидно, що похідна за напрямом , який протилежний напряму , дорівнює похідній за напрямом , взятій з протилежним знаком .
Справді, при зміні напряму на протилежний кути зміняться на , тому
.
Фізичний зміст цього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значення швидкості зміни поля , а тільки на характер зміни поля . Якщо, наприклад, в напрямі поле зростає , то в напрямі воно спадає , і навпаки .
Якщо поле плоске , тобто задається функцією u(x;y), то напрям вектора цілком визначається кутом . Тому поклавши в формулі 1 , дістанемо
.
Приклад:
Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі.
Знаходимо вектор і його напрямні косинуси:
Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:
.
Оскільки , то задана функція в даному напрямі зростає.
з дисципліни: „Вища математика”
Розділ : „Функції багатьох змінних”
на тему:
„Похідна за напрямом. Градієнт.”
План
1.Похідна за напрямом.
Контрольні питання
1.Для чого вводять поняття похідної за напрямом?
2.Що називається скалярним полем?
3.Що називають похідною функції за напрямом?
4.Виведіть формулу для обчислення похідної за напрямом.
5.Чому відповідає абсолютна величина похідної?
Другие работы по теме:
Механічна енергія
Енергія - універсальна міра руху форм матерії. Механічна робота як міра зміни енергії. Потужність, кінетична енергія. Сили з боку інших фізичних тіл, що викликають зміни механічного руху. Випадок руху матеріальної точки уздовж криволінійної траєкторії.
Статика рідин та газів
Закономірності рівноваги рідин і газів під дією прикладених до них сил. Тиск в рідинах і газах. Закон Паскаля. Основне рівняння гідростатики. Барометрична формула. Об’ємна густина рівнодійної сил тиску. Закон Архімеда. Виштовхувальна сила. Плавання тіл.
Магнітне поле у вакуумі
Магнітне поле та індукція, закон Ампера. Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання в найпростіших випадках. Магнітне поле прямолінійного провідника із струмом, кругового провідника із струмом, соленоїда. Магнітний момент контуру із струмом.
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
Похідна Фреше та похідна Гато
Міністерство науки і освіти України Дніпропетровський національний університет Факультет механіко-математичний Кафедра математичного аналізу
Градієнтні методи
Методи багатомірної безумовної оптимізації першого й нульового порядків і їх засвоєння, порівняння ефективності застосування цих методів для конкретних цільових функцій. Загальна схема градієнтного спуску. Метод найшвидшого спуску. Схема яружного методу.
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
Похідна Фреше та похідна Гато
Елементи диференціального і інтегрального числення в лінійних нормованих просторах: диференціал і похідна Фреше, теореми (про диференційовність композиції відображень, про скінченні прирости), похідна Гато. Похідні Фреше та Гато в прикладах і задачах.
Функції права 2
Функції права та їх класифікація. Основні напрямки розвитку і впливу права на сучасне суспільство Соціальне призначення права, його місце і роль у системі соціально-нормативного регулювання відображається в його
Маргінальна продуктивність виробництва
У бізнесі маргінального продуктивністю виробництва називають гранично можливу продуктивність при умові постійного відтворювання виробництва. Кількість та якість кінцевого випуску будь-якої продукції фірми залежить від багатьох факторів, які фірма може змінювати. Найбільш важливі фактори – продуктивність праці та вкладений у виробництво капітал.
Означення диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а, b). Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали. Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn).