РЕФЕРАТ
на тему:
“Лінійний векторний простір”
Векторний простір (лінійний простір) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів a, b, c, ... звичайного 3-мірного простору. Кожен такий вектор - спрямований відрізок, що задається трьома числами: ; числа називаються координатами вектора.
При множенні вектора на речове число відповідний відрізок, зберігаючи напрямок, розтягується в раз: . Сума двох векторів знаходиться за правилу параллелограмма; якщо і те .
Парі векторів a і b зіставляють також скалярний добуток (скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний евклідовий простір.
Його елементи - упорядковані набори речовинних чисел, Наприклад, , . Додавання і множення векторів на число визначені формулами , , а скалярний добуток - формулою Прикладом комплексного безкінечномірного векторного простору може служити сукупність комплексних функцій f, заданих на всій осі і квадратично сумованих (тобто маючих кінцевий інтеграл ). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.
У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:
будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z, називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;
для будь-якого числа і будь-якого елемента x з L визначений елемент z, що називається їхнім добутком і приналежний L;
операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.
Додавання допускає зворотну операцію, тобто для будь-яких х и у з L існує єдиний елемент w з L такий, що x+w=y. Крім того, мають місце формули .
Якщо всі числа речовинні (комплексні), говорять про речовинний (комплексному) векторна просторі; безліч чисел називають полем скалярів L. Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.
Якщо - елементи векторного простору L, то вираження виду називається їхньою лінійною комбінацією; сукупність усіх лінійних комбінацій елементів підмножини S з L називають лінійною оболонкою S. Вектори з L називають лінійно незалежними, якщо умова ( - будь-які елементи полючи скалярів) може виконуватися тільки при . Нескінченна система векторів називається лінійно незалежної, якщо будь-яка її кінцева частина є лінійно незалежної. Безліч елементів підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.
Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні); якщо базис - нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.
Підмножини векторного простору L, замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L. По будь-якому підпросторі S можна побудувати новий векторний простір L/S, називане фактором-простором L по S: кожен його елемент є безліч векторів з L, що розрізняються між собою на елемент із S. Розмірність L/S називається коразмірністю підпростору S у L; якщо розмірності L і S рівні відповідно n і k, те коразмірність S у L дорівнює n-k. Якщо J - довільна безліч індексів i і Si – сімейство підпросторів L, те сукупність усіх векторів, що належать кожному з Si, є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S1, ..., Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді
, xi з Si, | (*) |
є підпростір, називаний сумою S1, ..., Ss і що позначається S1+ ... +Ss. Якщо для будь-якого елемента суми S1+ ... +Ss представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.
Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство (без обліку кривизни), конфигурационное пространство і фазовое пространство системи n класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать гильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .
Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.
Використана література:
Векторний простір. – М., 1992.
Вища математика в прикладах. – К., 1998.
Математична енциклопедія. – М., 1983.
Другие работы по теме:
Проблема простору у філософських і природничих науках
Ідеалістичне трактування простору Гегеля (діалектико-матеріалістична концепція простору), його підхід до рішення проблеми дискретності-безперервності простору. Властивості матеріальних об'єктів, визнання первинності матерії. Основні властивості простору.
Простір і час
Простір і час як атрибути буття матерії. Їх загальні та специфічні властивості. Простір як єдність протяжності (безперервно–кількісного аспекту) та розташування (дискретно–кількісного аспекту). Час як єдність тривалості, порядку та оборотності часу.
Простір і час - форми буття матерії
Субстанціональна і реляційна концепції визначення понять простору і часу, динамічна і статична концепції часу. Єдині характеристики та специфічні властивості, притаманні простору і часу. Зв'язок простору, часу і матерії в теорії відносності А. Ейнштейна.
Симетричні нерозгалужені трифазні кола синусоїдного струму
Основні частини трифазного генератору: статор і ротор. Зв'язана трифазна чотирипровідна система. Перший закон Кірхгофа. З'єднання фаз генератора зіркою. Формули фазної та лінійної напруг. З'єднання фаз навантаження трикутником. Потужності трифазного кола.
Про зміст поняття геокультурної системи в українському соціумі
Вивчення феномену геокультурної системи як проблеми природного середовища у географічному плані і проблеми сприйняття їх кожною культурою різноманітних етносів, мешканців цієї території. Алгоритм зв'язків природного, культурного і етноландшафту в соціумі.
Похідна Фреше та похідна Гато
Міністерство науки і освіти України Дніпропетровський національний університет Факультет механіко-математичний Кафедра математичного аналізу
Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами
Розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, що є узагальненими. Вивчення властивостей перетворення Бесселя функції та оператора узагальненого зсуву аргументу.
Метод векторів та його застосування
Вступ Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.
Системи лінійних рівнянь
Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп
Класифікація кінцевих простих неабелевих груп. Одержання факторизацій конкретних простих неабелевих груп та простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Ізометрії, проективні перетворення. Структурні теореми, порядки симплектичних груп.
Метод векторів та його застосування
Поняття вектора, його характерні риси та ознаки, порядок визначення координат та напряму. Додавання, віднімання та множення вектора на число. Тривимірний векторний простір і його підпростори. Колінеарність та компланарність векторів, їх скалярний добуток.
Основні властивості простору Соболєва
Теоретичні і прикладні питання математичної фізики й функціонального аналізу. Узагальнена похідна в просторі Соболєва: визначення, гладкі функції; найпростіша теорема вкладення. Доказ існування і одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа.
Основні властивості простору Соболєва
Реферат Основні властивості простору Соболєва Зміст 1. Простір Соболєва 1.1 Загальне визначення 1.2 Простір 1.3 Інше визначення узагальненої похідної
Похідна Фреше та похідна Гато
Елементи диференціального і інтегрального числення в лінійних нормованих просторах: диференціал і похідна Фреше, теореми (про диференційовність композиції відображень, про скінченні прирости), похідна Гато. Похідні Фреше та Гато в прикладах і задачах.
Контроль і діагностика програмних систем
Перевірка коду на парність. Формула для підрахунку парності або непарності одиниць в інформаційних розрядах. Побудова групових кодів і їх вживання для виявлення і виправлення помилок. Правила формування перевірочних символів. Використання кодів Хемминга.
Засоби векторної трасировки растрових зображень в Corel Drow
Поняття трассировки та її значення в роботі комп'ютерного дизайнера. Розвиток інструментів трассировки в програмі Corel Drow. Способи та процеси векторної трассировки растрових зображень: автоматичне, ручне та утиліта, їх головні недоліки та привілеї.
Основи комп’ютерної графіки
Загальна характеристика теорії редагування зображень, місце у ній растрових зображень. Аналіз переваг та недоліків програм малювання і векторної графіки. Структура, розмір і розширення зображення. Сутність і призначення основних форматів графічних файлів.
Поняття про комп ютерну графіку
Міністерство освіти України Коломийський індустріально-педагогічний технікум РЕФЕРАТ на тему Поняття про комп’ютерну графіку студента групи 1 – Т
Метод виокреслення лінійно незалежних векторів
1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V. Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
Анатомія цифрового фотоапарату в картинках
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Анатомія цифрового фотоапарату в картинках Як видно з приведених фотографій, у матриці 3 млн. крапок, перед кожною з них розташований кольоровий фільтр, синій, зелений і червоний. Таким чином, для кожної з крапок ми знаємо тільки одну зі спектральних складових. Комп'ютер же в камері перетворює її в зображення, що складається з тих же 3 млн. крапок, але для кожної з який обчислені уже всі три колірні складові.
Невзаємні елементи НВЧ
Лекція 32 . Закон Ньютона каже, що . Однак, в загальному випадку: , тобто зв’язок не векторний, а тензорний – напрямок руху не завжди співпадає з напрямком сили. Приклад – гіроскоп чи дзига.
Інтнграція України в світовий простір
Реферат на тему: ІНТЕГРАЦІЯ УКРАЇНИ СВІТОВИЙ ПРОСТІР ВСТУП Нинішня ситуація характеризується глобальною трансформацією усіх країн світу до нового якісного стану , нового типу цивілізації третього тисячоліття . Розв`язання цих нагальних завдань здійснюється на різних рівнях та у різноманітних сферах суспільства .Світові проблеми обговорюються вивчаються й вирішуються певною мірою в Організації Об`єднаних Націй та її підрозділах, регіональні питання -у межах сучасних інтеграційних об`єднань ,економіка окремих країн - державними та іншими установами ,науково-дослідними інституціями .
Основи невербальної комунікації
Реферат на тему: "Основи невербальної комунікації" План: 1). Поняття невербальної комунікації. 2). Міжособистістний простір як елемент невербальної комунікації.
Масштаби всесвіту склад і масштаби сонячної системи
Масштаби Всесвіту Ви вже знаєте, що природний супутник Землі — Місяць — є найближчим до нас небесним тілом, що наша планета разом з іншими великими і малими планетами входить до складу Сонячної системи, що всі планети обертаються навколо Сонця. У свою чергу Сонце, як і всі видимі на небі зорі, входить до складу нашої зоряної системи — Галактики.
Збудження об’ємних резонаторів
Лекція 18 . Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора. , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: