Дійсні числа

Зміст.

Вступ…………….……………………………………………….2

Розділ І. Історія виникнення проблеми ірраціонального числа…………………….8

Розвіл ІІ. Дійсні числа.

§1. Множина раціональних чисел …………..15

§2. Дві основні задачі які приводять до розширення множини раціональних чисел……….23

§3. Множина дійсних чисел…………………..28

§4. Модуль дійсного числа і його властивості……………………………………………..32

§5. Наближені значення дійсних чисел……………………………………………………..38

Розділ ІІІ. Методика викладання даної теми в школі…..……………………………………41

Висновки………………….…………………………….53

Література………………………………………………55

Додаток………………………………………………….56


Вступ.

Математика вивчає просторові форми і кількісні відношення. Візьмемо наприклад який-небудь предмет. Нас може цікавити яка його густина міцність теплопровідність. Відповіді на подібні запитання дає фізика. На запитання: З якої речовини цей предмет? Як на нього діють кислоти луги? Чи може він горіти?- відповіді дає хімія. Але нас може цікавити й таке: Яка форма цього предмета? Які його розміри? Ці питання розглядаються в математиці.

Математика як наука сформувалася в Стародавній Греції в VII-III столітті до нашої ери коли Фалес Піфагор Евклід та інші вченні систематизували відомі на той час математичні знання і виклали їх з точним обгрунтуванням. Тоді ж виникло і слово “математика” яке в перекладі з грецької означає “знання” “наука”.

Тепер математика потрібна всім. Без математичних обчислень не можна побудувати не тільки космічного корабля електростанції підводного човна а й звичайного будинку. Від того як зроблено попередні розрахунки залежать вартість об’єкта його якість і терміни спорудження. Важко знайти таку галузь людської діяльності де можна було б обійтися без математики причому з часом діапазон її практичних застосувань розширюється. Нині математичні методи проникли навіть у медицину історію лінгвістику та інші науки.

Збільшується не тільки кількість наук які вже не можуть обходитись без математики а й обсяг математичних знань що застосовуються цими науками. Ось чому так важливо щоб наша молодь мала грунтовну математичну підготовку.

Коротко мету викладання математики в загальноосвітній школі можна визначити так. Шкільний курс математики має забезпечити міцне і свідоме оволодіння системою математичних знань умінь і навичок які потрібні для загального розвитку учнів для їх практичної діяльності в умовах сучасного виробництва для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів (фізики креслення хімії тощо ) і для продовження освіти.

Із сказаного випливає що викладання математики в наших школах повинно відповідати загальноосвітнім практичним і виховним цілям.

Вивчення математики може також сприяти вихованню почуття патріотизму. Учням треба показати що в розвиток математики внесли великий вклад і відомі всьому світові українські математики – М.В.Остроградський Г.Ф.Вороний М.Ф.Кравчук та ін. російські вчені – М.І.Лобачевський П.Л.Чебишов С.В.Ковалевська О.М.Ляпунов та ін. Ми по праву можемо пишатися нашими математиками! Насамперед такими як М.М.Боголюбов. І.М Виноградов В.М.Глушков А.М.Колмогоров Г.П.Бевз та ін.

У процесі навчання математики є можливість виховувати в учнів акуратність увагу культуру письма і усної мови тощо.

Методика викладання математики – це наука про різні способи і форми передачі учням математичних знань про мету зміст і засоби навчання і нерозривно пов’язані з ними питання виховання учнів у процесі викладання математики. Вона належить до циклу педагогічних наук. До XVIII століття всі питання навчання в школі розглядалися в педагогіці. Але пізніше педагогіка дуже розширилася диференціювалась і з неї виділились методики викладання окремих навчальних предметів у тому числі й методика викладання математики або коротше методика математики.

Першою книгою з методики математики вважається видана в 1803 році книга Песталоцці “Наочне вчення про число”.

Назву “методика математики” запропонував у 1836 році Дістервег.

Перед методикою викладання математики стоять такі основні завдання:

1) визначити мету навчання математики для різних типів шкіл і вікових груп учнів;

2) для кожної з цих груп конкретизувати зміст навчання математики ( які теми в якому обсязі і на якому рівні опрацьовувати);

3) відібрати методи форми і засоби навчання математики придатні для тих чи інших тем і умов;

4) показати як слід виховувати і розвивати учнів в процесі навчання математики.

Коротше кажучи методика викладання математики покликана дати відповіді на такі запитання: 1) навіщо навчати? 2) чому навчати? 3) як навчати? 4) як виховувати і розвивати учнів навчаючи математики?

Як і всі інші науки методика викладання математики має свій об’єкт дослідження свої проблеми свою історію. Вона потрібна багатьом за її розвитком стежать сотні тисяч учителів математики.

У ШКМ розглядається одна з провідних ліній розвитку –вчення про число. В науці існує теорія чисел але вона складна і не розглядається в школі. Але оскільки числа утворюють базис математики то важливим є засвоєння основних елементів цієї теорії в шкільному курсі. Однією з тем даної теорії є “дійсне число”. За шкільною програмою на її вивчення відводиться 2 години що є дуже мало. Тому від вчителя вимагається велика професійна підготовка для пояснення цього матеріалу глибокі знання методики викладання його: оскільки вчитель повинен систематизувати вже набуті знання учнів ввести нові поняття пояснити їх зрозуміло для учнів і закріпити новий матеріал.

В кінці уроку учень повинен впевнено відповідати на такі питання: що таке ірраціональне число? Що означає число ? Яким чином можна уявити множину дійсних чисел?

Для чого це треба? Дуже часто вчителі стикаються з такою проблемою що старшокласники не можуть розкрити зміст ірраціонального числа і це гальмує запланований процес роботи. Вважаючи що всі числа – елементарність насправді учні з часом стикаються з незнанням так званого елементарного. Надолужувати втрачене вчитель іноді не має часу тому в знаннях учнів залишаються недоліки які виправляються лише при бажанні самого школяра вивчити те чого не знає.

В цій роботі я досліджуватиму як краще викладати тему “Дійсне число” щоб учні оволоділи системою знань з цього матеріалу вмінням і навичками які потрібні їм для загального розвитку для їх практичної діяльності.

РОЗДІЛ І. Історія виникнення проблеми ірраціонального числа.

Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел які виражаються через раціональні лиш наближено.

Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних і їх довго не визнавали за числа як такі; називали то “несумірними” то “невиразними” то “супротивними щодо розуму”.

Ще стародавні греки відкрили в геометрії існування несумірних відрізків. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття. Ми не знаємо точно дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. Це могло статися:

1).в геометрії при знаходженні спільної міри сторони і діагоналі квадрата;

2).в арифметиці могло виникнути питання про точне визначення такого дробу квадрат якого дорівнює два.

Як би там не було мова йшла про відшукання і дослідження величини яку ми тепер позначаємо .

Відкриття факту що між двома відрізками—стороною і діагоналлю квадрата не існує спільної хоч як завгодно малої міри привело до справжньої кризи основ грецької математики.

Піфагорійці які відкрили існування несумірних відрізків тримали це відкриття в таємниці бо воно суперечило їх ідеалістичному вченню про гармонію чисел у навколишньому світі; не можна було визнавати справжнім їх учення про цілочисельну основу всього існуючого у тому числі й геометричних величин.

“Піфагорійці пов’язували вічну душу з вічними формами числа приписуючи цю властивість зокрема числу 10=1+2+3+4. Увесь світ за їх ученням складався з чистих чисел. Ця форма крайнього ідеалізму проявляється у Святій Трійці чотирьох євангелістах семи смертних гріхах тощо.

Відкриття несумірності діагоналі квадрата з його стороною нанесло серйозний удар по всій піфагорійській школі і сприяло її розпаду.

Незабаром було встановлено що несумірність діагоналі і сторони квадрата не є винятком що існують й інші величини відношення яких не можна подати відношенням двох (цілих) чисел. Феодор з Кірени (Vст.до н.е.) показав що сторони квадратів площі яких лорівнюють 3 5 6 7 … 17 несумірні з стороною одиничного квадрата.

Замість того щоб розширити поняття числа греки дійшли висновку що треба відокремити вивчення цілих чисел від геометрії; встановлюється точна межа між арифметикою і геометрією.

Усі ірраціональності до яких ведуть розв'язування квадратних рівнянь Евклід побудував суто геометрично. Відомо “задача про подвоєння куба” привела греків до ірраціональностей вищого порядку; цю задачу вони розв'язали також геометрично і за допомогою побудови довели існування несумірних відрізків вищого порядку.

Відкриттю несумірних величин надавали важливого значення ще в старовину. Так видатний старогрецький філософ Арістотель (384-322р.р.дон.е.) вказував що воно викликало здивування як і всяке справжнє наукове відкриття.

Факт існування несумірних відрізків не гальмував розвитку геометрії. Греки розробили теорію відношень відрізків яка враховувала можливість їх несумірності; вони вміли порівнювати такі відношення за величиною виконувати над ними арифметичні дії (в суто геометричній формі) інакше кажучи користувалися такими відношеннями як числами.

Щоб позбутися ірраціональних чисел греки вживали їх наближення досить точні для практичних обчислень. В Архімеда ці наближення мали науковий характер. І хоч Герон Олександрійський при обчисленні площ добуває квадратний корінь з добутку чисел а Діофант Олександрійський говорить уже про числа нераціональні однак ідея про те що відношеня довжин несумірних відрізків можна розглядати як число в грецькій математиці не була усвідомлена до кінця.

Отже: можна сказати що у вирішенні проблеми в галузі розширення поняття про число греки майже нічого не зробили. Як для Евкліда так і по суті для Діофанта існувало тільки ціле число.

Індійці і араби розглядали ірраціональні числа як числа нового виду. Вони не задумувались над тим чи законно додавати перемножувати ділити ірраціональні числа. Так наприклад Бхаскара знищує ірраціональніcть у знаменнику множачи чисельник і знаменник на той самий ірраціональний множник.

Термін “ірраціональний” у математичному розумінні вперше застосував у XIV ст.англійський математик Брадвардін (близько 1290-1349). Поняття числа з цим терміном пов’язує вперше (1544) німецький математик Штіфель. Але й він під час введення дій над ірраціональними числами вдається як і Евклід до відрізків.

Таким міркуванням властива загальна риса – ірраціональні числа не вважали повноправними числами. Але ці числа треба було розглядати вивчати бо зокрема обчислюючи ірраціональні корені алгебраїчних рівнянь і логарифми чисел визначаючи значення тригонометричних функцій і т.д. доводилося шукати їх достатні раціональні наближення і по суті оперувати ними як числами.

Велике значення для розвитку поняття ірраціонального числа мали праці Стевіна. Він був першим математиком який повністю підтримував точку зору визнання повної рівноправності раціональних та ірраціональних чисел однак останні почали застосовувати разом з від’ємними числами тільки після появи геометрії Декарта (1637).

Ідея Декарта привела до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику була введена змінна величина.

До початку XVIII ст. сформувалися три тлумачення поняття ірраціональної величини:

1).ірраціональне число розглядали як корінь n-го степеня з цілого або дробового числа коли результат добування кореня не можна виразити “точно” цілим або дробовим числом (найдавніше);

2).ірраціональне число трактували як межу до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько (це тлумачення йде від Стевіна і Валліса);

3).число розглядали як відношення однієї величини до другої величини такого самого роду взятої за одиницю; коли величина несумірна з одиницею число називали ірраціональним (Ньютон Декарт).

Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст.—Ньютон Лейбніц та інші—вважали поняття ірраціонального числа об’єктивним трактували його по-новому і широко застосовували в математиці.

У другій половині XVIIIст. у зв’язку з дальшим розвитком механіки і математики об’єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так Ейлер Ламберт та інші вчені встановили що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини XIXст.не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.

Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині XIXст.у працях німецьких математиків Дедекінда Кантора і Вейєрштрасса.

РОЗДІЛ ІІ. “Дійсні числа”

§1. Множина раціональних чисел

Учні 8-го класу часто зустрічали крім раціональних чисел ще й числа іншої природи – до них часто приводить операція добування квадратного кореня (і не тільки вона). Отже треба більш досконало познайомитися з новими числами. Але для цього доцільно було б систематизувати знання учнів про вже відомі тобто раціональні числа.

1.1. Деякі символи математичної мови.

Учням добре відомі натуральні числа:

1 2 3 4 …

Множина всіх натуральних чисел позначається буквою N.

Якщо до натуральних чисел приєднати число 0 і всі цілі від’ємні числа:

-1 -2 -3 -4 …

то одержиться множина цілих чисел. Цю множину позначають буквою Z.

якщо до множини цілих чисел приєднати всі дробові числа:

2/3 15/8 -33/58 …

то одержиться множина раціональних чисел. Цю множину позначають буквою Q.

Будь-яке ціле число m можна записати у вигляді дробу m/1 тому можна твердити що

Множина Q раціональних чисел—це множина яка складається із чисел виду m/n -m/n (де m n – натуральні числа) і числа 0.

Використовуючи введені позначення N Z Q бажано ввести наступне:

замість “n –натуральне число “ можна писати nєN(і читатиметься: “елемент n належить множині N”). Математичний символ є називають знаком належності; аналогічно записують mєZ (“m – ціле”) rєQ (“r – раціональне число”). Зрозуміло що N – частина множини Z а Z – частина множини Q. Для зображення даної ситуації в математиці також є спеціальне позначення:

NZ ZQ

Математичний символ називають знаком включення (однієї множини в іншу).

Взагалі в математиці запис хєХ позначає те що х—один з елементів множини Х. Запис АВ означає що множина А є частиною множиниВ. Математики частіше кажуть: А—підмножина множини В.

Потрібно звернути увагу учнів на те що множини в математиці позначають великими літерами а елементи множин—маленькими .

А також звернути увагу на те що знаки належності і включення—різні відповідно і .

Для того щоб записати що елемент х не належить множині Х або що множина А не є підмножиною множини В використовують ті ж символи але перекреслені: х Х А В.

Доцільно було б навести кілька прикладів використання введених математичних символів для скорочення запису справедливих математичних тверджень—їх називають також істинними висловленнями. Приклад1. А) 5 N 5Z 5Q; Б) -7N -7Z -7Q; B) 3 5 N 3 5 Z 3 5Q; Г) N Z Q;

Приклад 2.

2[1 3]; 1[1 3]; 1(1 3).

Приклад 3.

А) NZ ZN ZQ QZ;

Б) (1 3)[1 3] [1 3](1 3) [1 3](0 +∞) [2 5](3 8).

Страницы: 1 2 3