Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Рефераты по астрономии » Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

,

(1)

де - опукла на проміжку функція а - довільні числа з цього проміжку при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках коли і коли - лінійна функція. Якщо функція угнута в то нерівність Йєнсена записують так:

,

(2)

де - середнє арифметичне чисел ; - середнє арифметичне чисел . В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто

,

(3)

,

(4)

де і

(5)

Треба підкреслити що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hцlder 1889) а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:


,

(6)

де на і .

(7)

Нагадаємо що функція називається опуклою (угнутою) в якщо


,

(8)

(9)

для довільних ; при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках коли і коли - лінійна функція.

Треба зауважити що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так в [1 2] використовується метод Коші; доведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точок; в [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови що функція має в другу похідну; в [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові що опукла (угнута) в функція диференційована в цьому проміжку.

Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок на проміжку . Таким чином можна вважати що - випадкова величина - функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємом дискретний розподіл має вигляд:





(10)




З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).



Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.


Для опуклої функції будь-яка точка дуги розташована вище відповідної точки хорди для угнутої функції – навпаки. Якщо функція лінійна то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента а точка відповідає середині відрізка . Таким чином рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: коли і коли - лінійна функція. У роботі [5] другий випадок лишився поза увагою автора. Будь-яка нелінійність порушує пропорційну залежність між і . Так для опуклої функції збільшується множина значень які перевищують для угнутої функції – навпаки. Це вагомий аргумент на користь кусково-лінійної інтерполяції функцій. З точки зору фізики це означає що для опуклої дуги центр ваги матеріальних точок і завжди лежить під дугою. Ця властивість центра ваги двох матеріальних точок виконується для будь-якого числа матеріальних точок що лежать на опуклій кривій . В цьому випадку крива апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків і ми одержуємо шукане узагальнення.

Дискретний розподіл для вибірки без повторень з об'ємом має вигляд:

...

...

...


Математичне сподівання аргументу визначається так:



Математичне сподівання функції


.


Зрозуміло що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування вибірки і спираючись на попередній результат довести нерівність Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

Перейдемо до вибірки з повтореннями. Нехай значення аргументу повторюється разів а - разів - об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:


Тут і - відносні частоти повторень значень і .

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

для опуклої функції ,

(11)

для угнутої функції ,

де і .

(12)

Рівність в (11) і (12) досягається коли а також коли - лінійна функція причому другий випадок є найбільш змістовним. Якщо нерівність Йєнсена виконується за означенням опуклої (8) і угнутої (9) функції. Цікаво з'ясувати що зміниться у ймовірнісній схемі доведення нерівності Йєнсена якщо . В лівих частинах нерівностей (11) і (12) під знаком стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:



в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента:


.


Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і значення функції від математичного сподівання аргумента неважко встановити що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої функції відповідно (рис.2).



Рис.2. Узагальнення означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій .


Цей випадок відрізняється від симетричного лише тим що точка не співпадає із серединою відрізка тому що математичне сподівання аргумента визначається не арифметичним середнім а зваженим середнім де - вагові коефіцієнти. При цьому зберігається пропорція у приростах аргументу і лінійної на функції:

.

Будь-яка нелінійність порушує пропорцію у приростах функції. Математичному сподіванню аргумента тепер відповідає значення функції і якщо функція опукла то а для угнутої – навпаки . З фізичної точки зору розглянутий випадок означає що маси матеріальних точок і неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат центра ваги неоднорідного стержня. Тепер спираючись на узагальнені означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій неважко довести нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому дискретний розподіл має вигляд:

...

...

...


Відносні частоти причому не всі рівні між собою. Вибірку зручно розбити на групи (краще по дві варіанти) визначити для кожної групи середні зважені значення абсцис і ординат вузлових точок. Якщо на опукла (угнута) то всі нерівності Йєнсена на проміжках мають однаковий зміст. Об'єднуючи відрізки в ансамбль і виконуючи усереднення групових середніх отримаємо кінцевий результат який полягає у тому що точка з координатами лежить нижче дуги кривої (якщо функція опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

Інтегральна нерівність Йєнсена (6) може бути доведена за допомогою граничного переходу в дискретній нерівності. або узагальненої теореми про середнє в інтегральному численні. Нам лишається навести ймовірнісний коментар до формули (6). Варто звернути увагу на те що в формулах (6) і (7) функція має властивості щільності розподілу випадкової величини . В лівій частині (6) під знаком записано математичне сподівання випадкової величини що розглядається на проміжку :


.


В правій частині (6) маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента :


.


До речі в математичному аналізі до цих самих результатів приводить узагальнена теорема про середнє в інтегральному численні. Важливо підкреслити що при будь-якому законі розподілу ймовірностей точка . Точка належить хорді що з'єднує кінці дуги і тому для опуклої функції



для угнутої


.


В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього функції називають "парадоксом оцінювання" [6]. Дослідження парадоксів – кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки. Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів допомагають розвинути справжню інтуїцію а ймовірнісні підходи сприяють зворотньому руху [7] конструктивних ідей із теорії ймовірностей до математичного аналізу та інших розділів математики.

Використана література

Невяжский Г.Л. Неравенства. Пособие для учителей. – М.: ГУПИ МП РСФСР 1947.

Каплан Я.Л. Математика. Посібник для підготовки до конкурсних екзаменів до вузів. – К.: Вища школа 1971.

Ижболдин О. Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. №5. – М.: Наука 1990. – С.57-62.

Беккенбах Э. Беллман Р. Неравенства. – М.: Мир 1965.

Вороний О. Нерівність Йєнсена // У світі математики. – Т.6. – Вип.2. – К.: "ТВІМС" 2000. – С.9-13.

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир 1990.

Скороход А.В. Особливий характер теорії ймовірностей в математичних науках // У світі математики. – Т.3. – Вип.2 – К.: "ТВІМС" 1997. – С.2-4.