Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №92»
X школьная научно-практическая конференция
Золотое сечение
Выполнила:
ученица 9а класса
Дороднева Анастасия
Руководитель:
учитель математики
Прокопенко О.И.
Новокузнецк, 2007г.
Оглавление.
1. Введение ------------------------------------------------------------------- 3
2. Немного из истории.----------------------------------------------------- 4
3. «Золотое сечение » и законы искусства в Древней Греции.---- 7
4. «Золотое сечение» и «золотая спираль в живой природе».----12
5. Применение «золотого сечения» в архитектуре городов.------ 12
7. Заключение.-------------------------------------------------------------- 14
8. Список литературы.---------------------------------------------------- 17
Введение.
Целью реферата является следующее: воспользовавшись различной литературой по геометрии, по черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «золотого сечения».
Задачи реферата:
Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».
Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции.
Рассмотрим золотую пропорцию и связанные с нею отношения.
Продемонстрировать и разобрать понятие золотой спирали в живой природе.
Показать применение «золотого сечения» в эпоху Возрождения.
Частично изучив архитектуру городов, указать наиболее известные здания с применением золотого сечения.
Я занялась подробным изучением темы «Золотое сечение» после того, как однажды на уроках геометрии услышала о широком применении «золотого сечения» в архитектуре. Я рассмотрела различные энциклопедические сведения, разработки ученых, занимавшихся темой «Золотое сечение». Для нахождения материала для моего проекта использовала энциклопедические справочники по математике, учебники по архитектуре, учебные пособия.
Немного истории...
«Золотое сечение» деления в крайнем и среднем отношении - деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ = а сводится к решению уравнения а: х = х : (а - х) (где х = АС), откуда х==0,62а.
Отношение х к а может быть выражено приближенно дробями , …, где 2,3,5,8,13,21, … - Фибоначчи числа. Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ, на нем откладывают отрезок BE = = I2AB, соединяют А и Е, откладывают ED = ЕВ и, наконец, АС = AD, тогда будет
АВ : АС = АС : СВ (рис. 1).
В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида,
где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида х (а +х) = = а2.
Евклид применял «золотое сечение» при построении правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида.
Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена ещё пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильные решению квадратных уравнений.
Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза - религиозной секты во главе с Пифагором (ок. 580-500 до н. э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т. д. Пифагорейцев отличало от других то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5 - как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) - считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием «золотого сечения» занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) и др.
В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (XIII в.) добавил к 13 книге «Начал» предположение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения».
В XV-XVI вв. усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников" в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала позвал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом. Л. Пачоли посвятил «золотому сечению» трактат «О божественной пропорции» (1509); о «золотом сечении» много писал в одном из своих ранних произведений И. Кеплер (1596). Ленардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны числом Ф, деление отрезка в отношении Ф он назвал «золотым сечением». «Золотое сечение» или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, например, Капелла Пации во Флоренции, архитектора Ф. Брунеллески, XV в.
«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» И ЗАКОНЫ ИСКУССТВА В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ.
рис. 2
Статуя «Дорифор».
Рассмотрим теперь применение «золотого сечения» в скульптурах Древней Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не сохранились, поэтому для иллюстрации возьмем произведение его младшего современника, скульптора и теоретика искусства Поликлета(вторая половина V в. до н. э.).
В своём трактате «Канон» он стремился установить законы пропорциональности человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор»-копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. В этой статуе мы
встречаем много раз примененное число. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении «золотого сечения». Значит, если высоту АВ принять за 1, то АО = , но тогда ОВ =1 - . Однако на рис. 2 показано, что расстояние ОВ берётся равным. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1 - =, то приходим к уравнению 2 + - 1=0.
Откуда = ,т. е. получили то же самое значение, которое вычислили ранее.
Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно 3, высота шеи вместе с головой равна 4 , длина шеи до уха - 5 , а расстояние уха до макушки -6 . Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем
: 2, 3 , 4, 5, 6.
Парферон.
«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических закономерностей Парферона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за ширину торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой - 2, между четвертой и пятой - 4. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию: 1, , 2 , 3, 4, 5.
Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого тела, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела: 1/. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как 4: 5, т. е. так же, как отрезок ВС относится к отрезку ЕС.
Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.
Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?
Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из её центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, рав360/5=720 , стороны углов пересекут окружность в точках А, В,С, D, Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму (рис. 2).
рис.2
Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.
Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций».
При п = 5 имеем 180° 3 : 5 = 108°.
В пятиугольнике ABCDE, 1 = 108°:3 = 36°. Теперь рассмотрим пентаграмму на рис. 3. Соединим в ней точки К и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM - правильный, т. е. угол KLF = 108°. Тогда l = 2 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того что 1 = E, следует, что ЕС параллельна KF, а тогда ΔВЕР подобен ∆BKF,
ЕВ : KB = РВ : FB. (1)
Обозначим ЕВ = а и KB = х, перепишем пропорцию (1) иначе:
а : х = х:(а - х), или х2 + ах - а2 = 0. Мы получили то же самое уравнение, решением которого является х =
Значит, KB: ЕВ =.
Таким образом доказано, что стороны пентаграммы пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют «золотую пропорцию»
Рис.3«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения.
Применение «золотой пропорции» часто сводится к построению отрезка длиной Ф =. Это число является обратным по отношению к числу . В самом деле:
Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.
Построение:
а) отложим отрезок АВ = 1; из точки В восстановим перпендикуляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС = 1;
б) разделим отрезок АВ пополам точкой О,
ОС=
в) из точки О проведем окружность радиусом , пересекающую луч АВ в точке D, AD=.
Ранее было доказано, что 2 = 1 - . Теперь докажем, что Ф2 = 1+
Доказательство. С одной стороны,
=
С другой стороны, Ф+1= Ф2 =Ф + 1.
«Золотое сечение» и «золотая спираль» в живой природе
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготения и инерции. «Золотая пропорция» - символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.
Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.
Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°.
Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг от друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через , а угол, дополняющий его до 360°, - через . Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол В - большая часть этой величины:
360: = :(360-).
Отсюда получаем уравнение 2 + 360 - 3602 = 0 и находим положительный корень =-180+=222,48.
Тогда = 360° - 222, 48° = 137,52° 138°.
Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при «золотом сечении».
Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую - 21. В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.
Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения:
=0,5; =0,666…; =0,6; =0,625…, =0,615…, =0,619047…,
=0,617977…, =0,518055…
Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число , с каждым новым шагом выражаемое всё более точно: = = 0,618033...
Логарифмическая спираль (рис. 6) единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свой ство
Рис.6
и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков; та же спираль встречается в соцветиях растений; даже пауки, сплетая паутины, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.Таким образом, человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.
«Золотое сечение» - один из этих основополагающих принципов природы.
Применение «золотого сечения» в архитектуре городов
Педагогический университет города Волгограда
Фасадная часть здания педагогического университета города Волгограда построена по принципу «золотого сечения» (рис. 8).
| № п/п | Параметры здания | Размеры, полученные при помощи линейки, м | Размеры, полученные после вычислений, м |
| 1 | Высота | 0,19 | 17,4 |
| 2 | Высота колонны | 0,13 | 12 |
| 3 | Расстояния между двумя колоннами | 0,04 | 4,3 |
| 4 | Расстояния между четырьмя колоннами | 0,07 | 7,2 |
| 5 | Расстояния между шестью колоннами | 0,12 | 12 |
| 6 | Расстояние от верхней части до колонны | 0,053 | . 5,3 |
Возьмем за 1 ширину торцевого фасада. Расстояние между первой и шестой колоннами равно , между второй и пятой - 2, между третьей и четвертой - З.
Аналогичные закономерности мы видим и в построении зданий по высоте. Объединив их, мы получаем прогрессию: 1, , 2, З, 4.
Вывод: произведя ряд вычислений и преобразований, я выявила закономерность и определила, что фасадная часть здания педагогического университета действительно построена по принципу «золотого сечения» (рис. 8).
Здание Новокузнецкого драматического театра.(рис.9)
рис.8 рис.9
Заключение.
Я думаю, что данный реферат является мини-пособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не все подробно, но в реферате затронуты все опорно-полагающие аспекты. Также в реферате рассмотрено применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которое эти здания оказывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «золотой пропорции».
В реферате описано применение «золотого сечения» только на нескольких зданиях, но здания, при построении которых применяли «золотое сечение», встречаются во многих городах неоднократно.
Литература
Большой энциклопедический словарь: математика. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1988.
Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября». - Волгоград: издательский дом «Первое сентября», 2005.
Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. -М.: Бюро «Квантум».
Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988.
Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1985.