Пошукова робота на тему:
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.
План
Властивості степеневих рядів
Неперервність суми
Інтегрування степеневих рядів
Диференціювання степеневих рядів
1. Властивості степеневих рядів
Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.
Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне Тоді числовий ряд з додатними членами
(13.49)
збігається. Але при члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку і його сума буде неперервною на цьому відрізку.
Наслідок. Якщо границі інтегрування , лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на , що містить проміжок ().
Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)
має інтервал збіжності , то ряд
(13.50)
одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду (13.50) де сума ряду (13.39).
Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.
Для цього візьмемо деяку точку таку, що В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число що . Якщо то
де
Таким чином, члени ряду (13.50) при за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:
За ознакою Даламбера цей ряд збігається:
Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто
Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу
Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.
Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:
Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал
Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.
а) ; б) .
Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)
.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при
При : розбігається, тому що
При : розбігається (не виконується
необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при
б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності
При : .
Оскільки
, то
знакочергуючий ряд розбігається.
При : розбігається (не виконується
необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду
Приклад 2. Знайти суму ряду
Р о з в ‘ я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через Радіус збіжності даного ряду а інтервал збіжності Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :
Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником а тому сума
Зауважимо, що
Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:
Оскільки то і сума заданого ряду
Другие работы по теме:
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Інтегрування раціональних функцій
Пошукова робота на тему: Інтегрування раціональних функцій. План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Застосування симетричних многочленів
Вивчення теоретичних положень про симетричні многочлени і їх властивості: загальне поняття і характеристика властивостей. Математичне вживання симетричних многочленів: розв'язування систем рівнянь, доведення тотожності, звільнення від ірраціональності.
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Інтегральні перетворення Лапласа
Означення та властивості перетворення Лапласа, приклади розв'язання базових задач. Встановлення відповідності між двома точками за допомогою оператора. Застосування операційного методу математичного аналізу, проведення дій над логарифмами та числами.
Подвійний інтеграл
Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Інтеграл Стілтьєса
Міністерство освіти і науки України Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка Кафедра математичного анілізу та інформатики Курсова робота з математики ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА Виконала студентка групи М-41 Лозицька Тетяна Петрівна Науковий керівник канд. фіз.-мат. наук, доцент Кононович Тетяна Олександрівна Полтава-2008
Алгоритми розрахунку періодичного режиму в нелінійній схемі
Часові та спектральні методи розрахунку довільних нелінійних кіл. Чисельні методи інтегрування звичайних диференційних рівнянь, їх класифікація та властивості. Математичний зміст спектральних методів та алгоритм розрахунку періодичного режиму схеми.
Допоміжні алгоритми
та тему: ДОПОМІЖНІ АЛГОРИТМИ Тема: Допоміжні алгоритми. Мета уроку: навчити учнів складати допоміжні алгоритми; виховати старанність, дисциплінованість;
Картка реєстрації угоди
Назва реферату : Картка реєстрації угоди Розділ : Цінні папери Картка реєстрації угоди Картка реєстрації угоди № Дата реєстрації _________________ Час _________________________
Неперервність та функція
ФУНКЦІЙ ТЕОРІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей різних функцій. Теорія функцій поділяється на дві області: теорію функцій дійсного змінного і теорію функцій комплексного змінного, відмінність між якими настільки велика, що звичайно їх розглядають як дві різні галузі. Не вдаючись в деталі, можна сказати, що по суті мова йде про відмінність, з одного боку, в детальному вивченні основних понять математичного аналізу (таких, як неперервність, диференціювання, інтегрування і т.п.), а з іншого боку, в теоретичному розвитку аналізу конкретних функцій, представлених степенними рядами.
Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування. Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали. Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn).
Проблемно-орієнтовані мови програмування
Курсова робота з курсу”” Зміст 1. Тема , мета та цілі курсової роботи . . . . . . . . . .3 2. Завдання на курсову роботу . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
Інтегрування ірраціональних виразів
Пошукова робота на тему: Інтегрування ірраціональних виразів. План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева