План
Числова послідовність.
Означення границі числової послідовності.
Основні теореми про границі.
Обчислення деяких границь.
Монотонні послідовності.
Число е.
Верхня та нижня границя.
Функціональна послідовність критерій Коші.
Уявімо собі натуральний ряд чисел. Зіставимо з довільним числом n відповідно з деяким правилом аn. Упорядкований набір чисел а1, а2, ... аn називається числовою послідовністю. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким кожному натуральному n ставиться у відповідність єдине цілком визначене число аn.
аn – єдиний член послідовності: 1, -1, 1, -1, ...., (-1)n.
а, а · q … a · q-1, an = a · q-1. a x d, … a + (n-1)d, an = a (n-1)d
an = 1 + 2n (1, 3, 5, 7).
Залежно від зростання n зазначені вище послідовності поводять себе по-різному (одні зростають, інші спадають, змінюють знаки) a + (n-1)d , при d<0. Послідовності, що мають певну властивість стійкості членів, яка виявляється в тому, що їх члени із зростанням стають дедалі ближчими до певного числа – збіжні, а число до якого наближаються її члени – границя відповідної послідовності.
Число А – називається одиницею числової послідовності, якщо для будь-якого Е>0,яким би малим воно не було, можна визначити такий номер N, що нерівність |A-an|<E виконується для всіх n>N. Те, що означена границя числової послідовності має свою границю А записується:
Про послідовність, яка має границю будемо говорити, що вона збігається. Геометрична інтерпретація границі послідовності така, якщо , то який би відрізок [A-E, A+E] (Е окіл.) ми не взяли всі члени послідовності {an} починаючи з деякого номера N залежить Е. (N=NE). границею є О Е = 1/1000, N = 1000, що для всіх n>N маємо нерівність |0 – an|<E. Нехай n = 1002
Якщо послідовність границі немає, то вона розбігається. 1, 2, 3, 4... n... Доведем, що послідовність натуральних чисел розбіжна.
Нехай послідовність {n} збіжна, тоді всі її члени починаючи з деякого номера (NE) попадуть в Еокіл . Але якщо Е < 1/2 , то Еокіл т.А буде меншим за одиницю, а в послідовності натуральних чисел відстань між двома сусідніми числами – 1. Отже, послідовність натуральних чисел розбіжна. Числова послідовність, що збігається до нуля є нескінченно малою послідовністю .
Числову послідовність називають нескінченно великою, якщо яким би не було число М, можна визначити такий номер N, що для всіх n>M виконується нерівність |an|>M.
Послідовність {an} обмежена, якщо існує число М, що для всіх n виконується нерівність |an|<M.
Для того, що послідовність {an} збігалась до А необхідно і достатньо, щоб послідовність {αn= A - an} була нескінченно малою.
Якщо {αn} і {βn} нескінченно малі, а {cn} обмежена, то {αn + βn} та cn + αn} нескінченно малі.
Збіжна послідовність обмежена
Якщо:
Якщо
Якщо
Якщо
Для того, щоб {αn},αn була нескінченно малою необхідно і достатньо, щоб була нескінченно великою.
Якщо
Якщо дано дві послідовності {an} і {bn}, які мають границі і для всіх n виконується нерівність аn < bn, то
Нехай К належить Z, тоді при К>0 і при К<0.
Якщо
Нехай Рr(n) = ao · nr + a1 · nr-1 … ar, тоді
Якщо ао і во не дорівнюють 0, то
Другие работы по теме:
Захист від перехідних і високих напруг
Реферат Захист від перехідних і високих напруг Захист від напруги, яка виникає на металічних корусах електроустановок внаслідок пошкодження ізоляції, служить захисне заземлення, занулення, і захисне відключення.
Розрахунок гідросистеми верстата
Міністерство освіти і науки України Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка Кафедра будівельних машин та обладнання
Розрахунок гідросистеми верстата
Гідравлічна система туфофрезерного верстата. Розміри гідроциліндрів, подача насоса, діаметр умовного проходу для підбору гідроапаратури. Проведення контрольного розрахунку з метою встановлення, чи забезпечує розрахована гідросистема потрібні параметри.
Наведення усіх перестановок елементів множини
Перестановка як перевпорядкованість наборів елементів, об’єктів або функція, що задає таку перевпорядкованість. Всі можливі варіанти перестановок елементів множини за умови наявності трьох елементів за умови, що жоден елемент не залишається на місці.
Степінь з ірраціональним показником
Вступ Введення поняття степеня з ірраціональним показником Означення поняття степеня з ірраціональним показником Узагальнення поняття степеня Список літератури
Степінь з ірраціональним показником
Операція піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь. Введення поняття степеня з ірраціональним показником. Означення поняття степеня з ірраціональним показником, узагальнення поняття степеня. Дві послідовності, що обирають поняття степеня.
Метод наближеного обчислення коренів. Програма
Межі дійсних коренів. Опис та текст програми. Методи наближеного пошуку меж та самих коренів многочлена з дійсними коренями. Метод пошуку точних значень многочленів з числовими коефіцієнтами. Контрольний приклад находження відрізків додатних коренів.
Межа послідовності. Теорема Штольца
Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
Форми текстового оформлення матеріалу
РЕФЕРАТ На тему: Форми текстового оформлення матеріалу Для успішного публічного виступу недостатньо вивчити літературу по обраній темі, знайти цікаві дані, зібрати переконливі факти, цифри, приклади. Необхідно подумати, як розташувати цей матеріал, в якій послідовності. Перед оратором виникає ряд питань: якими словами розпочати виступ, як продовжити розмову, чим закінчити виступ, як завоювати увагу слухачів і утримати її.
Гармонізація баса
Реферат на тему: Гармонізація баса 1. Застосування гармонічного з'єднання Гармонізація даного басового голосу, що складається з послідовності основних звуків тоніки, субдомінанти і домінанти, не представляє ніяких утруднень в значенні вибору акорду:
Структурні схеми каналів зв’язку
Специфіка різних сфер застосування систем зв'язку. Структурні схеми каналів передачі інформації, перетворення інформації в кодуючому пристрої. Поняття детермінованого, недетермінованого, випадкового сигналу. Особливості передачі і збереження інформації.
Об'єднання цифрових потоків
Способи об'єднання цифрових потоків, які сформовані системами передачі більш низького порядку у агрегатний потік. Цифрові потоки плезіосинхронної ієрархії. Мультиплексування компонентних потоків в агрегатний. Послідовність імпульсів запису і зчитування.
Протоколи передавання квантового ключа
Винахід квантової криптографії в 1984 році. Генерація і передача послідовності випадково поляризованих фотонів. Етапи реалізації передачі, прийому й декодування біт квантового ключа в системі с поляризаційним кодуванням. Інтерферометри Маха-Цендера.
Основи теорії сигналів
Параметри періодичної послідовності імпульсів (форма, тривалість, період повторення, висота) та описання її функції за допомогою рядів Фур'є. Вплив тривалості імпульсів на амплітудно-частотний спектр. Вплив початку відліку часу на фазочастотний спектр.
Програмування рекурентні послідовності та співвідношення
Реферат з інформатики Програмування: рекурентні послідовності та співвідношення 1.Рекурсії. Для обчислення степеня в алгоритмі накопичування добутку (див. П. 3.3) змінна p приймала значення 1, a, a2, a3, … , an. У цій послідовності перший член 1, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноженому на a.
Допоміжні алгоритми
та тему: ДОПОМІЖНІ АЛГОРИТМИ Тема: Допоміжні алгоритми. Мета уроку: навчити учнів складати допоміжні алгоритми; виховати старанність, дисциплінованість;
Алгоритми сортування
Лабораторна робота Вивчення алгоритмів сортування Мета: Ознайомитися із простими алгоритмами сортування та навчитися їх програмувати. Засвоїти базові умови тестування програм та вимірювання їх ефективності.
СТАРОДАВНЯ ІСТОРІЯ УКРАЇНИ ТЕСТ
СТАРОДАВНЯ ІСТОРІЯ УКРАЇНИ 1.У який період прадавньої історії, люди почали використовувати човни? А. Середній палеоліт. Б. Енеоліт. В. Мезоліт. Г.Неоліт.
Безкінечно малі функції
Безкінченно малі функції Визначення 1. Функція f(x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при хх0), якщо
Програмування масиви та рядки
Реферат з інформатики Програмування: масиви та рядки. 1. Одновимірні масиви Масив у програмуванні – це тип структури даних, що має складені значення.
Мова та метамова
Реферат на тему: Мова та метамова 1. Мова: вирази та їх семантика У попередніх розділах було описано означення, вирази й оператори мови Паскаль. Очевидно, всі вони мають визначену структуру, або
Чищення змащення і зберігання автомата 2
Назва реферату : Чищення, змащення і зберігання автомата Розділ : Військова справа, ДПЮ Чищення, змащення і зберігання автомата Автомат слід завжди тримати у чистоті, в повній справності і постійній готовності до бойового застосування. Це досягається своєчасним умілим чищенням і змащенням, а також правильним зберіганням автомата у будь-яких умовах.
Мітки та переходи
Реферат на тему: Мітки та переходи У мові Паскаль будь-який оператор і кінець складеного оператора (слово end) можна відмітити , тобто ідентифікувати, додати йому індивідуальне ім'я. Це ім'я називається
Мислення 6
Мислення Мислення — процес опосередкованого й узагальненого пізнання предметів і явищ об'єктивної дійсності в їх істотних властивостях, зв'язках і відносинах.
Початки комбінаторики
Реферат на тему: 1. Принцип добутку і принцип суми. Розміщення з повтореннями Двома основними правилами комбінаторики є: Принцип суми . Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.
Найважливіші закономірності у світі зір Еволюція зір
Реферат на тему: НАЙВАЖЛИВІШІ ЗАКОНОМІРНОСТІ У СВІТІ ЗІР. ЕВОЛЮЦІЯ ЗІР. Ми бачили, що існують і поодинокі, і подвійні, і кратні зорі, змінні зорі різних типів, нові й наднові, надгіганти і карлики, зорі найрізноманітніших розмірів, світностей, температур і густин. Чи не створюють вони хаос фізичних характеристик? Виявляється, ні.
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.
Команди меню Microsoft Word
Реферат на тему: Команди меню «Файл» Команди меню «Файл» дозволяють розмістити та поновити формули в документі, а також завершити роботу з редактором формул.
Практичне заняття
1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність