МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
кафедра інформатики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
ПО КУРСУ: Чисельні методи
на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»
Зміст
Постановка задачі
Вступ
1 Теоретична частина
2 Програмна реалізація
Список використаної літератури
Постановка задачі
Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння
Вступ
Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язок диференціального рівняння y=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x)=y.Чисельне розв’язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y-розв’язку рівняння y=(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .
y
yn *
y3 *
y2 *
y1 *
y0 *
O x0 x1 x2 x3 xn x
На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x =x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки
( h > 0 ) .
1 Теоретична частина
Методи Рунге-Кутта
Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.
Якщо неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:
();
Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.
Одним з найбільш простих і досить ефективних методів
оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді
.
За формулою Рунге
Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:
де yi – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x2i) - точний розв’язок задачі.
Метод прогнозу і корекції
Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу
,
де наближене значення . Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . Тому використовує-мо схему корекції
Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо
- похибка корекції,
- похибка прогнозу .
Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією .На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення . При заданому =0,0000001, наприклад, .
Віднімаючи з співвідношення , маємо
.
Уточнюємо розв’язання, виходячи з формули :
Ця формула завершає схеми прогнозу і корекції .
Метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач
Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
,
що задовольняє такі крайові умови:
Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n... Нехай Апроксимуємо і у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями , і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями , .
Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:
Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.
Введемо позначення:
Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:
Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:
Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.
2 Програмна реалізація
Реалізація пакетом Maple
> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;
dsolve[interactive]( ss );
Список використаної літератури
Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.
Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.
Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.
Другие работы по теме:
Параметричні і непараметричні критерії для перевірки гіпотез
Поняття дискретної випадкової величини (біноміального розподілу), її опис схемою Бернуллі. Граничний випадок біноміального розподілу. Параметричні та непараметричні критерії для перевірки гіпотези про відмінність (або схожість) між середніми значеннями.
Теорія економічного аналізу
Сутність та предмет економічного аналізу. Визначення понять "технологія", "фактор", "резерв", "аналіз". Класифікація господарських резервів. Управлінський та оперативний аналіз. Основні джерела інформації у процесі здійснення аналітичного дослідження.
Продуктивнiсть праці
Аналіз продуктивності праці. Вплив факторів за способом абсолютних різниць. Управлінські рішення у бізнесі на основі маржинального аналізу. Обсяг виробництва продукції, метод аналітичного запасу фінансової стійкості. Резерви збільшення суму прибутку.
Звітність суб’єктів зовнішньо-економічної діяльності
Економічний потенціал України і його використання. Необхідність проведення приватизації підприємств із залученням іноземних інвесторів, створення сприятливого інвестиційного клімату шляхом надання твердих державних гарантій національним підприємцям.
Аналіз виконання планових завдань з виробничої програми за рік
Аналіз річного обсягу продукції. Вплив факторів способом ланцюгових підстановок на зміну обсягу товарної продукції. Аналіз виробітку одного працівника основного виробництва. Аналіз собівартості обсягу товарної продукції та прибутку від її реалізації.
Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.
Велика теорема Ферма
Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
Основні засади комбінаторики та теорії множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля і використання правила суми й добутку. Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин засобами мови програмування IDE C++ Builder з допомогою вбудованого GUI.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Рішення рівнянь із параметрами
Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
Методология истории
План Введение 1 Методы исторического исследования Список литературы Введение Методология исторической науки (истории) — специальная историческая дисциплина, которая определяет предмет и объект исторической науки, цель научного исторического познания, изучает научный и социальный статус исторической науки, её дисциплинарное строение, разрабатывает теорию исторического познания (включая общефилософские, гносеологические и эпистомологические основы, принципы, уровни, виды и методы исторического познания).
Фалес Мілетський
(близько 624—548 pp. до н. е.) Початки культури стародавньої Греції, як уже згадувалось, сягають у сиву давнину. У VII—V ст. до н. е. на узбережжі Іонійського моря (східна частина Середземного моря) були розташовані квітучі грецькі міста-колонії Мілет, Ефес, Кротон та ін. їх географічне положення сприяло розвитку економіки й культури.
Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції
Постановка задачі інтерполяції. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного многочлена. Метод Лагранжа, задача зворотної інтерполяції. Інтерполяційна формула Бесселя. Вибір оптимального алгоритму. Приклад програми обчислення значення функції.
Синтез системи оперативної обробки мінімальної конфігурації
Еverest як програма для перегляду інформації про апаратні і програмні конфігурації комп'ютера, її структура та принцип роботи, значення та функціональні особливості. Обчислення середнього часу відповіді та вартості СОО. Методи діагностики Linux.
Дослідження методів інтерполяції
Методи інтерполяції: ітераційний та метод розподілених різниць. Інтерполяційна формула Лагранжа. Алгоритмізація та реалізація методів на ЕОМ в середовищі мови програмування Turbo Pascal 7.0. Аналіз результатів моделювання, інструкція користувачеві.
Дослідження методів інтерполяції
Міністерство освіти та науки України Вінницький національний технічний університет Інститут автоматики та електроніки комп’ютерних систем управління
Інтерполяція 4
Пошукова робота на тему: Інтерполяція. План Інтерполяція Інтерполяційна формула Лагранжа Інтерполяційна формула Ньютона 13.16. Інтерполювання функцій
Ценообразование 6
Ценообразование — установление цен, процесс выбора окончательной цены в зависимости от себестоимости продукции, цен конкурентов, соотношения спроса и предложения и других факторов.
Формування доходів за видами діяльності, їх облік
Доходи від діяльності підприємства, критерії їх визнання і класифікація. Облік доходів від основної операційної і звичайної діяльності. Порядок визначення фінансових результатів підприємства за видами діяльності. Облік доходу від надзвичайних подій.
Принципи побудови формальних теорій
Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.
Інформація та інформаційні процеси 2
РЕФЕРАТ на тему: Інформація та інформаційні процеси Інформація є фундаментальним науковим поняттям. Воно є первинним і не має строгого наукового визначення. Особливість цього поняття є його універсальність – воно використовується практично у всіх сферах людської діяльності: природничих науках, філософії, біології, економіці.
Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі
Вступ Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції.
Збудження об’ємних резонаторів
Лекція 18 . Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора. , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: