ЗНО математика 2008 с ответами

ВІДПОВІДІ НА ЗАВДАННЯ ТЕСТУ З МАТЕМАТИКИ
(Затверджені експертною комісією Українського центру оцінювання якості освіти
29 квітня 2008 року)
Частина 1
Завдання 1-25 мають по п’ять варіантів відповіді, з яких лише
ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ.
1. Завдання:Знайдіть натуральне, одноцифрове число N, якщо відомо, що сума 510+N ділиться на 9 без остачі. Відповідь:3Бевз Г.П. Математика: 6 кл. : Підручник для загальноосвіт. навч. закл. /Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. ? К.: Генеза, 2006 ? С. 15.
4
2. Завдання:Визначте кількість усіх дробів із знаменником 28, які більші за , але менші
7
3
від .
4
Відповідь: чотири
Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Математика: Підручник для 6 класу. ? Х.: Гімназія, 2006 ? С. 51.
3. Завдання: Під час закладання нового парку 25% його площі відвели під посадку кленів,
50% площі, що залишилася, ? під посадку дубів, а решту площі ? під газони. Вкажіть,
на якій із діаграм правильно показано розподіл посадок.
Відповідь:
Янченко Галина, Кравчук Василь. Математика: Підручник для 6 класу. ? Тернопіль: Підручники і посібники, 2006 ? С.149
х 2 + 64
4.Завдання: Розв’яжіть нерівність > 0 .
х − 5
Відповідь: ( 5 ; + ∞ )
Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл.загальноосвіт. навч. закладів. ? К.: Освіта, 2006 ? С. 21. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2003. − С. 362.
GMm
5.Завдання: Якщо F = і R > 0 , то R =
R 2
GMm
Відповідь:
F
Бевз Г.П. Алгебра: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. ? К.: Освіта, 2004 ? С. 55. 6.
Завдання:В уривку художнього твору 47 слів мають різну кількість букв. Укажіть моду
(мода − це те значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.
Відповідь: 5
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2005. – С. 329. Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. –К.: Освіта, 2006. − С. 92.
7. Завдання: Укажіть правильну нерівність, якщо a = 5 2 ; b = ; 7 c = 51 .
Відповідь:
b a c < <
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004 – С.262.
π π
8.Завдання: Знайдіть значення виразу cos 4 − sin 4 .
12 12
3
Відповідь:
2
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. − С. 96.
9.Завдання: Знайдіть найменший додатний період функції у = 2 ctg ( 3 x ) .
π
Відповідь:
3
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. − С. 48.
10. Завдання:На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції y = f x ( ) .
Укажіть функцію f x ( ) .
Відповідь: f ( x ) = 3 − x
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004. − С.18.
11. Завдання:Розв’яжіть рівняння sin x − 3 cos x = 0 .
π
Відповідь: + π n , n ∈ Z
3
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004. − С.173.
12. Завдання:Обчисліть log ab , якщо log b = 7 .
a a
Відповідь:4
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. − С.224.
13. Завдання:Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів,
чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Відповідь:28
Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 10 − 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004. − С.183.
14. Завдання:Розв’яжіть нерівність log 5 < log x .
0 , 5 0 , 5
Відповідь:(0; 5)
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. − 234 с.
15. Завдання:Укажіть корінь рівняння х 2 − х 6 = 9 , який належить проміжку ( − 2 ; 1 ] .
Відповідь: 3 − 3 2
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2006. − С.5.
16. Завдання:Розв’яжіть рівняння: 3 x = 2 3 .
6
Відповідь: x = − 0,5
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004. − С.338.
17. Завдання:Укажіть область значень функції у = х 2 + 9 − 6 .
Відповідь: [ − ; 3 +∞ ) .
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. − §1.
2
18. Завдання:На рисунку зображено графіки функцій g ( x ) = 4 − x і f ( x ) = x + 8 .
2
Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність f ( x ) ≤ g ( x ) .
Відповідь: [ − 8 ; 0 ] .
19.
Завдання:На рисунку зображено графік функції y = f (x ) . Укажіть формулу для
обчислення площі зафарбованої фігури.
0 1
Відповідь: ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
− 1 0
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2006. − С. 143. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2005. – С. 209.
9 + а 2 − 6 а
20. Завдання: Знайдіть значення виразу , якщо а = 2 , 5 .
а − 3
Відповідь: − 1
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. −С.139.
2
21. Завдання:Тіло рухається прямолінійно за законом s ( t ) = t 3 − 2 t 2 + 4 t (час t
3
вимірюється в секундах, шлях ? в метрах). Визначте прискорення його руху в момент s
t = 10 c .
Відповідь:36 м / c 2
Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 10 − 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004. − С.138-139.
22.
Завдання:У трикутнику АВС ∠ А = 59 ° , ∠ В = 62 ° . Із вершин цих кутів проведено
висоти, що перетинаються в точці О. Визначте величину кута АОВ.
Відповідь: 121 ° .
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. загально освіт. навч закл.-К.: Школяр, 2004. – С.53
23.
Завдання:Сторони трикутника, одна з яких на 8 см більша за другу, утворюють
кут 120 ° , а довжина третьої сторони дорівнює 28 см. Знайдіть периметр
трикутника.
Відповідь:60 см .
Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 7 − 9 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004. − С.194-195
24. Завдання:На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох
квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких ? 3см і 6 см. Визначте об’єм цього тіла.
Відповідь:108 см 3 .
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед.школ.-К.: Освіта, 1994. – С.100 25.
Завдання:У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали
металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.
Відповідь: 1:2
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед.школ.-К.: Освіта,1994. – С.113, 115.
ЧАСТИНА 2
2
26. Завдання:Обчисліть 2 13 cos( arctg ) .
3
Відповідь:6
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004. − С.153.
27. Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої
b = 3 5 ⋅ − п .
п
Відповідь:2,5
Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл.загально освіт. навчал. закл. К.: Освіта, 2006. – С.74. 28.
Завдання:Розв’яжіть рівняння х − 5 + 2 х 2 − 14 х + 13 = 0 .
Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.
Відповідь:
−2.
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002. −С.158.
29.
Завдання:Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому
розчині становить 0,25, а в другому − 0,4. На скільки більше треба взяти кілограмів
одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою
50 кілограмів, концентрація солі в якому − 0,34.
Відповідь:10.
Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл.загально освіт. навчал. закл. К.: Освіта, 2006. – С.94-98. 30.
Завдання:У коробці 80 цукерок, з яких 44 − з чорного шоколаду, а решта − з
білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
Відповідь:0,45.
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2006. − С.230.
31. Завдання:Використовуючи графік рівняння у = 1 − х − 12 (див. рисунок), знайдіть
? ? x − 12 + y = 1,
усі значення параметра а, при яких система ? має єдиний розв’язок.
? ? ( x a − ) 2 + y 2 = 4
У відповідь запишіть їх суму.
Відповідь:48.
Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл.загально освіт. навчал. закл. К.: Освіта, 2006. – С.49. 32.
r r r
Завдання:Визначте кут між векторами a ρ ρ ρ і b c + у градусах, якщо відомо, що
а ( 2 ; 2 ) , ) в ( 2 ; 4 і с ( − 2 ; − 6 ) .
Відповідь:135.
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. загально освіт. навч закл.- К.: Школяр,2004. – С.143, 149
33.
Завдання:На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі
повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.
Відповідь:1,4
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед.школ.-К.: Освіта,1994. – С.117.
ЧАСТИНА ІІІ
Розв’язання завдань 34-36 повинно мати обґрунтування. Запишіть послідовні
логічні дії та пояснення, спираюись на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань схемами графіками, таблицями.
34.
Завдання:У правильній трикутній піраміді SABCз основою АВС бічне ребро вдвічі
більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер АСі ВС відповідно. Через пряму KL, паралельно до ребра SС, проведено площину
α . Знайдіть кут ? між
площиною α і площиною (АВС).
Відповідь: ? = arccos 1 .
2 3
Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед.школ.-К.: Освіта,1994. – С.12, 50.
? ( x + 3)( x − 2)
? ≤ 1,
35. Завдання:Розв’яжіть систему нерівностей ? x 2 − 1
? ? 4 9 − x 2 ≤ 0, 25 x − 3 .
Відповідь: x ∈ − − ∪ [ 3; 1) {3} .
Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.−Х.: Світ дитинства, 2004. − С.232, 308, 351. 36.
Завдання:Задано функцію f x ( ) 3 = x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 .
1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції. 2. Побудуйте ескіз графіка функції
f x ( ) .
3. Знайдіть кількість коренів рівняння f x ( ) = a , де a R ∈ , залежно від значення
параметра а.
Відповідь: 3. Якщо a ∈ −∞ − ) ( ; 32 рівняння не має коренів;
якщо a = − 32 рівняння має один корінь;
якщо a ∈ − ( 32; 5) (0; − ∪ +∞ ) рівняння має два кореня;
якщо a = − 5 та при a = рівняння має три кореня; 0
якщо a ∈ − ( 5;0) рівняння має чотири кореня.
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2006. − С.112.