Реферат
На тему «Сложение колебаний»
Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Векторная диаграмма
Колебаниями
называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой
.
Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x
. Из взятой на оси точки О
отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью щ0
, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А
до +A
, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью
x угол, равный начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колебаний х1
и x2
,
которые определяются функциями
, (1)
Представим оба колебания с помощью векторов A1
и А2
. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А
.
На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x
равна сумме проекций складываемых векторов:
Поэтому, вектор A
представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ0
, как и векторы А1
и А2
,
так что сумма x1
и х2
является гармоническим колебанием с частотой (щ0
, амплитудой A
и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что
(2)
Также, из рисунка видно, что
(3)
Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x
и y
,
изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то
(1)
Где ex
и eу
—
орты координатных осей x
и y, А
и B —
амплитуды колебаний. Величинами x
и у
может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся частицы величины
, (2)
определяют координаты частицы на плоскости xy.
Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t.
Из первого уравнения следует, что
(3) Соответственно (4)
Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cos щ
t
и sinщt их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
(5)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х
и у.
Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A
и В
и разности фаз б.
Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.
1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной (рис. 1 а).
2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
(рис. 1 б)
Рис.1
3. При уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А
и В
эллипс превращается в окружность.
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.
Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
,
(знак плюс в выражении для у
соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
Фигура Лиссажу для
отношения частот 1:2 и
разности фаз р/2
Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2
Другие работы по теме:
Словообразование
Словообразованием называется как процесс образования производных слов, так и раздел языкознания, в котором изучается производность, средства и способы образования слов.
Показатели качества элементарных звеньев
Методика и особенности вычисления показателей качества, а также графическое изображение его различных звеньев. Анализ и оценка динамики коэффициента передачи, времени нарастания, перерегулирования, количества колебаний, статистической точности и ошибки.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Вынужденные колебания
Реферат На тему «Вынужденные колебания» Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Вначале рассмотрим затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы.
Явление резонанса
Демонстрация затухающих и вынужденных механических колебаний. При изучении механического резонанса в курсе общей физики используются демонстрационные опыты, суть которых состоит, как правило, в наблюдении вынужденных колебаний пружинного маят-ника. Однако, получить устойчивые колебания такого маятника в ин-тересующем интервале частот довольно трудно.
Колебания
называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени. Колебания бывают: Вынужденные Гармони ёеские
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Счетчики
Это устройства предназначенные для подсчета числа сигналов, поступающих на его вход и фиксация этого числа в виде кода хранящегося в триггерах.
Теория вектора
Содержание: 1. Что такое вектор? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.
Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Text Graphics СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Graphics СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ: уравняйте в дробях количество знаков после запятой; запишите дроби друг под другом так, чтобы запятая была под запятой; выполните сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую; поставьте в ответе запятую под запятой Graphics
Выявление и изучение сезонных колебаний
Выявление и изучение сезонных колебаний Четверг, Март 27th, 2008 При анализе многих рядов динамики можно заметить определённую повторяемость (цикличность, закономерность в колебаниях), изменениях их уровней. Например, в большинстве отраслей экономики это проявляется в виде внутритрудовых чередований, подъёмов и спадов выпуска продукции, неодинаковым потреблением сырья и энергии, колебания уровней себестоимости, прибыли и других показателей.
Детский сад
Автор: Куприн Александр. Дочь старшего писца сиротского суда Бурминова Сашенька заболела. Доктор поставил диагноз: «апатия, анемия и рахитичное сложение» и прописал лекарство — свежий воздух, Крым, морские купания и хорошее питание. Но при зарплате отца об этом нечего и думать. Впрочем, Сашенька и не хочет ничего — разве что в зеленый сад, как у крестной.
Микроконтроллеры семейства MCS51 Intel
Инструкции MCS51 Intel Инструкции, модифицирующие флаги (1) Инструкция C OV AC Инструкция C OV AC CLR C ADDC CPL C SUBB ANL C,bit ANL C,/bit ORL C,bit ORL C, bit
Программа, реализующая тип данных "вещественная матрица"
Этапы реализации класса "вещественная матрица", позволяющего осуществлять основные операции с вещественными прямоугольными и транспонированными матрицами. Листинг программы, которая реализует тип данных "вещественная матрица" и принципы работы с ними.
Операции сложения и вычитания
Алгоритм выполнения операции сложения, вычитания. Сложение чисел в столбик. Проверка получившихся результатов, переведение их в другую систему счисления. Перевод числа 128 из 8-й в 10-ую систему счисления и числа 11011101 из 2-й в 10-ую систему счисления.
Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел в двоичном коде
Числа с фиксированной точкой характеризуются длиной слова в битах, положением двоичной точки, бывают беззнаковыми или знаковыми. Позиция двоичной точки определяет число разрядов в целой и дробной частях машинного слова. Представление отрицательного числа.
Программирование на VBA
Министерство образования и науки российской федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет»
Действия над матрицами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Инструментальные средства разработки программных средств»
Кодирование звуковой информации
Презентация по теме Кодирование и обработка звуковой информации. Звук – это волна с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. Чем больше амплитуда, тем громче звукЧем больше частота, тем больше тон.
Алгоритм шифрования данных IDEA
Алгоритм IDEA International Data Encryption Algorithm ) является блочным шифром. Он оперирует 64-битовыми блоками открытого текста. Несомненным достоинством алгоритма IDEA является то, что его ключ имеет длину 128 бит. Один и тот же алгоритм используется и для шифрования, и для дешифрования.
Лейбниц Готфрид Вильгельм
Лейбниц (Leibniz, Leibnitz) Готфрид Вильгельм (21.VI.1646, Лейпциг - 14.XI.1716, Ганновер) - немецкий философ-идеалист, математик, ученый-энциклопедист. Основатель и президент Берлинской Академии Наук.
Бэббидж Чарльз
В начале 19 века Чарльз Бэббидж сформулировал основные положения, которые должны лежать в основе конструкции вычислительной машины принципиально нового типа.