Отчёт
о выполнении
лабораторной работы № 5(2 часть)
"Решение
систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)"
студентки
группы 2Н14 физического факультета
Дмитриевой
Ирины Георгиевны
Март 2010 г.
Задание 1.
Привести систему уравнений к итерационному виду.
Решение:
Имеем
систему:
Приведем ее к
итерационному виду. Для этого поделим каждое уравнение на соответствующий
диагональный элемент, мы можем так сделать, потому что диагональные элементы не
равны нулю. После деления на соответствующий диагональный элемент каждое
уравнение из первого уравнения системы выражаем ,
из второго -, из третьего,
соответственно,-. Получаем
эквивалентную систему исходной:
Эта система
является системой приведенной к итерационному виду.
Задание
2. Проверить
выполнение условия сходимости итерационного метода.
Решение:
Проверим нашу
систему на сходимость. Это проверяется следующими тремя условиями:
1.
2.
3.
Для этого я
воспользуюсь одним из условий сходимости для метода простой итерации, например,
третьим, которое говорит о том, что сумма квадратов всех коэффициентов при
неизвестных в правой части системы должна быть меньше единицы.
Оно записывается
в следующем виде:
Проведем
соответствующие вычисления:
Из проделанных
вычислений можно сделать вывод, что наша система является сходящейся.
Задание
3. Составить
программу на языке С++ для решения приведенной системы с заданной тонностью указанным
методом. Округлить результат с заданной точностью.
Решение:
Для
реализации метода простой итерации нам для начала необходимо проверить нашу
систему на выполнение условия сходимости.
Проверяем ее
мы с помощью условия:
Если это
условие сходимости по евклидовой метрике выполняется, то мы можем приступать к
дальнейшей реализации метода простой итерации. Далее мы оцениваем точность
нашего метода. Она оценивается по следующей формуле:
В результате
реализации программы получили следующие ответы:
eps1=0.1
x1=2
x2=2
x3=2
n1=5
eps2=0.001
x1=1.5
x2=2
x3=2.5
n2=18
eps3=1e-06
x1=1.5
x2=2
x3=2.5
n3=43
n1, n2, n3 — количество итераций.
Задание
4. Сравнить
результаты выполнения задания 3 с результатами решения заданной системы прямыми
методами (лабораторная работа 5). Сделать выводы по результатам работы.
Решение:
В предыдущей
лабораторной работе получила следующие корни, с точностью до десяти цифр:
Сравним результаты,
полученные в лабораторной работе 5(часть 1), с результатами задания 3 этой
лабораторной работы(2 часть):
ξ=0.1
ξ=0.001
ξ=0.000001
Сравнив результаты
системы, полученные при решении итерационным методом и прямым методом, можно
сказать, что они практически не отличаются. Разница заметна лишь из-за того,
что в прямом методе мы не округляли, а в итерационном мы пользуемся функцией
округления. Корни отличаются на незначительно малое число.
Другие работы по теме:
Математика 2
Вариант 1 Задача 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. x + 2y – z = 2 2x – 3y + 2z = 2 3x + y + z = 8 1 2 -1 Δ = 2 -3 2 = - 3 – 2 + 12 – 9 – 2 – 4 = - 8
Правила Крамера
ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
Системы линейных алгебраических уравнений
Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Математика
Математика и информатика. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Работа в текстовом редакторе MS WORD. Рисование с помощью графического редактора. Определение вероятности. Построение графика функции с помощью MS Excel.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Метод Крамера
Министерство рыбного хозяйства Владивостокский морской колледж ТЕМА: “ Системы 2-х , 3-х линейных уравнений. Правило Крамера. ” г. Владивосток
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений Понятие системы линейных алгебраических уравнений Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
Метод квадратных корней
Система линейных алгебраических уравнений. Основные формулы Крамера. Точные, приближенные методы решения линейных систем. Алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5. Влияние мерности, обусловленности матрицы.
Определитель матрицы
Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Решение произвольных систем линейных уравнений
Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
Исследования и теории Габриеля Крамера
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
Расчет жесткого стержня
Построение математической модели и составление программы для расчета опорных реакций жесткого стержня с тремя опорными узлами. Определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки.
Крамер, Габриэль
Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Моделирование структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB
Практические навыки моделирования структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB. Построение графиков функций в декартовой системе координат. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Работа с блоками Sum, Algebraic Constraint, Gain, Product.