Реферат на тему:
Аналітична геометрія на площині
Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння
y = kx + b (2.3)
де k=tg ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).
Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.
y y y y
b
b
x 1350 x x x
a
а б в г
Рис.2.3
Загальне рівняння прямої на площині має вигляд
Ax + By + C = 0 (2.2)
Якщо B0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).
Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tg= -1, отже =1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y=2x+2 , отже, k=tg=2 (рис. 2.4,б).
y y
2x-y+2=0
y=1-x 2
1
=1350
1 x -1 x
а б
Рис. 2.4
Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.
Пряма, яка проходить через дві задані точки (x1;y1) та (x2;y2):
, (2.3)
або, що те саме,
. (2.3)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :
y-y1=a(x-x1) (2.4)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :
(2.5)
Рівняння прямої у відрізках
(2.6)
Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.
Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.
Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:
-2x+y=2,
.
Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:
y=2x+2.
Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x1;y1)=(-1;0) та (x2;y2)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:
.
Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.
Кут між прямими y=a1x+b1 та y=a2x+b2 обчислюється за формулою
Прямі y=a1x+b1 та y=a2x+b2 отже, є паралельними, якщо a1=a2, та перпендикулярними, якщо a1a2 = -1.
Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь
.
Відстань від точки M(x1;y1) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою
.
Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p=p(Q)=50+5Q.
Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.
Маємо такий графік (рис.2.5).
p
500
Пропозиція
p*
Попит
50
Q* Q
Рис. 2.5.
Ціну рівноваги p* (а також рівноважний випуск Q*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь
.
Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p*=200 та Q*=30 .
Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, Vc=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять Fc=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.
Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю
Tc = Fc + QVc = 40+5Q .
Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить
TR = pQ =10Q .
Визначимо такий випуск Q*, за якого доход фірми збігається з її витратами:
TR = TC ,
10Q = 40+5Q ,
Q* = 8 .
Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).
Tc,TR
TR(доход)=10Q
Tc(витрати)=40+5Q
40
Q*=8 Q
Рис. 2.6.
Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x2 і/або y2.
Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд
(x-a)2+(y-b)2=r2 .
У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:
x2+y2=r2 .
Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):
A(x;y)
c
F1 F2
Рис. 2.7.
Точки F1(-c;0) та F2(c;0) називаються при цьому фокусами.
Виконуються такі властивості:
для довільної точки A на еліпсі ;
c2=a2-b2.
Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F1 та F2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):
Для гіперболи виконуються такі властивості:
для довільної точки A на гіперболі ;
c2=a2+b2.
y
A(x;y)
x
F1(-c;0) F2(c;0)
Рис. 2.8.
Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):
y = 2px
B A(x;y)
p/2 p/2
F
Рис. 2.9.
Тут для довільної точки A(x;y) параболи y = 2px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .
Другие работы по теме:
Геометрія молекул
Геометрія молекул як напрям в просторі їх валентних зв'язків. Положення теорії направлених валентностей, що витікає з квантово-механічного методу валентних зв'язків. Залежність конфігурації молекул від числа зв'язаних та неподілених електронних пар.
Циклотронний резонанс
Основні положення явищ циклотронної частоти і циклотронного резонансу, що використовуються при дослідженні твердого тіла. Явища, що пов'язані з поведінкою електронів кристала в магнітному полі, експериментальні дослідження феномену орбітального руху.
Розрахунок показників електричного кола
РОЗРАХУНОК ЛIНIЙН ЕЛЕКТРИЧН КОЛА СИМВОЛІЧНИМ МЕТОД В РЕЖИМІ СИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ Змiст i порядок виконання завдання Задано схему електричного кола Рис. 1
Побудова зображень предметів на площині
Житомирський Військовий Інститут Національного Авіаційного Уніврситету Реферат на тему: Побудова зображень предметів на площині Житомир 2010 Нарисна геометрія – наука, яка вивчає просторові форми та способи зображення їх на площині.
Аналітична геометрія
Реферат на тему: Аналітична геометрія в просторі Аналітична геометрія в просторі Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора
Нарисна геометрія
Сутність і предмет вивчення нарисної геометрії, історія її зародження та розвитку як науки, яскраві представники. Методи проекцій точки та прямої, види та властивості проеціювання. Головні лінії площини. Відображення та проеціювання точок на площинах.
Побудова зображень предметів на площині
Сутність методу проекціювання. Центральні та паралельні проекції. Переваги ортогонального проекціювання перед центральним та косокутним. Положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях. Закони побудови зображень.
Геометрия Лобачевского
Реферат З геометрії На тему: "Геомтрія Лобачевського" Виконав Учень 10-А класу Середньої школи № 96 Коркуна Дмитро Львів 2000 Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетинається з другою стороною кута.
Геометричні місця точок на площині та їх застосування
Поняття та методика визначення геометричного місця точки на площині. Правила та головні етапи процесу застосування даного математичного параметру до розв’язання задач на побудову. Вивчення прикладів задач на відшукання геометричного місця точки.
Методи перетворення комплексного креслення
Поняття і сутність нарисної геометрії. Геометричні фігури як формоутворюючі елементи простору. Розв'язання метричних задач шляхом заміни площин проекцій. Плоскопаралельне переміщення та обертання навколо ліній рівня. Косокутне допоміжне проектування.
Застосування координатного методу в стереометрії
Зміст Вступ Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Геометричні фігури на площині та їх площі
Геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії - розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині. Визначення кута, трикутника, квадрата, чотирикутника, ромба, паралелограма, трапеції, багатокутника та їх площ античними та сучасними методами.
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Цифрова обробка сигналів
Міністерство освіти та науки України Житомирський інженерно-технологічний інститут Кафедра АУТС Розрахунково-графічна робота Цифрова обробка сигналів”
Цифрова обробка сигналів
Знаходження згортки послідовностей способами прямого обчисленням і з використанням z-перетворення. Побудова графіків за результатами обчислення з використанням програми MathCAD. Визначення системної функції фільтра, імпульсної та частотної характеристик.
ЗНО математика 2008 с ответами
ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ТЕСТУ З МАТЕМАТИКИ (Затверджені експертною комісією Українського центру оцінювання якості освіти 29 квітня 2008 року) Частина 1
ЗНО математика 2009 с ответами
ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ З МАТЕМАТИКИ 2009 РОКУ (відповіді до завдань тесту) 3 x + 12 Спростіть вираз . x 2 − 16 Відповідь: . x − 4 У трикутнику АВС: ∠А=65°, ВD– бісектриса кута В
Поверхні другого порядку
Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)
Еліпсоїд
1) ом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху.
Інваріантність
ЛЕКЦІЯ ІНВАРІАНТНІСТЬ Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв’язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами L з інтервалу
Лінії передач для інтегральних схем
Лекція 9 . В інтегральній електроніці використовуються в основному плоскі лінії. Симетрично – смушкова лінія (ССЛ): вона відкрита, тому має втрати. Не симетрично – смушкова лінія (НСЛ):
Геометрія з давніх часів до сьогодення
Геометрія завжди мала численні практичні застосування. Основними її споживачами були землеміри, ремісники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, користуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протягом століть правилами, згідно з якими певні геометричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.
Плоскі хвилі в гіротропному середовищі
Лекція 34 . Нехай . Не реагує на складову , а тільки . Обертання магнітного моменту відбувається лише у площині Розповсюджуюче плоске поле Запишемо рівняння Максвела:
Виникнення геометрії
За переказами, біля входу до Академії Плато- на було написано “Та не ввійде сюди ніхто з тих, хто не знає геометрії”. Знайдавніших ча- сів геометрія вважалася однією з важливих
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат: