Решение
систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка: 44
с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.
Данный продукт
представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ:
F1(X1, X2, X3)=0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+
X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-20X2+35X3-99;
F2(X1, X2,
X3)=5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
F3(X1, X2,
X3)=-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1
+20,25X2+5,25X3+18.
Модифицированным методом
Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления.
Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика
зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются
промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие
для студентов высших учебных заведений.
В программе реализуются:
1) работа с BGI графикой;
2) работа с
файлами.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
1.1. Цель создания
программного продукта
1.2. Постановка задачи
2. Математическая модель
3. Описание и обоснование
выбора метода решения
4. Обоснование выбора
языка программирования
5. Описание программной
реализации
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1
Цель
создания программного продукта
Главной
целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх
переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для
студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с
многочисленными массивами вычислений.
1.2 Постановка задачи
В данном
программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:
0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+
X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-
-20X2+35X3-99;
5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1+20,25X2+
+5,25X3+18.
Начальным
приближением (X0) должны служить X1,0=0, X2,0=0, X3,0=0. Необходимо ввести точность (ξ) вычисления корня
системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с
заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из
которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к
нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения
(например, X1 и X3). Для этого третья компонента
решения (X3) принимает значение константы. Необходимо указать
какая функция будет участвовать в построении графика (например, F1), а также определить промежутки изменения обеих
компонент решения (например, [X1min; X1max] и [X3min; X3max]).
2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Общий вид решения системы
нелинейных арифметических уравнений имеет вид:
F1(X1,…,Xn)=0
…
Fn(X1,…,Xn)=0
,
где Fi – функция n
переменных.
Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn),
при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в
верное равенство.
При n=3
– точка пересечения трёх поверхностей.
Модифицированный метод Ньютона
– один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный
метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0.
Суть метода заключается в построении последовательности точек X0,
…, Xn, сходящихся к решению.
Рекуррентная формула имеет
вид:
Xk+1=Xk+W(X0)-1F(Xk), где W(X0)-1 –
обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1) от начального приближения X0,
а F(Xk) – вектор
значений функций СНАУ вектора приближения к корню X,
высчитанном, на предыдущем шаге.
Условием окончания выполнения
приближений является шаг, на котором k-норма (в данном
случае), т.е √F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1), меньше определённой погрешности
(ξ):
√F22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1) < ξ.
3
ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ
Для
решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется
модифицированным методом Ньютона.
По
сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но
имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем
программно на языке программирования.
4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Реализация
поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version
3.1.
Система
программирования Borland
C++, разработанная американской
корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных
систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе
языка программирования C, а
также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого
программного продукта.
Другие работы по теме:
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Поиск нулей функции. Итерационные методы
Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
Математика
Математика и информатика. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Работа в текстовом редакторе MS WORD. Рисование с помощью графического редактора. Определение вероятности. Построение графика функции с помощью MS Excel.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Решение нелинейных уравнений
Задание №1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них: методом половинного деления; методом хорд; методом касательных; методом секущих;
Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
Решение произвольных систем линейных уравнений
Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
Исследования и теории Габриеля Крамера
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
Моделирование структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB
Практические навыки моделирования структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB. Построение графиков функций в декартовой системе координат. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Работа с блоками Sum, Algebraic Constraint, Gain, Product.
Решение нелинейных уравнений
ЧИСЛЕННОЕ . 1п. Общий вид нелинейного уравнения F(x)=0 Нелинейные уравнения могут быть двух видов: Алгебраические anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0 Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
Решение системы нелинейных уравнений
Теоретическая часть. В данной расчетно-графической работе (далее РГР) требуется составить программу для решения системы нелинейных уравнений методом последовательной итерации
Метод касательных (метод Ньютона)
Содержание Содержание 1 Используемая литература 1 Метод Ньютона (касательных). 2 Описание 2 Блок-схема алгоритма 3 Листинг программы 4 Результаты работы программы 6
Решение нелинейных уравнений
Сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений. Метод половинного деления. Геометрический смысл метода Ньютона. Метод простой итерации.
Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
Решение нелинейных краевых задач. Входные данные и содержание алгоритма Бройдена. Содержание алгоритма Бройдена. Метод исключения Гаусса для решения СЛАУ. Вывод формулы пересчета Бройдена. Разработка программы, исследование результата и примеры ее работы.
Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и аналитическим, простым и модифицированным методом Ньютона. Программы на языке программирования Паскаль и С для вычислений по вариантам в порядке указанных методов. Изменение параметров задачи.