Пошукова робота на тему:
Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.
План
Числові ряди. Збіжність і розбіжність
Сума ряду
Дії над збіжними рядами
Необхідна ознака збіжності
Гармонічний ряд
ЧИСЛОВІ РЯДИ
1 Ряд. Сума ряду
Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел
Вираз
(13.1)
називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду.
Означення 2. Сума скінченого числа перших членів ряду називається ою частинною сумою ряду:
. (13.2)
Означення 3. Якщо існує скінчена границя
(13.3)
то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.
Якщо не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1) розбігається і суми не має.
Приклад 1. Розглянемо ряд
Це – геометрична прогресія із першим членом і знаменником ().
Якщо то сума перших її членів обчислюється за формулою
.
Тоді
При одержимо ряд , який розбігається
При одержимо ряд .
В цьому випадку
Отже, границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.
Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді, коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.
Приклад 2. Знайти суму ряду
Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо дріб на простіші дроби
і
Частинна сума ряду
За означенням суми ряду
Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.
Д о в е д е н н я. Нехай сума перших членів ряду (1.1), сума відкинутих , сума членів ряду, що входять в суму і не входять в . Тоді маємо:
де постійне число, що не залежить від Із останнього співвідношення випливає існування скінченої границі при існуванні скінченої границі коли і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.
Теорема 2. Якщо ряд (13.1) збігається і його сума дорівнює то ряд
де яке-небудь постійне число, також збігається і його сума дорівнює
Д о в е д е н н я. Очевидно, що частинна сума даного ряду дорівнює і Теорема доведена.
Теорема 3. Якщо ряди
збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і , то ряди
також збігаються і їх суми будуть
Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд
Тоді і
що і доводить дану теорему.
2. Необхідна ознака збіжності ряду
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його ий член прямує до нуля при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність
де сума ряду; але тоді має місце також рівність
Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:
Але
Отже
що й потрібно було довести.
Наслідок. Якщо , то числовий ряд розбігається.
Приклад. Ряд
розбігається, оскільки
Ряд
називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й
Нижче буде показано, що ряди збігаються при і розбігаються при
Другие работы по теме:
АРМ бухгалтера 2
Контрольна робота з курсу “АРМ бухгалтера” Практична частина Розрахунок заробітної плати: Прізвище та ініціали: Ткаченко О.М. Посада: директор Тарифна ставка: 1100,00
Доцільність проведення чемпіонату Європи з футболу "Євро-2012"
Соціологічне дослідження поглядів студентів щодо доцільності проведення чемпіонату Європи з футболу в Україні: мета, об’єкт дослідження, об’єм вибіркової сукупності, метод збору інформації. Питання, що підлягали вивченню; етапи реалізації проекту.
Основи конструювання батарейного циклону
Особливості використання та влаштування батарейних циклонів, оцінка його аеродинамічного опору. Методика визначення загальної кількості батарейних елементів та довжини вихлопної трубки циклонного елементу. Аналіз руху газу в корпусі батарейного циклону.
Визначення залежності між ознаками якості. Рівняння регресії
Лабораторна робота Тема: «Визначення залежності між ознаками якості. Рівняння регресії.» Задача. Визначте параметри лінійної регресії, використовуючи дані, які характеризують залежність кількості виходу речовини (y) від вмісту добавки (x) та побудуйте рівняння регресії. Дані, потрібні для розрахунку параметрів регресії, наведені у таблицях по варіантах.
Числові функції
Реферат на тему: Числові функції. Числові функції виконують основні математичні операції над цілими та дробовими числами. Користувач може обрати для роботи точну або наближену раціональну арифметику. Для точної раціональної арифметики розмір цілих чисел, чисельників та знаменників обмежений приблизно до 25000 десяткових знаків.
Теорія ймовірності та її застосування в економіці
Імовірність несплати податку для кожного підприємця. Випадкова величина в інтервалі. Ряд розподілу добового попиту на певний продукт. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Біноміальний закон розподілу, математичне сподівання величини.
Теорія вірогідності
Класична ймовірність події як відношення кількості сприятливих до загальної кількості можливих подій. Інтегральна теорема Мавра-Лапласа. Підпорядкування випадкової величини біноміальному закону розподілу з певними параметрами. Ряд розподілу цієї величини.
Правовая статистика
Побудова рядів розподілу для 30 засуджених за атрибутивною і варіаційною ознакою. Оформлення результатів викладіть у формі статистичних таблиць та гістограми. Визначення середньої величини, моди і медіани. Аналіз змін в динаміці правового показника.
Інтегральне числення
Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
Люблю травневий світлий час...
Автор: Бертран де Борн. Люблю травневий світлий час І ніжні квіти весняні, Люблю, коли чарують нас Пташині радісні пісні, І тішусь я красою Рясних наметів і шатрів,
Фурье (Fourier), Жан Батист Жозеф
Он стал представлять математические функции тригонометрическими рядами. Рядами, состоящими из гармонических составляющих. Рядами Фурье – так назовут их потом. А сперва станут упрекать за недостаточную строгость выводов.
Процентні ставки та їх структура
Базові поняття фінансової математики. Облік фактору часу у фінансових розрахунках. Процеси нарощування вартості: прості та складні відсотки. Зміна процентної ставки. Вплив інфляції на результати фінансових розрахунків, облік інфляції у розрахунках.
Фосфати Фосфатні добрива
Солі фосфатної кислоти називають фосфатами Фосфорна кислота як триосновна утворює три ряди солей: - третинні фосфати, середні солі; , СаРО - вторинні фосфати, кислі солі-гідрофосфати;
Ряди динаміки 2
Ряди динаміки План Статистичні ряди динаміки та їх види. Показники для характеристики ряду динаміки. Основні прийоми аналізу та перетворення рядів динаміки.
Зведення і групування статистичних даних
ПЛАН 1. Зміст і завдання статистичного зведення. 2. Завдання групування, види групувань. 3. Ряди розподілу. 4. Статистичні таблиці, їх види, основні правила їх побудови.
Розподіл і перерозподіл національного доходу
На стадії виробництва розподіл національного доходу проявляється в тому, що створюється необхідний і додатковий продукт. На стадії розподілу необхідний і додатковий продукт розпадається на первинні доходи – це доходи які підкреслюють, що суб’єкти, які їх одержують беруть безпосередню участь у створенні національного доходу.
Загальнi вiдомостi про Бейсiк
Реферат на тему: Формат програмного рядка БЕЙСIКА Програма, яка написана на мові Бейсік, являє собою сукупність програмних рядків. В Turbo-Basic нумерація рядків необов'язкова.
Абсолютні величини в статистиці
Реферат на тему: Абсолютні величини в статистиці. План. Поняття статистичних величин. Види абсолютних величин. І статистичні ряди і статистичні таблиці містять підсумкові дані, які характеризують сукупність одиниць спостереження.
Статистичні ряди і таблиці
Тема: . План Статистичні ряди і їх види. Статистичні таблиці і їх будова. 1. Результати статистичних зведень і групувань оформляють статистичними рядами і таблицями.
Порядок виплати з плати
: Розрахунково – платіжна документація по виплаті з/ти та її заповнення. Порядок виплати з/ти. Поняття депонованої з/ти та її облік. План. Порядок виплати з/ти , та документація , яка ведеться при цьому.
Проблемно-орієнтовані мови програмування
Курсова робота з курсу”” Зміст 1. Тема , мета та цілі курсової роботи . . . . . . . . . .3 2. Завдання на курсову роботу . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.