Типовые динамические звенья и их характеристики

Рефераты по коммуникации и связи » Типовые динамические звенья и их характеристики

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:


(1)


Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:

Усилительное (безынерционное).

Дифференцирующее.

Форсирующее звено 1-го порядка.

Форсирующее звено 2-го порядка.

Интегрирующее.

Апериодическое (инерционное).

Колебательное.

Запаздывающее.

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:


(2)


или передаточной функцией:


(3)


При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:




а) б)

Рис. 1


Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

.




h(t)


Рис. 2


Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .




Рис. 3


Примеры звена:

Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).

Потенциометр (рис. 4б).



а) б)

Рис. 4

3. Редуктор (рис. 5).



K(p)=i=вых /вх.



Рис. 5


Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:


(4)


или передаточной функцией:


(5)


где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:



h(t)


k1(t)


0 t

T а)

k/T



0 t

б)


Рис. 6


Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:





-k/2


h(t)


а) б) в)

Рис. 7


Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

При




Рис. 8


Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Примеры звена:

1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).

Сoc



Rвх

Uвых

K(p) = k/(Tp+1);

T = RосCос;

k = RосRвх.

Rос


Uвх



Рис. 9

2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).

L



Uвх

С

Uвх

R

  

R


Uвых

Uвых




   

Рис. 10


4. Механические демпферы (рис. 11).


Y



X





Рис. 11


Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:


(6)


или передаточной функцией:

(7)


При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:





Рис. 12


Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:






=



h(t)


Рис. 13

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:





Рис. 14


Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).



K(p) = 1/Tp;

T = RвхCос.



 

Рис. 15


Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:


(8)

или передаточной функцией:


(9)


При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:




Рис. 16


Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:





а) б) б)

Рис. 17

Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:





Рис. 18


Примеры звена:

1. Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).



K(p)=Tp;

T=CвхRос.




 

Рис. 19


2. Тахогенератор (рис. 20).


y = U



Рис. 20


Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:


(10)


или передаточной функцией:


(11)


где  – демпфирование (0    1).

Если  = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если  = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:


(12)

а
) б)

Рис. 21


Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением



Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений  имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением



Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением



Частотные характеристики колебательного звена имеют вид




а) б) в)

Рис. 22


Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:



При k = 1





Рис. 23


Примеры звена. Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).




Рис. 24

Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).

L

R





Uвых

Uвх


С




Рис. 25


В приведенной схеме:

С – накапливает энергию электрического поля;

L – накапливает энергию электромагнитного поля;

R – на сопротивлении происходит потеря энергии.

Запишем передаточную функцию цепи:


– затухание (демпфирование).

4. Механические демпферы (рис. 26).


Y




Рис. 26


Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:


(13)


или передаточной функцией


(14)


где k – коэффициент передачи звена.


При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:



1


а) б) в)

Рис. 27


Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:





Рис. 28


Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:


(15)


Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:



Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:


(16)

(17)


где  – время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:



k(t)

h(t)



Рис. 30


Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:







а) б) в)

Рис. 31


Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на 20 дБ/дек соответствует изменение фазы на /2, а 40 дБ/дек – на .

Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев


Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):


h(t)







Рис. 32


Идеальные и реальные звенья. Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат инерционности.


реальное интегрирующее звено;

реальное дифференцирующее звено;

реальное форсирующее звено.


АФХ этих звеньев имеют вид (рис. 33а-в):


+j

+j

=0 = +

K(j)

+

K(j)



=0 = +


K(j)


а) б) в)

Рис. 33


+j



Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.

1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.

2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(-) 20] дБ/дек (где  – количество дифференцирующих, а - интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.

4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.

Пример 2. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:


Решение: Определяем со-прягающие частоты отде-льных звеньев и отклады-ваем их по оси частот в по-рядке возрастания.

Tинт = 0,01 с; инт = 100 с-1;

Tфор = 1 с; фор = 1 с-1;

Tап = 0,1 с; ап = 10 с-1;

Строим характеристику (рис. 34).




Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения

L [дБ]

Решение: Определяем соп-рягающие частоты отдель-ных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

Tинт = 0,1 с; инт = 10 с-1;

Tфор = 10 с; фор = 0,1 с-1;

Tк = 1 с; к = 1 с-1;

Tфор = 0,1 с; фор = 10 с-1;

Tфор = 0,01 с; фор= 100 с-1;

Строим характеристику рис. 35


+60


+40


+20

0

-20


-40


-60

-20

0

-20


0 -20



0,1 1 10  [1/c]



Рис. 35


Пример 4. Построить АФХ соединения звеньев, передаточная функция которого имеет вид



Решение: Выполнив подстановку p = j и умножив на комплексно сопряженное выражение, получим


Строим характеристику рис. 36.

АФХ

+j

K(j)


+



Рис. 36


Литература


Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.

В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.

Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.

Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.