Муниципальное образовательное учреждение.
Вознесенская средне образовательная школа.
Реферат по математике
на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»
ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.
Руководитель Пузикова Н. В.
с. Вознесенка , 2007 г.
Цель:
изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.
Задачи:
Выяснить, что такое аксиоматика.
Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии
Научиться применять аксиоматический метод.
Содержание.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.
3. Аксиоматический метод в геометрии.
4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
5. Вывод.
6. Литература.
1. Введение. Что такое аксиоматика.
Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.
Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.
Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.
2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод
Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.
Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:
Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;
Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.
Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты , выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.
Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.
3. Аксиоматический метод в геометрии
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.
Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.
1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то онипараллельны.
4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.
Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников ( а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:
Аксиома 1. Число игроков нечетно.
Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях.
Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока.
Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.
Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.
Теорема 1.Число игроков не меньше пяти.
Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.
Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно.
q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.
Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),( по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.
Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.
Доказательство. Пусть п- число игроков, тогда 2п- число выступлений игроков (А), п- число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:
Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.
Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.
5.Вывод.
Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.
Литература.
Энциклопедический словарь юного математика
/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.
Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.