Задача №1 Использование плоского напряженного состояния балки-стенки с использованием степенных полиномов
Рисунок 1.
Решение: Выделим из пластины бесконечно малый элемент aob и рассмотрим его равновесие:
, откуда ?xy = ?yx (1.1)
откуда после сокращения на ds
; (а)
откуда после упрощения
. (б)
Итак, (1.2)
Если заменить в формуле (а) угол ? на 90?+?, то получим
. (в)
Исключая в формулах (1.2) угол ?, получим уравнение круговой диаграммы Мора для плоского напряженного состояния (рис. 2)
. (1.3)
Рисунок 2. | Это уравнение типа (x-a)2+y2 = R2, где a = 0,5(?x+?y), . Непосредственно из круговой диаграммы находим величины главных напряжений: |
. (1.4)
Ориентация главных осей определяется из условия ?x?y? = 0, откуда tg2?o = 2?xy/(?x-?y). (1.4)
Более удобна следующая формула:
. (1.5)
Экстремальные касательные напряжения равны по величине радиусу круговой диаграммы
. (1.6)
И действуют на площадках, равнонаклоненных к главным осям.
Частный случай - чистый сдвиг (рис. 3).
Так как ?x = ?y = 0, ?xy = ?yx = ?, то по формулам (1.3) и (1.4) получим
Рисунок 3. | , следовательно ; , откуда и . |
Зависимости между напряжениями и деформациями определяются законом Гука:
- прямая форма
(1.7)
- обратная форма
(1.8)
Пользуясь законом Гука в обратной форме, находим напряжения
Для вычисления главных напряжений имеем следующую систему:
решая которую, найдем ?1 = 60 МПа, ?2 = 20 МПа.
Задача №2 Решение плоской задачи методом конечных разностей
Рисунок 4.
Решение: 1. Проверка существования заданной функции напряжений.
Подстановка полученных выражений в бигармоническое уравнение обращает его в тождество:
Функция может быть принята в качестве решения плоской задачи теории упругости.
2. Выражения для напряжений.
,
,
.
3. Распределение внешних нагрузок по кромкам пластинки (рис3.1,а).
Сторона 0-1: ,
Вершина парабол при .
: ,
: .
Сторона 1-2: ,
Экстремумы
.
:
:
:
Сторона 2
-3: ,
Экстремумы за границей стороны
:
: ,
: , .
Сторона 0-3: ,
Вершины парабол при х=0.
:
:
4. Проверка равновесия пластинки (рис.3.1,б).
Сторона 0-1:
Расстояние до точки приложения :
.
Сторона 1-2:
Расстояние до точки приложения :
Сторона 2-3:
.
Расстояние до точки приложения :
.
Сторона 0-3:
Расстояние до точки приложения :
5. Проверка равновесия пластинки:
Пластинка находится в равновесии.
Рис.3. Графическая часть задачи №2
Задача №3 Расчет тонкой плиты методом конечных элементов
Решение: Построение эпюр изгибающих моментов.
Опорные реакции:
?mD = 0,
RA?4a = qa?3a + q?2a?2a + qa2,
RA = 2qa, ?Yi = 0, RA + RD = 3qa, RD = qa.
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.
1. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.
Участок АВ:
Участок ВС:
Участок СD:
Искомое перемещение
.
2. Определение прогибов. Из условий опирания балки VA = VB = 0. Согласно первому условию Vо = 0, а из второго находим ?о:
,
откуда .
Следовательно, уравнения прогибов и углов поворота имеют вид
, .
Наибольший прогиб возникает в том сечении, где dv/dz = ? = 0, т.е. при z = 2a. Подставив в уравнение прогибов z = 2a, вычислим наибольший прогиб
Vmax = -2Ma2/(3EIx).
прогиб посредине пролета плиты равен Vср = V(1,5a) = -9Ma2/(16EIx) и отличается от наибольшего на 15%. Угол поворота сечения В
?B = ?(3a) = 3Ma/(2EIx).
3. Определение главных напряжений. Напряжения в поперечном сечении определяются по формулам
,
.
Вычисляя ,
,
,
, находим
,
.
Величины главных напряжений
;
; ; .
Направление главного растягивающего напряжения ?1 по отношению к продольной оси плиты z:
; ,
а напряжение ?3 направлено перпендикулярно к ?1
Другие работы по теме:
Сила тяжести Динамометр
Text Graphics Какова цена деления шкалы динамометра, показанного на рисунке? Какова цена деления шкалы динамометра, показанного на рисунке? Graphics
Интерференция света 2 Основные достижения
Text Text Graphics Томас Юнг (1773 — 1829), английский физик, один из создателей волновой оптики. К 14 годам изучил дифференциальное исчисление, многие языки. Изучал медицину, зоологию, математику, филологию, геофизику. Наиболее фундаментальные труды — по физике, в частности по оптике и акустике.
Плоская задача теории упругости
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. Кафедра сопротивления материалов и теории упругости. Расчетно-проектировочная работа
Кинетическая и потенциальная энергия 2
Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ — Джоуль. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.
Основные законы и формулы физики
1АнтиМВХиР v. 950419 2О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы И З А К О Н Ы 0 2Ф И З И К И 3МЕХАНИКА 2Упругие деформации. 1Закон Гука 0: 21 0) при малых деформациях сила упругости пропорциональна абсолютной деформации и направлена противоположно смещению.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Основные законы и формулы физики
1АнтиМВХиР v. 950419 2О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы И З А К О Н Ы 0 2Ф И З И К И 3МЕХАНИКА 2Упругие деформации. 1Закон Гука 0: 21 0) при малых деформациях сила упругости пропорциональна
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Плоская задача теории упругости
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. Кафедра сопротивления материалов и теории упругости. Расчетно-проектировочная работа
Структура и формирование исходных данных, необходимых для расчета параметров технологических схем
СТРУКТУРА И ФОРМИРОВАНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Для определения параметров технологических схем необходимы соответствующие исходные данные, которые могут быть получены при натурных наблюдениях и исследованиях, в лабораторных условиях, из производственного опыта, т.е. с использованием горной графической документации, экспериментальных данных или расчётным путём.
Расчетно-графическое обоснование прямого стержня
Задача 1.1. Расчет прямого ступенчатого стержня Исходные данные: F1, кН F4, кН F6, кН L1, см L2, см L3, см A1, см2 A2, см2 A2, см2 Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений;
Проектирование дорожных одежд нежесткого типа
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Кафедра АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине «Изыскание и проектирование автомобильных дорог»
Испытание материалов на растяжение
Лабораторная работа 3 Тема: Испытание материалов на растяжение. Цель Изучить поведение материала при растяжении до разрушения; получить диаграмму растяжения и установить основные механические характеристики материала образца.
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Биография Огестена Луи Коши
Коши, Огюстен Луи Дата рождения: 21 августа 1789 Место рождения: Париж Дата смерти: 23 мая 1857 (67 лет) Место смерти: Со (О-де-Сен) Страна: Франция Научная сфера:
Курсовая
ВАРИАНТ 58 Задание Cоставить простейшие программы по условиям приведенных ниже задач и записать их на диск. 5.1.Найти площадь сегмента. асчетная формула:
Ктезибий
Введение 1 Изобретения Список литературы Введение Ктезибий, или Ктесибий (греч. Κτησίβιος, годы деятельности 285–222 год до н. э.) — древнегреческий изобретатель и математик, живший в Александрии[1] в Эллинистическом Египте приблизительно в одно время с Героном.
Основные расчетные модели грунтов
Точность прогнозов в механике грунтов в большой степени определяется тем, с какой полнотой в уравнениях состояния отражаются особенности деформирования грунтов.
Людвиг Эдуард Больцман
Людвиг Эдуард Больцман - всемирно известный австрийский физик-теоретик. Им выведен закон распределения газовых молекул по скоростям, вошедший в историю физики как "статистика Больцмана" и положивший начало классической статистической физике.
Пьер Дюгем (Duhem)
Пьер Дюэм, Дюгем (Duhem) (1861 — 1916) — фр. физик-теоретик, философ и историк науки.
Айзерман Марк Аронович
АЙЗЕРМАН Марк Аронович (1913-92), российский ученый в области теории управления, представитель первого поколения кибернетиков в нашей стране, доктор технических наук.
Гаврилов Михаил Александрович
Гаврилов Михаил Александрович (1903-79), российский ученый, стоявший у истоков информатики в нашей стране, в частности технической кибернетики, теории автоматов и теории ЭВМ, член-корреспондент АН СССР (1964)