Пошукова робота на тему:
Інтерполяція.
План
Інтерполяція
Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційна формула Ньютона
13.16. Інтерполювання функцій
Нехай відомі числові значення деякої величини , які відповідають числовим значенням величини /вузли інтерполювання /. Вважаючи функцією від , складемо таблицю із цих чисел:
Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.
Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень за табличних значень . Звичайно, за беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).
Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.
13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа
Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:
Для знаходження невизначених коефіцієнтів будемо покладати в цій рівності по черзі вимагаючи при цьому, щоб
Тоді одержуємо
Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:
Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень маємо відповідні табличні значення .
13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона
У випадку, коли вузли інтерполювання утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)
( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .
Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:
Скінченою різницею другого порядку величини називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:
Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.
Із означень одержуємо:
Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу є біноміальними, а весь вираз нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому
У цій формулі є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення від , тобто
Якщо будемо обчислювати нетабличне значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для , то величина буде такою самою функцією від , якою функцією від раніше було ( за всіх табличних переходить в ).
Замінивши на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:
У розгорнутому вигляді є многочлен степеня відносно . За всіх табличних значень аргументу дорівнює відповідному табличному значенню функції , тобто .
Зауваження. Якщо функція лінійна або якщо розміщення на координатній площині точок наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення та . Із рівняння прямої
одержимо
Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.
Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.
Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:
Оскільки
тощо,
то
тощо.
Для знаходження похідних функцій за табличних значень аргументу покладено і тому
тощо.
Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що
Другие работы по теме:
Використання комп’ютерів у фізиці
Значення комп’ютерів у фізиці, природа чисельного моделювання. Метод Ейлера розв’язування диференціального рівняння на прикладі закону теплопровідності Ньютона.Задача Кеплера. Хвильові явища: Фур’є аналіз, зв’язані осцилятори, інтерференція і дифракція.
Гідродинамічне глісування
Перші гідродинамічні теорії глісування, їх характеристики. Режими глісування гідролітаків. Досягнення високих швидкостей суден шляхом застосування підводних крил. Теорії дослідження високошвидкісних суден. Розподіл енергії та використання енергії хвиль.
Оцінка ефективності використання рухомого складу
Задачі статистичної оцінки виконання плану вантажних перевезень. Методи збору інформації, правила розробки формуляру. Визначення відносних, середніх величин та показників варіації. Встановлення показників ефективності використання рухомого складу АТП.
Лекции по статистике
Лектор : Мазуренко Валентина Петрівна. Умови роботи 9 тем. 6 контрольних. Можливі автомати "5" і "4". Відвідування семінарів обов'язкове. Лекцій – не обов'язкове (бажане).
Іудаїзм в Україні
Іудаїзм — національна релігія євреїв. Поширення світоглядних уявлень, догм і ритуалів іудаїзму в інших світових релігіях - християнстві та ісламі. Головні догмати іудаїзму, святі книги й іудейська обрядовість. Брахманізм як основа розвитку іудаїзму.
Шизофренічний світ
Вміння психіатра розуміти та відчувати світ переживань хворого. Основні течії метафізичної тематики психофізичного світу. Головні риси шизофренічної космології. Есхатологічні настрої хворих. Прояв героїзму, смутку, страху та інших негативних почуттів.
Численные методы
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Інтерполювання функцій
Чисельне розв’язання прикладних задач. Аналіз ускладнених моделей. Інтерполяційні формули Ньютона. Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона. Інтерполяційні формули Гауса, формула Стірлінга. Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів.
Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Лінійні, квадратичні та кубічні В-сплайни. Отримання форми запису сплайнів, виведення формул для розрахунків інтерполяційних задач. Застосування кубічних В-сплайнів в математичній теорії і обчислювальних задачах. Практичність вивчення кубічних В-сплайнів.
Аналіз структурних властивостей зображень
Мета і методи аналізу й автоматичної обробки зображень. Сигнали, простори сигналів і системи. Гармонійне коливання, як приклад найпростішого періодичного сигналу. Імпульсний відгук і постановка задачі про згортку. Поняття одновимірного перетворення Фур'є.
Методи згладжування та корекції зображень
Згладжування зображень, функція градієнта. Підкреслення контурів низькочастотним оператором. Корекція структурних властивостей зображення. Урахування шумових властивостей структури оригіналу. Геометричні перетворення в системі поелементної обробки.
Технологічний процес виробництва РЕА та його автоматизація
Виробництво радіоелектронної апаратури, підвищення її ефективності та якості. Автоматизований візуальний контроль і обробка друкованих плат. Універсальна система автоматизованого проектування для програм координатної обробки всіх моделей верстатів.
Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції
Постановка задачі інтерполяції. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного многочлена. Метод Лагранжа, задача зворотної інтерполяції. Інтерполяційна формула Бесселя. Вибір оптимального алгоритму. Приклад програми обчислення значення функції.
Дослідження методів інтерполяції
Методи інтерполяції: ітераційний та метод розподілених різниць. Інтерполяційна формула Лагранжа. Алгоритмізація та реалізація методів на ЕОМ в середовищі мови програмування Turbo Pascal 7.0. Аналіз результатів моделювання, інструкція користувачеві.
Використання OpenGL. Моделювання вогню
Дослідження особливостей роботи графічної бібліотеки OpenGL з метою використання її в комп'ютерному моделюванні. Розгляд синтаксису команд та програмного коду команд. Методи максимально реалістичного моделювання горіння вогню. Лістинг програми на мові С.
Робота з пакетом MathCAD 2000 Pro
Застосовування графічних методів розв’язку рівнянь та нерівностей. Проведення інтегрування та диференціюванні за допомогою засобів MathCAD. Змінення вигляду графіків у програмі. Освоєння методів аналітичних обрахунків та графічного відображення даних.
Принтери та сканери
Технології друку. Як працюють принтери. Лазерні принтери. Світлодіодні принтери. Струменеві принтери. Термічний струминний друк. П'єзоелектричний струминний друк. Портативні принтери. Матричні прінтери. Сканери. Високе розширення. Види сканерів.
Дослідження методів інтерполяції
Міністерство освіти та науки України Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики та електроніки комп’ютерних систем управління
Пристрої відображення інформації
РЕФЕРАТ На тему « Пристрої відображення інформації 1. Класифікація та характеристики пристроїв відображення Пристрої відображення інформації (ПВІ) широко використовуються для виведення алфавітно-цифрової та графічної інформації, відображення довідкових даних по об'єктах контролю та управління технологічними процесами.
Інтерполяція функції в прямокутнику
Зміст Вступ 3 § 1. Постановка задачі 4 § 2. Подвійні різниці для функції двох змінних 7 § 3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних 9
Геодезичний чемпіонат
Міністерство аграрної політики України Петрівський державний аграрний технікум Методична розробка Геодезичний чемпіонат Відкрите заняття узагальнюючого семінару у формі вікторини
Ряди динаміки 2
Ряди динаміки План Статистичні ряди динаміки та їх види. Показники для характеристики ряду динаміки. Основні прийоми аналізу та перетворення рядів динаміки.
Сканери їх будова та робота з ними
Курсова робота на тему: “Сканери їх будова та робота з ними” План Вступ Історія.................................................................................................
Огляд сучасних відеосистем для РС
Пошукова робота з інформатики ОГЛЯД СУЧАСНИХ ВІДЕОСИСТЕМ ДЛЯ РС. З погляду самої бурхливо галузі комп'ютерної індустрії, що розвивається - відеосистем, цей рік став десь навіть епохальним. Навесні була поява нового покоління відеокарт від 3dfx (лінійка Voodoo3), від Matrox (сімейство G400), від S3 (ряд Savage4) і, звичайно, ціла безліч чіукова робота з інформатики ипсетів від NVIDIA - Riva TNT2, що являють собою поліпшену і значно більш швидку модель чіпа Riva TNT.
Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі
Вступ Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції.