Вадим Руднев
Ее еще называют символической логикой. Математическая логика - это та же самая Аристотелева силлогистическая логика, но только громоздкие словесные выводы заменены в ней математической символикой. Этим достигается, во-первых, краткость, во-вторых, ясность, в-третьих, точность. Приведем пример. Известный силлогизм. Большая посылка: "Все люди смертны". Малая посылка: "Сократ - человек". И вывод: "Следовательно, Сократ смертен". Мы можем заменить имена "Сократ", "человек" и свойство "быть смертным" буквами, соответственно С, х и у. Слово "все" называется квантором всеобщности - о нем мы скажем ниже. Оно обозначается так называемой гротесковой перевернутой буквой А:
У *
Итак, запишем символически большую посылку: *
У(х)(у), то есть для всех индивидов х соблюдается свойство у - все люди смертны. Теперь запишем символически малую посылку С(х), то есть индивид С обладает свойством х, - Сократ смертен. И вывод: С(у), то есть индивид обладает свойством у. Сократ смертен. Теперь запишем весь силлогизм в виде импликации (логического следования): *
У (х)(у)аС(х)->С(у)
То есть, "если все люди смертны и Сократ человек, то Сократ смертен". Если записывать словами, то надо использовать более 60 символов (букв), а если символически, то нужно всего 12 символов, в 5 раз меньше. Если нужно решать сложную задачу, экономия становится очевидной.
Так или иначе, но только в конце ХIХ в. немецкий логик Готтлоб Фреге сформулировал символическое исчисление, и лишь в начале XХ в. Бертран Рассел и Альфред Уайтхед в трехтомном труде "Principia Mathematica" построили стройную систему математической логики.
В М. л. два типа символов - переменные, которые обозначают объекты, свойства и отношения; и связи, символизирующие логические отношения между предметами и высказываниями. Для наших целей достаточно различать следующие связки:
а - конъюнкция, соединение; читается как союз "и", во многом соответствует ему по смыслу; *
У - дизъюнкция, разделение; читается как союз "или";
-> - импликация, следование; "если... то...";
~ - отрицание; "неверно, что...";
= - эквивалентность; "то же, что и..."
В основе любой логической системы лежат несколько недоказуемых очевидных аксиом, так называемых законов логики. В обычной двузначной логике, то есть в такой логике, высказывания которой имеют два значения (истина и ложь), выделяют четыре основных закона.
1. Закон тождества: р = р; то есть любое высказывание эквивалентно самому себе. Тождество объекта самому себе - вообще исходное начало для любого мышления. Но не во всякой логике это является законом. Например, в контексте алетических модальностей (см. модальности) мы можем сказать: "Возможно, что дождь идет" и "Возможно, что дождь не идет" - и это не будет противоречием. В обычной логике пропозиций предложения "Идет дождь" и "Не идет дождь" будут противоречиями.
2. Закон двойного отрицания: р = ~~р; то есть утверждение эквивалентно его двойному отрицанию. "Дождь идет" = "Наверно, что Дождь не идет".
3. Закон исключенного третьего: *
(р У ~р); то есть либо высказывание истинно, либо оно ложно - третьего не дано (применимость закона исключенного третьего ограничена конечными множества объектов; см. об этом многозначные логики).
4. Закон противоречия: ~(р а ~р); то есть неверно, что высказывание может быть одновременно истинным и ложным.
Следует ввести еще два понятия, одно из которых мы уже ввели в самом начале статьи. До сих пор мы говорили о высказывании как о чем-то нерасчлененном, но у высказывания есть субъект и предикат. Часть М. л., занимающаяся отношениями между субъектом и предикатом высказываний, называется теорией квантификации. Свойство или отношение, которое выражает предикат, может быть присуще всем субъектам данного множества или только некоторым из них. Например, высказывание "Собаки бывают черными" означает, что некоторое количество собак из всего множества собак имеет свойство "быть черным". Символ, на который мы заменим слово "некоторые", называется квантором существования, или экзистенциальным квантором, и обозначается гротесковой обращенной буквой *
Е 3 *
3 (х)(у) - некоторые собаки черные.
Но существуют свойства, характерные для всех собак. Например, у всех собак (разумеется, живых) есть голова. Символ, на который мы поменяем слово "все", это уже известный нам квантор всеобщности, или универсальный квантор: *
У(х)(у) - все собаки по природе обладают головой.
В заключение сформулируем основной закон квантифицированной логики: * У(х)(у) ->3 (х,у)
То есть если данным свойством обладают все объекты, то им обладают и некоторые объекты. Кажущаяся тривиальность законов логики оправдывается дальнейшим ходом мышления. Как писал Людвиг Витгенштейн, "Если вы знаете, что у вас есть руки, дальнейшее гарантируется".
Список литературы
Клини С. Математическая логика. - М., 1974.
Черч А. Введение в математическую логику. - М., 1959.
Другие работы по теме:
Сущность неоклассической экономической теории
Неоклассическая экономическая теория возникла в 1870-е годы. Представители: Карл Менгер, Фридрих фон Визер, Эйген фон Бём-Баверк (австрийская школа), У. С. Джевонс и Л. Вальрас (математическая школа), Дж. Б. Кларк (американская школа), А. Маршалл и А. Пигу (кембриджская школа).
Структура философского знания
Характеристика и структура внутренней специализации философии, сущность ее основополагающих разделов: онтология, гносеология, логика, этика, эстетика и история философии. Роль и значение законов и принципов в становлении философского знания как системы.
Логика
Предмет логики, ее значение и виды. Особенности определения истинности сложного суждения по таблице истинности. Построение фигуры категорического силлогизма на основании посылки: "Все люди – смертны". Путь формирования логической культуры мышления.
Многозначные логики
Обычная Аристотелева логика называется двузначной, потому что ее высказывания, имеют два значения, то есть они могут быть либо истинными, либо ложными. Однако мы знаем, что в реальности далеко не всегда можно определить точно истинность или ложность.
Диалектическая логика
Диалектическая логика (от греч. dialegomai — веду беседу) — филос. теория, пытавшаяся выявить, систематизировать и обосновать в качестве универсальных основные особенности мышления коллективистического общества.
Основы логики
Представление отношений между объемами понятий с помощью кругов Эйлера. Выполнение операций обобщения и ограничения терминов. Установление определения и деления представленных высказываний. Способы обращения, превращения и противопоставления предикату.
Сущность формальной и математической логики
Сущность логики, отражение закономерности движения мышления к истине. Понятие, суждение и умозаключение - основные типы логических форм. Отражение объективной реальности в законах логики. Отличительные признаки формальной и математической логики.
Васильев Николай Александрович
Васильев Николай Александрович- логик, психолог, философ. Профессор Казанского университета с 1918. Предвосхитил конструктивизм в логике /неуниверсальность закона исключенного третьего/.
Экзамен по физике для поступления в Бауманскую школу
Физико-математическая школа №1180 при МГТУ им.Н.Э.Баумана типовой вариант вступительного экзамена по физике 1. Дайте определение средней скорости движения точки (по перемещению). Напишите соответствующее аналитическое выражение и укажите единицы входящих в него физических величин.
контр
Учебный график 2011-2012 уч. год Наименование дисциплин Форма контроля Кол-во часов Преподаватель Примечание зачет экзамен реферат контр.раб курс раб.
Логика
Подобрать имена, отношения которых можно изобразить кругами Эйлера. Логический анализ высказываний. Могут ли быть одновременно ложными высказывания в предложенных парах. Сделать логический вывод и разобрать полученный силлогизм. Обоснование тезиса.
Математическая модель распределения информации
1 Математическая модель распределения информации Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.
Алгебра логики
Алгебра логики. Возникновение логики. Булевы функции. Преобразование выражений, состоящих из булевых функций. Нахождение исходного выражения по его значениям. Применение в вычислительной технике и информатике.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Типовой расчет по ЭМММ
Типовой расчет Решение задач по дисциплине ЭМММ Вариант №23 Выполнил: Проверил: Екатеринбург 2009 Математическая модель ЗЛП Мат. модель ЗЛП называется стандартной, если система ограничений представлена в виде неравенств, а функция минимизируется или максимизируется
Построение математических моделей 2
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Кафедра автоматизированных систем управления Курсовая работа по дисциплине «Теория принятия решений»
Предмет логики. Основные логические формы
Логика происходит от греч. logos, что одновременно означает речь, слово, высказывание, понятие. Основатель логики Аристотель чаще всего употреблял термин "логос" в смысле "определения" или "разумности вообще".
Бинарные отношения
Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n-арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.
Возникновение и развитие символической логики
Возникновение и развитие символической логики связано с работами Г.Фреге (1848–1925) и Ч.С.Пирса (1839–1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании.
Логика как самостоятельная наука
Введение Еще в древности люди знали, что достоверность выводных знаний зависит не только от истинности исходных посылок, но и от способа их соединения. Для того, чтобы убеждать, надо не только хорошо говорить, но и владеть различными приемами построения умозаключений и доказательств.
Тривиум
Введение 1 Состав 1.1 Грамматика 1.2 Риторика 1.3 Логика Список литературы Введение Тривиум, или тривий (лат. trivium — перекрёсток трёх дорог) — первая ступень средневекового образования, основа дальнейшего обучения. Предшествовала квадривиуму и состояла из трёх (отсюда название) дисциплин — грамматики, диалектики (логики) и риторики.
Компьютерная модель СГ в координатах d, q, 0 в режиме ХХ
Простейшая компьютерная модель турбоагрегата, исследование на ней динамической устойчивости. Создание компьютерной модели СГ в координатах d, q, 0, получение осциллограммы токов в обмотках статора и ротора и напряжения в обмотках статора в режиме ХХ.
Решение финансовых задач при помощи Microsoft Excel
Выбор проектов из претендующих на получение кредита в банке. Учет ресурса банка для соответствующих периодов с целью максимизации прибыли. Оценка деятельности продавцов в различных торговых точках. Создние форм для ввода условий задач в Microsoft Excel.