Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.
Примеры квадратичных форм:
(n = 2),
(n = 3). (10.1)
Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:
Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.
Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:
1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.
Доказательство (для n = 2).
Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:
(10.2) Найдем дискриминант:
следовательно, уравнение имеет только действительные корни.
2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.
Доказательство (для n = 2).
Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:
Следовательно, их можно задать так:
. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:
По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .
Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.
Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)
Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)
Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть
- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица
. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:
,
получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:
. (10.5)
Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.
Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.
Пример.
Приведем к каноническому виду квадратичную форму
xІ + 5yІ + zІ + 2xy + 6xz + 2yz.
Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:
Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:
(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:
.
Получим:
Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.
||Оглавление||
Другие работы по теме:
Облицовочные керамические материалы
Классификация и характеристика керамических изделий для внутренней облицовки. Основные требования, предъявляемые к качеству плитки для пола. Материалы для облицовки фасадов зданий: видовое разнообразие, способы их изготовления и особенности применения.
Оборудование для перерабатывающей промышленности
Основы теории резания пищевых продуктов. Оборудование для очистки овощей и фруктов, машины для нарезания и измельчения мясных полуфабрикатов, схемы дисковых овощерезок. Машины для нарезки хлебобулочных изделий, для дробления твердых пищевых продуктов.
«Times New Roman»
Реферат (от лат rеfеrо докладываю, сообщаю) — краткое изложение научной проблемы, результатов научного исследования, содержащихся в одном или нескольких произведениях идей и т п
Макароны по размерам и формам
Существуют десятки видов макарон, многие из которых подходят только к определенному соусу или блюду. Часто в рецептах встречаются незнакомые названия макарон и хочется узнать, как же на самом деле они выглядят и с чем их едят.
Музыкальная культура Татарстана
ТЕМА 21. Исторические сведения о древней татарской музыке. Особенности татарских мелодий. Многовековая история татар. Центр татарской культуры – город Казань. Представление о древней музыке из рукописей путешественников. Давнее развитие татарской профессиональной музыки. Многожанровость древней музыки.
Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом
Комплексные числа
Понятие о комплексных числах. Действия с комплексными числами. Решение уравнений с комплексным переменным.
Комплексные числа и действия над ними
Лекция 10 Комплексные числа и действия над ними Рассмотрим уравнение Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число
Матрицы Метод Гаусса
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю"
10 способов решения квадратных уравнений
История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
Основы высшей математики
Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
Графическое решение уравнений
График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Исследование графиков функций и графическое решение уравнений, их разновидности и особенности.
Культура Плакемин
Введение 1 Описание 1.1 Архитектура и курганы 1.2 Керамика 2 Археологические памятники Список литературы Введение Культура Плакемин, или Плакеминская культура, англ. Plaquemine culture — археологическая культура в низовьях реки Миссисипи на западе современного штата Миссисипи и востоке Луизианы.
Успенский собор Московского Кремля
Археологические находки рассказывают, что уже в конце XII века на месте теперешнего собора стояла на самой высокой точке кремлевского холма деревянная церковь.
Спасо-Преображенский монастырь
Рассматривать архитектуру новых сооружений Спасо-Преображенского монастыря, не касаясь основных тенденций, господствовавших в то время в московском зодчестве, было бы неверным, поскольку последние нашли также свое отражение и в ярославских постройках.
Хотченков, Александр Яковлевич
План Введение 1 Биография 2 Роли в театре 3 Роли в кино 4 Актёр дубляжа Список литературы Введение Александр Яковлевич Хотченков (род. 1946) — советский и российский актёр театра и кино. Народный артист России[1].
Чако национальный исторический парк
Чако (национальный исторический парк) Национальный исторический парк Чако (англ. Chaco Culture National Historical Park) занимает территорию в 53 квадратные мили и считается одним из самых важных с точки зрения археологии районов в Северной Америке. Люди, населявшие эту землю, создали самые массивные за всю историю региона до 1800 г. рукотворные сооружения.
Программирование математических задач
Си - стандартизированный процедурный язык программирования. Алгоритм и программа на языке Си для формирования двух матриц с определенной размерностью и значением элементов. Применение матриц в математике. Исходный текст программы и результаты выполнения.
Работа с инифайлами (ini)
В этой работе мы рассмотрим технику создания инифайлов их назначение и применение. Начнем с ответа на вопрос зачем же нужны эти инифайлы?! Предположим, что вы создали приложение, в котором пользователь может настраивать цвет фона.
ГИА алгебра 2009 кодификатор
Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений 2009 г. (в новой форме) по АЛГЕБРЕ Кодификатор элементов содержания по алгебре
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор КЭС
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году
Мали
Государство расположено в центре Западной Африки. Граничит на севере с Алжиром, на северо-востоке — с Нигером, на юге — с Буркина-Фасо, Кот-д'Иву ар, Гвинеей, на западе — с Сенегалом и Мавританией.
Ариабхата I
Ариабхата I (476— ок. 550) — индийский астроном и математик.В сочинении “Ариабхатиам” (499), посвященном астрономии и математике, изложены математические сведения, необходимые для астрономических наблюдений.