Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки
із запізненням
1. Вступ
У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд – це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи.
Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду “попередньої історії”. Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв’язування, для систем з післядією не настільки успішна.
Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р.Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин.
Мета цієї праці – проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту.
2. Асимптотична стійкість
2.1. Головні результати теорії стійкості
Широке коло задач пов’язано з дослідженнями динаміки об’єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням:
(2.1)
Тут – функціонал, визначений для довільного фіксованого на множині кусково-неперервних функцій:
Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов’язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.
З цієї причини М.М.Красовський [8] запропонував підійти до вивчення стійкості з точки зору дослідження процесів у функціональних просторах. Як точку простору він запропонував розглядати не вектор , а вектор-відрізок цієї траєкторії . Замість функції він запропонував використовувати функціонал , визначений на відрізку . Використання функціоналів – це природнє узагальнення прямого методу Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2].
Теорема 2.1. Нехай існують - функціонал і неперервні функції такі, що при , при ,
Тоді незбурений роз’язок системи (1) є стійким, а кожен роз’язок обмеженим. Якщо, крім цього, при , тоді кожен розв’язок прямує до нуля при .
2.2. Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із запізненням
Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:
(2.2)
Тут і – від’ємні константи, функції задовольняють наступні умови:
(2.3)
де – додатні константи.
Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані.
Тоді незбурений розв’язок (2.2) є стійким та експоненціально -стійким.
Доведення. Нехай – функція Ляпунова для скалярного рівняння:
(2.4)
Тоді:
Розглянемо функціонал, що відображає в вигляду:
Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:
Згідно з умовами (3), існує таке, що:
(2.5)
у сфері:
. (2.6)
Функціонал задовольняє умови:
(2.7)
при досить великому N.
Нехай – довільний розв’язок системи (2.2) з початковими умовами зі сфери:
Розглянемо інтервал , на якому піддослідний розв’язок зодовольняє умови:
Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв’язок першого рівняння з (2.2) – експоненціально x-стійкий, тобто:
(2.8)
Уявимо функцію , яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:
(2.9)
Оскільки то маємо:
Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо:
Виберемо і такі, що мають місце нерівності:
Звідси при має місце:
Нехай . Таким чином, нерівності мають місце для довільного . Таким же чином, як це було зроблено для , можна довести -стійкість (2.2). Теорему доведено.
3. Система імунного захисту
Наша подальша мета – отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:
(3.1)
Тут . З цією метою введемо такі позначення. Нехай – довільні додатні константи.
Нехай:
Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи , що задовольняють нерівності:
Тоді тривіальний розв’язок (22 ) є асимптотично стійким.
Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:
що є додатньо-означеним на розв’язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу , використовуючи систему (22). Маємо:
Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:
Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору:
Маємо:
.
Тут:
.
Взявши до уваги вигляд матриці , стає зрозумілим, що від’ємна визначеність є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми.
Література
Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного гепатита. – М.: Наука, 1981.
Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. – Berlin, 1977.
Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. – 1960. – Р. 181-198.
Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. – Advances in Difference Equations. – Gordon and Breach Science Publishers. – 1997. – Р.439-445.
Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. – 1996. – №4. – С. 88-93.
Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.– 1996. – №8. – С. 8-13.
Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. – 7 (1928). – Р. 249-298.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1951.
Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971.
Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
Другие работы по теме:
Комплексний аналіз часових рядів
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Лабораторна робота № 6 Тема : «Комплексний аналіз часових рядів»
Дослідження фототранзистора
Лабораторна робота №4 Тема: Дослідження фототранзистора Мета роботи: Вивчення основних фізичних закономірностей, визначаючих властивості та параметри фототранзисторів, дослідження світлових характеристик цих приладів.
Расчёт сжатого стержня
Задача №1. Для стиснутого стержня заданого перерізу визначити критичну силу Ркр, допустиму стискаючу силу [Рст], а також коефіцієнт запасу стійкості nст.
Основи соціології
Місце соціології у системі суспільних наук. Характеристика функцій соціології, її завдань, рівнів. Поняття та об`єкт соціологічного пізнання. Основні види самогубств за теорією Дюркгейма. Компонент релігійної відповідальності протестанта за М.Вебером.
Рух механічної системи із двома ступенями волі
Застосування теорем динаміки до дослідження руху механічної системи. Закон зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості. Диференціальне рівняння відносного руху матеріальної крапки. Визначення реакцій в опорах обертового тіла.
Регулювання тиску пара в казані
Будова та принцип роботи казана, представлення його структурної та функціональної схем. Визначення закону регулювання та передатної функції тиску пару у пристрої. Аналіз стійкості системи автоматичного регулювання згідно критеріям Гурвіца та Найквиста.
Розрахунок роботи автоматичного обладнання
Вибір різального та вимірювального інструменту, методів контролю. Токарна програма та норми часу. Підсумок аналітичного розрахунку режимів різання на точіння. Розрахунок режимів різання на наружні шліфування. Опис технічних характеристик верстатів.
Медицина як виробництво до питання про оцінку ефективності системи ОМС
Медицина як виробництво: до питання про оцінку ефективності системи ОМС Біля шести років пройшло з дня вступу в силу “Закону про медичне страхування громадян у Російській Федерації”. За невеликий, в історичному масштабі, відрізок часу в основному забезпечене не тільки впровадження нових відносин у системі державної охорони здоров'я, але і вироблений визначений алгоритм стійкого функціонування територіальних систем обов'язкового медичного страхування.
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
Організація і проведення досліджень з оцінки стійкості об єкта
Реферат з БЖД ОРГАНІЗАЦІЯ І ПРОВЕДЕННЯ ДОСЛІДЖЕНЬ З ОЦІНКИ СТІЙКОСТІ ОБ’ЄКТА Дослідження стійкості роботи ОГД — це всебічне вивчення обстановки, яка може скластися під час надзвичайної ситуації та визначення її впливу на виробничу діяльність підприємства. Мета дослідження полягає в тому, щоб виявити слабкі місця в роботі об’єкта та виробити найбільш ефективні пропозиції, спрямовані на підвищення його стійкості.
Комплекс международного маркетинга
Основные стратегии международного маркетинга: экспорт, создание СП, создание филиалов и продажа лицензий. Процесс управления маркетингом: анализ рыночных возможностей, сбор целевых рынков, разработка комплекса маркетинга, претворение в жизнь маркетинговых мероприятий.
Електровимірювальна апаратура
Ознайомлення з правилами техніки безпеки, правилами збірки схем і правилами користування електровимірювальною апаратурою. Дослідження схем з’єднання резисторів. Зняття робочих характеристик трифазного асинхронного двигуна з короткозамкненим ротором.
Система прямого регулювання тиску газу з І-регулятором
Аналіз і синтез лінійної неперервної САК. Визначення стійкості системи по критерію Гурвіца. Побудова логарифмічної частотної характеристики САК. Визначення періоду дискретизації імпульсного елемента та передаточної функції розімкнутої та замкнутої ДСАК.
Досвітня експлуатація засобів вимірювання
Ступінь зміни нормованих методологічних характеристик кількісних значень показників надійності експлуатації технічних пристроїв. Форми виявлення характерних поломок та конструктивних недоліків приладів. Визначення особливостей метрологічного дослідження.
Дослідження перехідних характеристик цифрових САК
Дослідження цифрових систем автоматичного керування. Типові вхідні сигнали. Моделювання цифрової та неперервної САК із використання MatLab. Результати обчислень в програмі MatLab. Збільшення періоду дискретизації цифрової системи автоматичного керування.
Криптологія
Створення математичної моделі інформаційної системи для надання користувачам інформації в використанні різних задач. Структурна схема захисту від зловмисних дій в системі. Класифікація криптоперетворень, умови реалізації безумовно стійких криптосистем.
шпора по РПС
Формалізація – представлення простих для сприйняття або дослідження форми найзначніших індивідуальних рис об'єкту або явища, що вивчається. В просторових дослідженнях моделювання застосовується переважно в тих випадках, коли метою дослідження є з'ясування загальних закономірностей або детальне вивчення конкретного явища, процесу, що протікає в системі з певними просторовими або часовими властивостями.
Еліпсоїд
1) ом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху.
Внутрішньовенні ін єкції
1. При введення внутрішньовенно струменево 10% р-ну хлористого кальцію, у хворого раптом появилися пекучий біль та випинання у місці введення. Яке очевидно ускладнення виникло при цьому?
Конституційне право як наука
Конституційне право кожної країни можна визначити як складову частину правової системи, її галузь. Ця галузь досліджується на рівні спеціальної юридичної науки.
Методичні підходи в імітаційному моделюванні
Тема : . Загальний аналіз альтернативних підходів в імітаційному моделюванні. Дискретне імітаційне моделювання. 1. При розробці імітаційної моделі аналітику, а в даному випадку розробнику, потрібно вибрати конкретну концептуальну схему для опису системи, що моделюється. Ця схема будується на визначеному методологічному підході, в рамках якого сприймаються і описуються функціональні взаємозв’язки системи.
Про виплати штрафу за затримку постачання товарів
Фірмовий бланк Адреса організації, підприємства (куди передається претензія) Про виплати штрафу за затримку постачання товарів За контрактом № ______ від __________ ви були зобов'язані поставити фірмі ___________________ товар _______ за ціною ______ у кількості _______ за ціною __________ за штуку.
Виникнення парашуту Історія його вдосконалення
Волинські Реферати Всі права збережено Referats@360 www.referaty Вища школа і просування до науки. Участь студента в дослідженні - одне з найбільш ефективних методів для навчання високо - кваліфікованих фахівців здібних до прийняття участі у швидко розвивається науковій і технологічній революції.