Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел
Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей еры доказал, что количество простых чисел - бесконечено.
Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел или бесконечность. Это значит, если , тогда значения многочлена первой степени будут простыми числами при замене бесконечного количества целых чисел.
Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.
Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.
Рассмотрим многочлен который при значениях от до , дает бесконечный ряд натуральных чисел (1)
А также рассмотрим ряд простых чисел
(2) некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.
Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число c (2) выбивает с ряда чисел (1) часть, а на все остальные простые числа останется часть чисел (1).
Если p1 выбивает t/ р1 , то p2 выбьет еще часть чисел (1) с тех, что осталась, а вместе они выбьют часть чисел(1).
Для всех остальных простых чисел останется
часть чисел (1)
Третье простое число выбьет еще часть, а вместе они выбьют часть чисел (1). На все оставшиеся простые числа с (2) останется
часть чисел (1)
Продолжая ми получим, что простые числа выбивают
(3)
часть чисел (1) , а на оставшиеся простые числа останется
(4)
часть чисел (1)
Используем тот факт, что простые числа от до выбивают все сложные числа в интервале от до .
Пусть наибольшее простое число с (2) совпадающее с последовательности (1). Для того чтобы выяснить, есть ли еще простые числа в последовательности (1) больше за достаточно формулу (4) умножить на число А-количество чисел (1) на промежутке от до . И если
(5)
значит, там еще есть простые числа больше и меньше .
Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов
Пусть многочлен первой степени ,где ,дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел
(6)
Легко показать, что каждое простое число выбивает по две пары таких чисел, то есть часть.
Пусть
(7)
последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от до выбивают
(8)
часть чисел (6). А , используя формулу (4) мы получим , что на все остальные простые числа останется
(9)
часть чисел (6).
Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до .
Если
(10)
где А-количество пар чисел (6) на промежутке от до ,тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида
Так как
тогда последнее число вида (7) меньше , которое будет делиться простыми числами меньшими за , будет число
.
С учетом этого формула (10) примет вид
,
где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида .
Пусть наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит, не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид , где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида бесконечно. Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.
Рассмотрим многочлен второй степени
(11)
Делителями его будут простые числа вида
(12)
Подставляя в (11) значения от до получим ряд чисел (13). Пускай наибольшее простое число вида . Требуется доказать что есть еще простые числа вида больше за .
Каждое простое число (12) выбивает с последовательности (13) часть чисел. С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от до выбивают
(14)
часть чисел с последовательности (13) На остальные простые числа вида останется с учетом формулы (4)
(15)
часть чисел последовательности (13).
Так как ,тогда последнее число вида меньше , которое будет делиться простыми числами вида меньшим за , будет число . .
Для того ,чтобы показать, что есть еще простые числа
(16)
достаточно доказать, что
(17)
Для чего неравенство (17) запишем по-другому
(18)
Рассматривая (18), видим, что оно больше за единицу. Это значит что утверждение (16) верно, а значит, и количество простых чисел вида бесконечно.
Другие работы по теме:
Бесконечность в философии
Бесконечность в философии-понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Бесконечность, выражаемая в законах науки, количественная Бесконечность, выступающая как неограниченность процессов и явлений.
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U''.
Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
Физическое доказательство малой теоремы Ферма
Простые числа играют важную роль в теории чисел. Используя свойства симметрии спиновых конфигураций Изинга, можно доказать малую теорему Ферма о простых числах и обобщить её на некоторые составные числа. Используемый в статье метод доказательства приводит к «физической» интерпретации простых чисел.
Число пи четверками
Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c)
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Н.М. Козий, 2008, [UA] Свидетельство Украины № 25256 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Великая теорема Ферма
Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма».
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.
Решение головоломки Ж. Арсака
Работа посвящена решению головоломки, условие которой находится в книге Ж.Арсака «Программирование игр и головоломок».
Петр Дирихле
Пути развития современной математики в значительной мере были предопределены трудами немецкого ученого XIX века Петером Густавом Лежен Дирихле.
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.