Пошукова робота на тему:
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона.
План
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
Маса пластинки
Статичні моменти і центр ваги пластинки
Момент інерції пластинки
Обчислення інтеграла Пуассона
11.5. Застосування подвійних інтегралів
до задач механіки
Визначення маси пластинки. Нехай тонка пластинка розміщена в площині і займає область . Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.
Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.
Означена таким чином поверхнева густина залежатиме тільки від розміщення точки, тобто вона буде функцією її координат: . Знайдемо масу неоднорідної пластинки. Для цього розіб’ємо область , яку займає пластинка, на частинні області з площадками (рис. 11.16). Вибираємо в кожній області довільну точку і вважаємо, що густина в усіх точках елементарної області стала і дорівнює густині у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.
.
Переходячи до границі за умови, що і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:
. (11.29)
Рис.11.16
Статичні моменти і центр ваги пластинки . Перейдемо до обчислення статичних моментів пластинки відносно осей координат. Якщо зосередити в точках маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:
, .
Переходячи до границі за звичайних умов і замінюючи інтегральні суми інтегралами, матимемо ,
. (11.30)
Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:
,
. (11.31)
Моменти інерції пластинки. Моментом інерції матеріальної точки масою відносно якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно координатних осей:
, (11.32)
Рис.11.17 Рис.11.18
Зазначимо, що інтеграл називається центробіжним моментом інерції; він позначається .
У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки -полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат визначається за формулою
. (11.33)
Отже , очевидно, .
Приклад 1. Обчислити масу неоднорідної пластинки, обмеженої лініями якщо поверхнева густина розподілу мас
Р о з в ‘ я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис. 11.17):
Приклад 2. Знайти момент інерції площі, обмеженої параболою , прямою і віссю (11.18).
Р о з в ‘ я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за формулою (11.33)
.
11.6. Інтеграл Пуассона
Обчислимо інтеграл Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.
Розглянемо подвійний інтеграл
де область інтегрування є круг
Перейшовши до полярних координат одержимо
Якщо тепер необмежено збільшувати радіус тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний подвійний інтеграл:
Можна показати, що інтеграл прямує до границі якщо область довільної форми розширюється на всю площину.
Якщо , зокрема, область квадрат зі стороною і центром в початку координат, то
Тоді
і
(11.34)
Другие работы по теме:
Математик Остроградський М В
Реферат на тему: Остроградський Михайло Васильович (1801-1862) математик Народився в селi Пашенна на Полтавщині. У 1816—1821 рр. навчався в Харківському університеті. В 1822—1827 рр. вдосконалював математичну освіту у Франції: слухав математичні курси на Паризькому факультеті наук і в Коллеж де Франс, що дозволило йому називати своїми вчителями таких великих французьких учених, як О.Л.Коші, Л.Пуансо, Ж.Ф.М.Біне, Ж.Ш.Ф.Штурма, Г.Ламе.
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів
Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
Математичні методи представлення знань
Загальні формули прямокутників. Похибка методу прямокутників. Площа криволінійної трапеції. Формула парабол (Сімпсона). Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Формула трьох восьмих. Абсолютна похибка обчислення. Наближення підінтегральної функції.
Застосування подвійних інтегралів
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Невласні подвійні інтеграли
Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
Подвійний інтеграл
Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.
Поверхневі інтеграли
Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
Інтегральне числення
Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
Поверхневі інтеграли
ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ 1. Поверхневі інтеграли першого роду Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів. Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Аналіз методу чисельного інтегрування, з використанням методу Гауса при обчисленні інтегралу третього, четвертого та п’ятого порядків. Алгоритм та лістинг програми, що розв’язує інтеграл методом Гауса, знаходить похибку, виводить і порівнює результати.
Дослідження методів чисельного інтегрування
Характеристика основних методів чисельного інтегрування та розв’язання інтегралу методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків. Оцінка похибок та порівняння їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.
Дослідження чисельних методів інтегрування
Дослідження методів чисельного інтегрування Чебишева та Трапеції, порівняння їх точності. Способи розробки програми на компіляторі Turbo C++, яка знаходить чисельне значення вказаного інтегралу. Обґрунтування вибору інструментальних засобів програми.
Інтеграли зі змінними границями
Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет Механіко-математичний факультет Кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкцій
Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування. Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
Аналіз та обчислення дужкових виразів
Реферат на тему: Аналіз та обчислення дужкових виразів У розділі 9 розглядалися дужкові арифметичні вирази, мова яких породжується розширеною LA(1)-граматикою G2:
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Про систему задач для вивчення інтеграла
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер.
Подвійний інтеграл його властивості
Пошукова робота на тему: Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
Інтегрування ірраціональних виразів
Пошукова робота на тему: Інтегрування ірраціональних виразів. План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева