4. Оценивание параметров структурной модели

Остальные рефераты » 4. Оценивание параметров структурной модели Скачать

Содержание:


1.Введение.Общее понятие о системах уравнений используемых в эконометрике………………………………2

2.Структурная и приведенная формы модели……………8

3.Проблема идентификации…………………………….......13

4.Оценивание параметров структурной модели…………23

5. Заключение…………………………………………………..25

6. Список литературы………………………………………...26


1.ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ

О СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ

ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ЭКОНОМЕТРИКЕ

Объектом статистического изучения в социальных науках яв­ляются сложные системы. Измерение тесноты связей между пе­ременными построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механиз­ма их функционирования. При использовании отдельных урав­нений регрессии например для экономических расчетов в боль­шинстве случаев предполагается что аргументы (факторы) мож­но изменять независимо друг от друга. Однако это предположе­ние является очень грубым: практически изменение одной пере­менной как правило не может происходить при абсолютной не­изменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдель­ных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических биометрических и социоло­гических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Напри­мер если изучается модель спроса как соотношение цен и коли­чества потребляемых товаров то одновременно для прогнозиро­вания спроса необходима модель предложения товаров в кото­рой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Приведем другой пример.

При оценке эффективности производства нельзя руководст­воваться только моделью рентабельности. Она должна быть до­полнена моделью производительности труда а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей степени возрастает потребность в использова­нии системы взаимосвязанных уравнений если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления инвестиций заработ­ной платы тождество доходов и т.д. Это связано с тем что макро­экономические показатели являясь обобщающими показателя­ми состояния экономики чаще всего взаимозависимы. Так рас­ходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового нацио­нального дохода рассматривается как функция инвестиций.

Система уравнений в эконометрических исследованиях мо­жет быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений когда каждая зави­симая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

y1= а 11х1 + а 12 х 2 + … + а1mхm + е1

y2= а21х1 + а22х2 +…+ а2mхm + е2

…………………….

yn= аn1х1 + аn2х2 +…+ аnmхm + еn


Набор факторов xt в каждом уравнении может варьировать. Например модель вида

Y1 = f(x1 x2 x3 x4 x5);

Y2 = f(x1 x3 x4 x5);

Y3 = f(x2 x3 x5);

Y4 = f(x3 x4 x5).


также является системой независимых уравнений с тем лишь от­личием что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравне­нии системы может быть следствием как экономической нецеле­сообразности его включения в модель так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора).

такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства где в качест­ве зависимых переменных выступают показатели характеризую­щие эффективность сельскохозяйственного производства -

продуктивность коров себестоимость 1 ц молока а в качестве факторов — специализация хозяйства количество голов на 100 га пашни затраты труда и т. п.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его парамет­ров используется метод наименьших квадратов. По существу каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности что факторы полностью объясняют зависимые переменные в уравнениях присутствует свободный член a0. Так как фактические значения зависимой пе­ременной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид:

Y1=a01+a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+e1

Y2=a02+a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+e2

Y3=a03+a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+e3


Однако если зависимая переменная у одного уравнения вы­ступает в виде фактора х в другом уравнении то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

y1 =a11x1+a12x2+…+a1mxm+e1

y2=b21y1+a21x1+a22x2+…+a2mxm+e2

y3=b31y1+b32y2+a31x1+a32x1+…+a3mxm+e3

………………………………………………………..

yn=bn1y1+bn2y2+…+b nm-1 y n-1 + an2x2+…+anmxm+en.

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые пе­ременные предшествующих уравнений наряду с набором собст­венно факторов х. Примером такой системы может служить мо­дель производительности труда и фондоотдачи вида

y1=a11x1+a12x2+a13x3+e1

y2=b21y1+a21x1+a22x2+a23x3+e2

где yl - производительность труда;

У2 — фондоотдача;

x1— фондовооруженность труда;

х2 — энерговооруженность труда;

х3 квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе каждое уравнение может рас­сматриваться самостоятельно и его параметры определяются ме­тодом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследо­ваниях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в ле­вую часть а в других уравнениях — в правую часть системы:

y1= b12 y2 + b13 y3+…+ b1n yn +a11 x1+a12 x2 +…+ a1m xm + e1

y2= b21 y1+ b23 y3+…+ b2n yn+a21 x1+a22 x2 +…+ a2m xm + e2

……………………………………………………………………………...

yn= bn1 y1 + bn2 y2+…+ b nn-1 y n-1+ an1 x1 + an2 x2+…+anm xm + en

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных одновременных уравнений. Тем самым под­черкивается что в системе одни и те же переменные у одновре­менно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от пре­дыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно и для на­хождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может слу­жить модель динамики цены и заработной платы вида

где y1 —темп изменения месячной заработной платы;

У2 — темп изменения цен;

х1 — процент безработных;

х2 — темп изменения постоянного капитала;

х3 - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравне­ний структура матрицы коэффициентов при зависимых перемен­ных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матрич­ном виде:

BY+ ГХ= Е

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y — вектор

зависимых переменных; Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

X — вектор объясняющих переменных; Е — вектор ошибок.

Если матрица В диагональная то рассматриваемая модель яв­ляется системой независимых уравнений. Так при трех зависи­мых и трех


объясняющих переменных модель имеет вид:

y1=a01+a11x1+a12x2+a13x3+E1

y2=a02+a21x1+a22x2+a23x3+E2

y3=a03+a31x1+a32x2+a33x3+E3.




Матрица параметров при зависимых переменных является диагональной:

1 0 0

B = 0 1 0

0 0 1

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к та­кому виду) то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так если модель имеет вид:

y1=a01+a11x1+a12x2+E1

y2=a02+b21y1+a21x1+a22x2+E2

y3=a03+b32y2+a31x1+a32x2+E2

т.е. зависимая переменная уг первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы а зави­симая переменная у2 второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении. Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели составит:

т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной ни треуголь­ной то модель представляет собой систему одновременных урав­нений. Так для модели вида


y 1=a01+b12y2+a11x1+a12x2+E1

y2=a02+b21y1+b23y3+a23x3+E2

y3=a03+b31y1+a32x2+a33x3+E3


получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных:

которая не является ни диагональной ни треугольной. Соответ­ственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем.


2.СТРУКТУРНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ ФОРМЫ МОДЕЛИ

Система совместных одновременных уравнений (или струк­турная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзоген­ные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые пере­менные число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это пре­допределенные переменные влияющие на эндогенные перемен­ные но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Эконо­мические переменные могут выступать в одних моделях как эн­догенные а в других — как экзогенные переменные. Внеэконо­мические переменные (например климатические условия) вхо­дят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзоген­ных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые пере­менные). Так потребление текущего года (у) может зависеть не только от ряда экономических факторов но и от уровня потреб­ления в предыдущем году (y _i).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изме­нений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные которые могут быть объектом регу­лирования. Меняя их и управляя ими можно заранее иметь целе­вые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эн­догенных и экзогенных переменных коэффициенты biи aj(biкоэффициент при эндогенной переменной аj — коэффициент при экзогенной переменной) которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в от­клонениях от среднего уровня т. е. под х подразумевается х — х а под у — соответственно у — у. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.


Использование МНК для оценивания структурных коэффи­циентов модели дает как принято считать в теории смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений параметры которой оценива­ются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК можно оценить 8 а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели выразив коэффициенты приведенной фор­мы модели (бij) через коэффициенты структурной модели aj и bi. Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида

y1 = b12 y2+a11 x1

y2 = b21 y1+a22 x2(1.1)


приведенная форма модели имеет вид:




y1=б11 x1 + б12 x2

y2=б21x1+б22x2 (1.2)


в которой у2 из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

y2=

y2=b21 y1+a22 x2.



Отсюда имеем равенство:





=b21y1+a22x2

Или

y1 - a11x1 = b12b21y1 + b12a22x2

Тогда:

Y1-b12b21y1 = a11x1+b12a22x2

или

Таким образом мы представили первое уравнение структур­ной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:


y1=б11x1+b12x2.

Из уравнения следует что коэффициенты приведенной фор­мы модели представляют собой нелинейные соотношения коэф­фициентов структурной формы модели т. е.

Аналогично можно показать что коэффициенты приведен­ной формы модели второго уравнения системы (б21 и б22) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную y1 из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у1 в левой части первого уравнения структурной формы модели (1.1):

Отсюда:

что соответствует уравнению приведенной формы модели:

y2 = б21x1 + б22x2 т.е.


Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения отражающие взаимосвязи между отдельными переменными но и выражения тенденции развития явления а также разного рода тождества. Например Т. Хаавелмо в 1947г. исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у) предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

с = а + by

y= с+х

где а и b — параметры линейной зависимости с от у;

х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в от­личие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные — сиу и одна экзо­генная переменная х. Система приведенных уравнений составит


с = А0 + А1х

у =B0+B1x


Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (А0 А1 В0 В1 можно перейти к коэффициентам структурной модели а и b подставив в первое уравнение приве­денной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через зна­чения экзогенных переменных аналитически уступает структур­ной форме модели так как в ней отсутствуют оценки взаимосвя­зи между эндогенными переменными.

3.ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Иден­тификация - это единственность соответствия между приведен­ной и структурной формами модели.

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эн­догенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид:

y^1=b12y2+a11x1+a12x2+…+a1mxm

y^2=b21y1+a21x1+a22x2+…+a2mxm.

где yl и у2 — совместные зависимые переменные.

Из второго уравнения можно выразить yl следующей фор­мулой:

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной пере­менной у1 с одним и тем же набором экзогенных переменных но с разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффици­ентов в одной и той же модели связано с неполной ее идентифи­кацией. Структурная модель в полном виде состоящая в каждом уравнении системы из и эндогенных и т экзогенных перемен­ных содержит n(n - 1 + т) параметров. Так при n = 2 и т = 3 полный вид структурной модели составит:

y^1=b12y2+a11x1+a12x2+a13x3

y^2=b21y1+a21x1+a22x2+a23x3.

Как видим модель содержит восемь структурных коэффици­ентов что соответствует выражению n • (n — 1 + m).

Приведенная форма модели в полном виде содержит и/и пара­метров. Для нашего примера это означает наличие шести коэф­фициентов приведенной формы модели. В этом можно убедить­ся обратившись к приведенной форме модели которая будет иметь вид:

Действительно она включает в себя шесть коэффициентов 5 у.

На основе шести коэффициентов приведенной формы моде­ли требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели что естественно не мо­жет привести к единственности решения.

Страницы: 1 2