ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ
§ 1. Поняття множини. Операції над множинами
Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення Множину можна уявити собі як сукупність деяких предметів, об'єднаних за довільною характеристичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій
Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини При цьому порядок запису елементів не має значення Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латинського алфавіту) або записати так {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}
Належність предмета даній множині позначається символом , а неналежність - символом (інколи ) Наприклад, число 7 А, де А - множина чисел першого десятка, а число 12 A.
Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним числом Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінченна і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.
Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина
Якщо множина В складається з деяких елементів даної множини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так В А (читається "В міститься в А" або "В — підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ В А. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.
Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто А А.
Множину задають двома основними способами:
1) переліченням всіх її елементів;
2) описанням характеристичної властивості її елементів. Наприклад: а) В = {,,} - множина, задана переліченням елементів; б) X - множина коренів квадратного рівняння х2 = 25. Множина X задана характеристичною властивістю елементів - бути коренем рівняння х2 = 25". Цю саму множину можна задати і переліченням її елементів: X = {-5; 5}.
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |x| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |x|-5. Отже, X = Y.
Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.
Переріз множин. Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать коленій з даних множин А і В.
Приклад 1. Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто А = {І, 2, 4, 8, 16, 32), а В - множина всіх дільників числа 24, тобто В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = {1, 2, 4, 8}, яка складається зі спільних дільників чисел 32 і 24.
Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допомогою фігур. Символічно позначається так: С = А В і читається: "С є перерізом А і В".
Приклад 2. Нехай М - множина прямокутників, N - множина ромбів, тоді Р = М N - множина квадратів.
Об'єднання множин. Об'єднанням (або сумою) двох множин А і В називається така множина С, яка складається зусіх елементів множин А і В, і тільки з них.
Позначається це так: С = А В і читається: "С є об'єднанням А і В".
Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто А В 0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.
Приклад 3. А ={1,2, 3,4}, В = {3, 4, 5, 6}, тоді С = {1,2,3,4,5,6}.
Приклад 4. Q - множина раціональних чисел, І - множина ірраціональних чисел. Тоді множиною R всіх дійсних чисел буде об'єднання множин Q і І, тобто R = Q І.
Операції над множинами широко використовуються в математиці та інших науках, а також у практиці. Наприклад, розв'язками системи рівнянь є переріз множин розв'язків кожного рівняння, а об'єднання їх є множиною розв'язків сукупності рівнянь.
Віднімання множин. Доповнення множини. Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.
Позначається це так: С = А В і читається: "С є різницею А і В".
Приклад 5. а) А= {5,6, 8, 12}, В= {5, 6}, тобто В А, тоді С = А В= {8, 12};
б) А = {5, 6, 8, 12}, В = {8, 12, 1, 2}, тоді С = А В = {5, 6};
в) А = {5, 6, 12}, В = {1, 2}, тоді С = А В = {5, 6, 12};
г) А= {5, 6}, В= {5,6, 12}, тобто В А, тоді С = А В = .
У випадку, коли А В, то різниця С = А В називається доповненням множини В відносно множини А і позначається САВ.
Другие работы по теме:
Загальна характеристика капіталу
І ВИРОБНИЧИХ ФОНДІВ Сутність і види капіталу . Капітал у буквальному розумінні означає головну суму коштів, необхідних для започаткувати та здійснення виробництва (діяльності). Власник капіталу, купуючи на ринку товари — робочу силу й засоби виробництва, — поєднує їх у процесі праці й після реалізації створеної продукції (наданих послуг) одержує більшу вартість, ніж була ним авансована.
Бінарні сполуки
Бінарні сполуки як сполуки, до складу яких входять два різні елементи. Характеристика галогенідів природних – солей галоїдоводневих кислот. Що таке халькогеніди та карбіди. Оксид як бінарна сполука кисню з іншими елементами. Різновиди оксидів, їх якості.
Основні елементи цивільно-правових відносин
Реферат на тему: Основні елементи цивільно правових відносин Кожне просте (а тим більше складне) цивільно-правове відношення є Інтегральним правовим явищем. Воно має принаймні три основних елементи (частини):
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
Основні засади комбінаторики та теорії множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля і використання правила суми й добутку. Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин засобами мови програмування IDE C++ Builder з допомогою вбудованого GUI.
Проектний трикутник
Більшість проектів мають певні дату закінчення, бюджет і обсяг робіт. Це тріо часу, грошей і обсягу робіт часто називають проектним трикутником (рис. 1), тому що при внесенні змін в один з цих елементів змінюються обидва інших. І хоча для проекту в рівній мірі важливі всі три елементи, як правило, тільки один з них залежно від пріоритетів має найбільший вплив на інші.
Калькулятор для матриць
Демонстрування можливостей використання калькулятора для матриць. Розробка програми, яка може бути використана для виконання основних арифметичних операцій над матрицями та для перевірки обчислень у розрахункових роботах. Алгоритм створення програми.
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Елементи та структура програми мови Паскаль
Загальні відомості про мову програмування, історія створення та використовування. Програма мовою Паскаль складається з лексем і символів – розділювачів. Робота з масивами, створення алгортимів. Складання програм з використанням процедур та функцій.
Сортування даних - пірамідальне сортування
Схема алгоритму програми. Алгоритм процедури введення даних, виведення результатів сортування, побудови дерева, перестановки елементів, "вирішення сімейного конфлікту". Приклад для масиву з 20 елементів. Користувацьке вікно та побудова піраміди.
Використання табличного процесора Excel для розрахунків
Встановлення і запуск табличного процесора Exel. Елементи вікна Exel, екранні форми, елементи управління. Знаходження з допомогою Excel визначника матриці. Створення таблиць для розрахунку кошторису, поточного обліку товарів, нарахування заробітної плати.
Середовище програмування DELPHI 2 0
СЕРЕДОВИЩЕ ПРОГРАМУВАННЯ DELPHI 2.0 Зміст Основні елементи середовища 1. Головне вікно 2. Вікно форми 3. Вікно коду 4. Інспектор об’єктів Управління файлами проекту Delphi
Середовище програмування DELPHI 20
СЕРЕДОВИЩЕ ПРОГРАМУВАННЯ DELPHI 2.0 Зміст 5.Основні елементи середовища 2 a.1. Головне вікно 2 a.2. Вікно форми 2 a.3. Вікно коду 3 a.4. Інспектор об’єктів 3
Фінансовий контроль 2
1.Фінансовий контроль, його елементи та види………………………………….3 2. Основні елементи структури бюджету………………………………………….10 3. Список використаних джерел……………………………………………………16
Характеристика об єктів і суб єктів політики
ПЛАН Вступ. Поняття суб’єктів і об’єктів політики. Характеристика головних суб’єктів політики. Основні риси об’єктів політики. ВСТУП Суб’єкті і об’єкті політики – обов’язкові елементи політичних відносин, тому вони повинні розглядатися в єдності, взаємозв’язку і в взаємозалежності, однак кожен з цих елементів має свої властиві йому ознаки.
Наукове значення періодичного закону
Конспект уроку з хімії у 9 класі “Наукове значення періодичного закону” Тема. Наукове значення періодичного закону Мета. Розкрити узагальнююче і прогностичне значення періодичного закону та
Функції конструктора
Реферат на тему: Функції конструктора muLISP-програми можуть автоматично генерувати нові структури даних, використовуючи функції конструктора. Ці функції можуть утворювати бінарні дерева або зв’язні списки, які моделюють структури даних практично для довільної задачі.
Елементи головного вікна Mathcad а
Реферат на тему: Після запуску Mathcad'а на екрані з'являється головне вікно системи, елементи якого ми розглянемо більш докладно. Головне меню надає можливості доступу до математичних, графічних, символьних команд і до команд редагування та управління вашими робочими аркушами.
Оксиди
Тема: План. Оксиди, їх класифікація. Номенклатура. Способи добування оксидів. Фізичні властивості. Хімічні властивості основних, кислотних і амфотерних оксидів.
Вплив антропогенного фактору на довкілля
Реферат На тему: „Вплив антропогенного фактору на довкілля” Підготував Учень 11-М класу ЗОШ №10 м. Луцька Тарасюк Ігор Луцьк 2002 Різноманітність форм людської діяльності, які змінюють біотичні й абіотичні елементи природи, багато вчених об’єднують під загальною назвою антропогенні впливи, або антропогенні фактори.
Початки комбінаторики
Реферат на тему: 1. Принцип добутку і принцип суми. Розміщення з повтореннями Двома основними правилами комбінаторики є: Принцип суми . Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.
Функції модифікатора
Реферат на тему: Функції модифікатора Функції модифікатора виконують переадресацію вказівників в структурах даних мови програмування Лісп. 1. RPLACA <об’єкт1> <об’єкт2>.
Суть та елементи товароруху
Реферат на тему: Суть та елементи товароруху Товарорух - це система, яка забезпечує фізичне переміщення товарів і послуг від виробника до споживача, зокрема транспортування, зберігання, здійснення угод, передачу права власності, управління каналами збуту та сервісне обслуговування.
Органогенні елементи
еферат з хімії Органогенні елементи Органогенні елементи – це перша група хімічних елементів живих організмів (кисень, водень, вуглець, азот). Подібність елементарного хімічного складу клітин всіх організмів свідчить про єдність живої природи з ним немає природного хімічного елементу, живих організмів які б на зустрічалися в тілах живоїт природи.
Грошова система 4
ТЕМА. ГРОШОВА СИСТЕМА. Грошова система це форма організації грошового обороту в країні, встановлена загальнодержавними законами. Елементи грошової системи України: