Зміна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед загаданого додаткового числа , тобто |х| < .
Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами .
Наприклад, величина при n є нескінченно малою.
Нескінченно мала величина є змінною величиною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є нескінченно малою, тобто = 0, то нерівність || < виконується для будь-якого > 0 .
Жодну іншу постійну величину, якою би малою вона не була (наприклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.
Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.
Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин . Доведемо, що їх алгебраїчна сума буде величиною нескінченно малою. Візьмемо скільки завгодно мале > 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися нерівності:
Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:
Отже, маємо:
Ця нерівність, згідно із означенням 11, означає, що є нескінченно малою величиною. Теорема доведена.
Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.
Доведення. Нехай у – обмежена величина, - нескінченно мала. Для обмеженої величини у існує таке число М, що . Згідно з означенням нескінченно малої в процесі змінювання наступить такий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність для будь-якого . Тому, починаючи з деякого моменту, буде використовуватись нерівність
Ця нерівність означає, що є величиною нескінченно малою, що і треба було довести.
Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.
Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
Дійсно, постійно та нескінченно малі величини – обмежені величини, тому для них має місце твердження теореми 2.
Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед загаданого додатного числа N , тобто |x| > N.
Наприклад, величина 10n при n є величина нескінченно велика.
Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв’язок: якщо х нескінченно велика величина, то - нескінченно мала, і навпаки, якщо у – нескінченно мала і у 0, то буде нескінченно великою величиною.
Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.
Ділення нескінченно малих та нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.
Другие работы по теме:
Теорія економічного аналізу
Види аналізу залежно від часу їх проведення. Аналіз на підприємствах і в його підрозділах безпосередньо в процесі господарської діяльності. Основний метод курсу аналізу. Показники діяльності господарства у натуральних вимірах.
Закони збереження та динаміка обертального руху
Закон збереження імпульсу, робота сили та потужність. Кінетична та потенціальна енергія, закон збереження механічної енергії. Елементи кінематики обертового руху та його динаміка. Моменти сили, інерції, імпульсу. Поняття про гіроскопічний ефект.
Ідеальна оптична система
Поняття про ідеальну оптичну систему, кардинальні елементи. Залежності між положеннями і розмірами предмета і зображення. Параксіальні і нульові промені: побудова і розрахунок їх ходу, фокусні відстані заломлюючої поверхні в параксіальній області.
Джерела електроенергії
Реферат на тему: Джерела електроенергії ЕМП в будь-якій точці простору, де воно є, як було показано в п. 1.4, має певної величини потенціал. Між довільно взятими двома точками поля, очевидно, є різниця потенціалів, яка залежить від величини заряду в кожній із них. Згідно (1.14) і (1.16)
Похибки вимірювань
Реферат на тему: Похибки вимірювань При вимірюванні фізичних величин слід чітко розмежувати два поняття: істинні значення фізичних величин та результати їх вимірювань.
Функція, її границя та неперервність
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
Випадкова величина
ТЕМА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА 1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 – випадання "решки" та 2 – випадання герба.
Випадкова величина
Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
Межа послідовності. Теорема Штольца
Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
Газелі 2
Газелі Автор: Гафіз. Я по троянду в сад спустився на світанні. Там соловей зайшовся в щебетанні. Мій побратим гіркий, закоханий в троянду, ронив, ридаючи, мелодії весняні.
Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів
Розкладання складної функції в неперервну чи дискретну послідовність простіших, елементарних функцій. Системи ортогональних функцій. Спектральний опис періодичних сигналів. Комплексна форма опису ряду Фур’є. Спектральна функція детермінованих сигналів.
Дисперсія у одномодових телекомунікаційних волокнах
Кодоiмпульсна модуляція як найбільш підхожий оптичний варіант схеми модуляцiї носійної для оптичних телекомунікацій, принцип її дії та призначення. Механізми породження, розвитку дисперсії чи поширення iмпульсу в волокні. Ширина iмпульсу довільної форми.
Типові вхідні сигнали
Характеристика сутності типових вхідних сигналів, які використовуються для теоретичного й експериментального дослідження автоматичних систем. Східчаста, імпульсна, лінійно-зростаюча вхідна дія. Білий шум, імпульсна перехідна функція. Підсилювальна ланка.
Ісаак Ньютон
(1643—1727 pp.) Ісаак Ньютон народився 4 січня 1643 р. в селі Вулсторп (біля міста Грантема) у родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісаак був кволою дитиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому було три роки, мати вдруге вийшла заміж і виїхала з ферми. Дитина залишилась із бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого внука.
Лісп мова функціонального програмування
Реферат на тему: Лісп – мова функціонального програмування 1. Місце Ліспу у класифікації мов програмування За однією з класифікацій мови програмування діляться на
Безкінечно малі функції
Безкінченно малі функції Визначення 1. Функція f(x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при хх0), якщо
Абсолютні величини в статистиці
Реферат на тему: Абсолютні величини в статистиці. План. Поняття статистичних величин. Види абсолютних величин. І статистичні ряди і статистичні таблиці містять підсумкові дані, які характеризують сукупність одиниць спостереження.
Означення диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а, b). Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу
Малі планети
Реферат на тему: Малі планети Між орбітами Марса і Юпітера розміщується пояс малих планет Сонячної системи — звичайно їх називають астероїдами. Найбільшим з них е Церера, радіус якої оцінюється приблизно у 1000 кілометрів. Діаметр астероїда Паллади дорівнює 490 кілометрів. Трохи менші розміри мають Юнона і Веста.
Теореми про диференціальні функції
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ РЕФЕРАТ
Послідовності
План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності.
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.
Похідна за напрямом Градієнт
1. Похідна за напрямом. Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини
Практичне заняття
1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність