Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет
Имени Н.И. Лобачевского
Факультет ВМК
Разложение в ряды Тейлора
отчёт по дисциплине:
Информатика и программирование
Выполнила:
Студентка Репина Инна Сергеевна, (в/о)
Проверила:
Нижний Новгород
2006
Содержание
Введение……………………………………………………….. стр. 3
Постановка задачи стр. 5
Руководство пользователя стр. 6
Руководство программиста стр. 7
Заключение стр. 8
Список литературы стр. 10
Приложение стр. 11
Введение
Ряд Тейлора – степенной ряд вида:
, (1)
где f (x) - функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а:
(2)
(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность Rn (x) = f (x) - Sn (x), где Sn (x) - сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т. р. Формула (2) справедлива, если . Т. р. можно представить в виде
,
применимом и к функциям многих переменных.
При а = 0 разложение функции в Т. р. принимает вид:
,
в частности:
(3)
(4)
(5)
(6)
.(7)
Ряд (3), являющийся обобщением на случай дробных и отрицательных показателей формулы бинома Ньютона, сходится: при -1< х < 1, если m < -1; при -1< x Ј 1, если -1< m < 0; при -1 Ј x Ј 1, если m > 0. Ряды (4), (5) и (6) сходятся при любых значениях х, ряд (7) сходится при -1< x Ј 1.
Функция f (z) комплексного переменного z, регулярная в точке а, раскладывается в Т. р. по степеням z - а внутри круга с центром в точке я и с радиусом, равным расстоянию от а до ближайшей особой точки функции f (z). Вне этого круга Т. р. расходится, поведение же его на границе круга сходимости может быть весьма сложным. Радиус круга сходимости выражается через коэффициенты Т. р.
Т. р. является мощным аппаратом для исследования функций и для приближённых вычислений. Пэтому данная работа посвящена именно ему.
Постановка задачи
Задача заключается в том, чтобы посчитать через ряд Тейлора функцию и сравнить её значение с значением стандартной функции в паскале.
Предлагается рассмотреть три функции: sin, cos и exp.
Для каждой из них существует разложение в ряд Тейлора.
Разложения:
1.
2.
3.
Бесконечно малыми пренебрежем.
Руководство пользователя
Запускаем программу.
На экране появляется главное меню:
1 – sin x
2 – cos x
3 – exp x
4 – Выход
Выбираем функцию: синус, косинус или экспонент.
Вводим аргумент.
Вводим количество слагаемых.
Получаем результат и точность в вычислении.
Примечание
Под точностью понимается количество членов ряда.
Г
лавное меню
Руководство программиста
В программе используются переменные процедурного типа.
Точнее, мы присваиваем переменной процедуру, проверяем корректность заданного параметра и потом с помощью переменной процедурного типа вычисляем пошагово в цикле очередной член ряда и прибавляем его к сумме.
В программе функциям передаются следующие параметры: аргумент, точность вычислений (число членов ряда) и переменная процедурного типа, указывающая на функцию, которая возвращает новый член ряда. Функции вычисляют новый член ряда на основе аргумента и номера члена.
В функции не передаётся предыдущий член ряда, поскольку результат выполнения этих функций домножается на предыдущий член ряда.
Заключение
При большом количестве членов ряда (начиная с 10-14 для разных рядов) погрешность в вычислениях становится настолько мала, что иногда округляется до нуля. При стремлении числа слагаемых в бесконечность погрешность стремится к нулю. В результате мы получаем корректный результат при большем количестве членов ряда.
В результате данной работы была написана программа и были проведены эксперементы, результатами которых явилось:
S
in x
Cos x
Exp X
Список литературы
Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа»
В.Г. Абрамов, Н.П. Трифонов, Г.Н. Трифонова «Введение в язык Паскаль».
Приложение
program teylor;
uses
SysUtils;
var a,x,sum: real;
n,i,answ: integer;
begin
writeln ('Viberite funkciyu');
writeln ('1-sinx');
writeln ('2-cosx');
writeln ('3-expx');
writeln ('4-Vihod');
readln (answ);
writeln ('Vvedite argument i kolichestvo slagaemih');
readln (x,n);
case answ of
1: begin
a:=x;
sum:=a;
for i:=1 to n do
begin
a:=a*(-1)*x*x/(2*i*(2*i+1));
sum:=sum+a;
writeln (i, sum);
end;
writeln ('Pogreshnost', abs(sin(x)-sum));
end;
2: begin
a:=1;
sum:=1;
for i:=1 to n do
begin
a:=a*(-1)*x*x/((2*i)*(2*i-1));
sum:=sum+a;
writeln (i, sum);
end;
writeln ('Pogreshnost', abs(cos(x)-sum));
end;
3: begin
a:=1;
sum:=1;
for i:=1 to n do
begin
a:=a*x/i;
sum:=sum+a;
writeln (i, sum);
end;
writeln ('Pogreshnost', abs(exp(x)-sum));
end;
end{case};
readln;
end.
– 11 –
Другие работы по теме:
Теорема тейлора
Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд). Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
«БиномНьютон а»
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
Теории деформационного упрочнения монокристаллов
Среди многих неясных вопросов в проблеме пластичности монокристаллов вопрос о природе деформационного упрочнения, которое состоит в увеличении сопротивляемости кристалла пластической деформации при активном нагружении, является одним из самых трудных. По современным представлениям физики пластичности основная причина упрочнения - затруднение движения дислокаций по кристаллу вследствие увеличения их количества в кристалле и связанного с этим усиления взаимодействия дислокаций друг с другом.
Основные труды Ф. Тейлора
Первый крупный шаг к рассмотрению менеджмента как науки управления был сделан американским инженером Ф. Тейлором (1856-1915), который возглавил движение научного управления. Областью профессиональных интересов стала проблема роста производительности труда в организации.
Математический анализ
Интерполяция многочленами. Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона. Сплайн-аппроксимация. Метод наименьших квадратов.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Числовые ряды 3
Числовые ряды Основные понятия Числовым рядом называется выражение вида – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда общим членом
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Основные понятия математического анализа
1. Определение неопред интеграла Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.
курсовые
Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.
Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
Полиномы Чебышева
Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
Разложение функций. Теория вероятностей
Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
Применение производной при нахождении предела
Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
Основные понятия математического анализа
Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
Буря 2
Автор: Языков Н.М. Громадные тучи нависли широко Над морем и скрыли блистательный день. И в синюю бездну спустилась глубоко И в ней улеглася тяжелая тень; Но бездна морская уже негодует, Ей хочется света, и ропщет она, И скоро, могучая, встанет, грозна, Пространно и громко она забушует. Великую силу уже подымая, Полки она строит из водных громад, И вал-великан, головою качая, Становится в ряд, и ряды говорят; И вот, свои смуглые лица нахмуря И белые гребни колебля, они Идут.
Языги
(язиги) — название одного из кочевых сарматских племён, создавшего племенной союз и расселившегося во II веке до н. э. в Северном Приазовье. У языгов происходило разложение родового строя и начался процесс классообразования.
Тейлор, Закари
За́кари (Захария) Те́йлор (англ. Zachary Taylor, 1784—1850), 12-й американский президент, крупный военачальник. Второй президент США, не занимавший до въезда в Белый дом никакого другого государственного поста (первым был основатель государства Джордж Вашингтон). Тейлор был также последним президентом-южанином, избранным до Вудро Вильсона в 1912 г.
Президентские выборы в США 1848
Президентские выборы 1848 года проходили 7 ноября. Президент Джеймс Полк не выставил свою кандидатуру на второй срок из-за проблем со здоровьем (он умер через 4 месяца после выборов). Представитель партии вигов Закари Тейлор одержал победу над кандидатом от Демократической партии Льюисом Кэссом. Он стал вторым и последним президентом от Вигов.
Уоррен, Минни
Ха́лда Пирс Уо́ррен Бамп (англ. Huldah Pierce Warren Bump; 2 июня 1849, Мидлборо (англ.)русск., Массачусетс, США — 23 июля 1878, Мидлборо, Массачусетс, США[1]), более известная как
Мак-Лоуз, Лафайет
Мак-Лоуз, Лафайет Лафайет Мак-Лоуз (англ. Lafayette McLaws; 15 января 1821 — 24 июля 1897) — американский военачальник, офицер армии США и генерал армии Конфедерации во время гражданской войны в Америке. Один из известных и талантливых командиров дивизионного уровня.
Фредерик Уинслоу Тейлор
родился 20 марта 1856 года в Германтауне, Пенсильвания, в семье адвоката. Получил образование во Франции и Германии, затем – в академии Ф.Экстера, Нью-Хэмпшир. В 1874 году окончил Гарвардский юридический колледж, но из-за проблем со зрением не смог продолжить образование и устроился на работу рабочим пресса в промышленные мастерские гидравлического завода в Филадельфии.
Ньюэлл, Эдмунд
Э́дмунд Нью́элл (англ. Edmund Newell; 27 июля 1857, Чикаго, Иллинойс, США — 23 декабря 1915, Лондон, Великобритания), более известный как
Символьные вычисления
Символьные переменные и функции являются как объекты класса sym object, производимые над ними операции. Методика упрощения и преобразования выражений. Функции для выполнения математического анализа. Графические возможности символьных переменных.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.