МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Вариант №2
Брянск - 2009
ЗАДАЧА 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Корма Питат. вещества |
Количество питательных веществ в 1 кг корма | |
| 1 | 2 | |
А В |
2 2 |
1 4 |
| Цена 1 кг корма, т.руб. | 0,2 | 0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х 1 и х 2 . Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:
Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1 ).
Область допустимых решений задачи
Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:
Для определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума.
В нашей задаче - это точка В , образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II . Ее координаты определяются решением системы
уравнений этих прямых:
откуда x
1
*=2;x
2
*=2 и 
.
Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.
Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно
.
|
рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования
ЗАДАЧА 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
| Тип сырья | Нормы расхода сырья на одно изделие | Запасы сырья |
|||
| А | Б | В | Г | ||
I II III |
1 0 4 |
0 1 2 |
2 3 0 |
1 2 4 |
180 210 800 |
| Цена изделия | 9 | 6 | 4 | 7 | |
Требуется:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.
Обозначим количество выпускаемых изделий х1 , х2 , х3 , х4 .
Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3.
Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.
Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения » табличного процессора EXCEL (меню «Сервис »):
|
р ис. 2 - Надстройка «Поиск решения»
Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х *=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f (X *)=2115 (прил. 1 ).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x 1 *=95 изделий А , x 2 *=210 изделий Б и не производить изделия В (x 3 *=0) и Г (х4 *=0).
2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I , II , III как y 1 , y 2 , y 3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости » (прил. 2 ) приводятся теневые цены ресурсов: y 1 *=0; y 2 *=1,5;y 3 *=2,25.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f (X *). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.
3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:
Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x 3 *=0) и (х4 *=0).
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х *=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y 2 * =1,5 и y 3 * =2,25.
Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу - на 2,25 руб.
Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y 1 *=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости » видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение »и«Допустимое уменьшение » правых частей ограничений в прил. 2 ), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:
При этом «новая» наибольшая выручка составит:
руб.
Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б .
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:
Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.
ЗАДАЧА 3
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y ( t ) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y ( t ) этого показателя приведен ниже в таблице:
| t | yt |
| 1 | 43 |
| 2 | 47 |
| 3 | 50 |
| 4 | 48 |
| 5 | 54 |
| 6 | 57 |
| 7 | 61 |
| 8 | 59 |
| 9 | 65 |
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель 
,
параметры которой оценить МНК (
- расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Построить адаптивную модель Брауна 
с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика
,
где 
- стандартное отклонение уровней ряда.
Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy =7,29 млн. руб. Расчет значений t для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n =9 составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений lt не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.
2. Линейную трендовую модель 
строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия
»:
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты »):
.
Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.
Коэффициент детерминации уравнения R
2
»0,941 превышает критическое значение 
для a=0,05 и n
=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значениеR
2
показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью.
3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.
1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а 0 и а 1 линейной модели
.
Получаем начальные значения параметров модели Брауна 
и 
, которые соответствуют моменту времени t
=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК
» и «НАКЛОН
» соответственно.
2) Находим прогноз на первый шаг (t =1):
.
3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:
.
4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания 
=0,4 по формулам:
;
,
где 
- коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания (=
); 
- отклонение (остаточная компонента).
По условию =0,4, следовательно значение b равно:
.
Получим:
;
,
5) По модели со скорректированными параметрами a 0( t ) и a 1( t ) находим прогноз на следующий момент времени:
.
Для t =2:
.
6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:
8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3:
;
9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:
Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,4 и =0,7, в первом случае 
=4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.
4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса 
, остатки 
и их график были получены вEXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА
» в прил. 4
).
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p =4.
Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n =9 определяется по формуле
Так как 
, остатки признаются случайными.
Проверим независимость остатков с помощью критерияДарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции).Для расчетаd ‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
d ‑статистика имеет значение (см. прил. 4 ):
;
;
Критические значения d ‑статистики для a=0,05 и n =9 составляют: d 1 =0,82; d 2 =1,32. Так как выполняется условие
,
то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4 ):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n =9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: 
(определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ
»; см. прил. 4
). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R /S -критерия, определяемого по формуле
,
где e
max
; e
min
- наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС
» и «МИН
»); 
- стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН
»; см. прил. 4
).
Критические границы R / S -критерия для a=0,05 и n =9 имеют значения: (R /S )1 =2,7 и (R /S )2 =3,7. Так как R /S -критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим адекватность построенной модели Брауна: с параметром сглаживания 
(см. таблица 2
):
Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна
| Проверяемое свойство | Используемые статистики | Граница | Вывод | ||
| наименование | значение | нижняя | верхняя | ||
| Независимость | d –критерий Дарбина-Уотсона r (1) -коэффициент автокорреляции |
d =2,79
-0,44 |
0,82 | 1,32 0,666 |
Нельзя сделать вывод по этому критерию r (1) <0,666 адекватна |
| Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 6>2 | 2 | адекватна | |
| Нормальность | RS-критерий | R/S= |
2,7 | 3,7 | неадекватна |
| Мат.ожидание≈0 | t-статистика Стьюдента |   |
2,306 | адекватна | |
| Вывод: модель статистически неадекватна | |||||
5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
%
Значение E отн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.
Оценим точность модели Брауна с параметром сглаживания 
:
Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.
6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k =1):
1) Точечный прогноз
:
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.
2) Интервальный прогноз
с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3 :
млн. руб.,
где t таб =1,083 - табличное значение t -критерия Стьюдента для доверительной вероятности g=0,7.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.
Таблица 3
| t | yt |  |
|
| 1 | 43 | 16 | |
| 2 | 47 | 9 | |
| 3 | 50 | 4 | |
| 4 | 48 | 1 | |
| 5 | 54 | 0 | |
| 6 | 57 | 1 | |
| 7 | 61 | 4 | |
| 8 | 59 | 9 | |
| 9 | 65 | 16 | |
| Среднее | 5 | - | 60 |
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k =2):
1) Точечный прогноз:
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью g=0,7:
млн. руб.,
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.
Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t =n =9), используются для построения прогноза спроса по формуле:
.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k =1):
млн. руб.
С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k =2):
млн. руб.
Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.
7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма » EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t » и «yt » вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма… »:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда… » ® «Линейная »), и устанавливаем «Прогноз » вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R 2 .