Реферат: Квадратные формы - Refy.ru - Сайт рефератов, докладов, сочинений, дипломных и курсовых работ

Квадратные формы

Рефераты по математике » Квадратные формы

Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.


Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.


Примеры квадратичных форм:


(n = 2),


(n = 3). (10.1)


Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:


Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.


Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:


1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.


Доказательство (для n = 2).


Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:


(10.2) Найдем дискриминант:


следовательно, уравнение имеет только действительные корни.


2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.


Доказательство (для n = 2).


Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:


Следовательно, их можно задать так:


. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:


По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .


Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.


Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)


Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.


Приведение квадратичной формы к каноническому виду


Определение 10.4. Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)


Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть


- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1,λ2,λ3 матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица


. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:


,


получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ1, λ2, λ3:


. (10.5)


Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.


Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.


Пример.


Приведем к каноническому виду квадратичную форму


xІ + 5yІ + zІ + 2xy + 6xz + 2yz.


Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:


Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:


(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:


.


Получим:


Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.


||Оглавление||