Дисциплина: "Высшая математика"
Тема: "Мера угла"
1. Градусная и радианная мера угла
Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.
Определение 1. Углом в называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее части.
Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть: , . Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.
Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу.
Таким образом, для отыскания радианной меры центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть .
Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть . В радианах это будет радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.
Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:
, .
Отсюда следует, что
1 рад = , а рад0,01745 рад.
Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.
Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор , который называется радиус-вектором точки M.
Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами и при перемещении точки M по окружности.
Если точка M совпадает с точкой A, то полагают равным нулю. Будем считать положительным, если вращение вектора от начального положения происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае будем считать отрицательным.
Так как полный оборот вектора приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае
Или
.
2. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла
Введем определение основных тригонометрических функций угла. Для этого изобразим вначале единичную окружность.
Определение 1. Синусом угла называется отношение ординаты конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается .
Определение 2. Косинусом угла называется отношение абсциссы конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается .
Определение 3. Тангенсом угла называется отношение ординаты конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к абсциссе конца этого радиус-вектора и обозначается .
Определение 4. Котангенсом угла называется отношение абсциссы конца подвижного радиус-вектора , который образует угол с осью абсцисс, к ординате конца этого радиус-вектора и обозначается .
Из приведенных определений следует, что
, , ,
причем у единичной окружности
, .
Введение произвольных по знаку и абсолютной величине углов позволяет каждому действительному числу поставить в соответствие угол в радиан и, наоборот, каждому углу - однозначно определяемое действительное число, равное числу радиан. Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента.
Определение 5. Тригонометрическая функция числа это та же тригонометрическая функция угла величиной в радиан.
Рассмотрим графики основных элементарных тригонометрических функций.
.
Здесь
; ;
период ; ; корни , где .
2. .
Здесь
; ;
период ; ; корни , где .
3. .
Здесь
,
где ; ; период ; ; корни , где .
4. .
Здесь
,
где ; ; период ; ; корни , где .
5. .
Здесь
; ; ; корень .
6. .
Здесь
; ; ; корень .
7. .
Здесь
; ; ; корень .
8. .
Здесь
; ; ; корней нет.
Литература
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.
Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство "Академия/Academia", 2009. - 2008c.
Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. - 286c.
Другие работы по теме:
Расчет физических свойств ионосферы
Расчет зенитного угла и его функции. Расчет по значению зенитного угла высоты максимума F-слоя, значения скорости ионизации в максимуме, значения константы скорости рекомбинации, электронной концентрации и критических частот. Расчет солнечного склонения.
Изучение устройства карданной передачи
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 ИЗУЧЕНИЕ УСТРОЙСТВА КАРДАННОЙ ПЕРЕДАЧИ Цель работы: изучить назначение, устройство, кинематические зависимости карданных шарниров, изучить понятие критической часты вращения карданного вала. Карданные механизмы (карданы) представляют собой устройства, которые способны передавать вращающий момент или вращательное движение от одного вала к другому при фиксированных или переменных углах пересечения их осей.
Настройка зубофрезерного полуавтомата модели 5П23
Нарезка конического зубчатого колеса с числом зубьев 49, которое работает в зацеплении с колесом с числом зубьев 23. Расчётные перемещения и уравнение кинематического баланса. Схема и определение угла зацепления, проверка условия зацепляемости.
Методические указания
Целью данной работы является изучение принципа действия струнных преобразователей угла наклона и получение навыков математической обработки результатов измерений
Теорема Пифагора
Text Graphics Ученик 8 В класса Моусош № 6 Скворцов Сергей Graphics Пифагор "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность." Graphics
Геометрия
Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
Перевод мер угла в градусной часовой системе
Перевод мер угла в градусной системе Классическая запись меры угла в градусной системе выглядит следующим образом: Эта запись обозначает, что мера угла содержит А градусов, В минут и С секунд.
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Подобие фигур
Преобразования подобия, их свойства. Доказательство теоремы: гомотетия есть преобразование подобия. Основные признаки подобия треугольников, решение типовых задач. Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
Перпендикулярность геометрических элементов
Теорема о проецировании прямого угла, возможные три случая такого проецирования. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямая, перпендикулярная к плоскости и ее проекции. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей.
Стереометрия
Определения и свойства двух, трехгранных углов, многогранников.
Справочник по геометрии (7-9 класс)
Выполнил: ученик класса средней школы Матвеев Евгений. Руководитель проекта: черетина Т.В. Казань 2004 г. 7 класс. Глава I. Точки, прямые, отрезки. Через любые две точки Если две прямые имеют общую
Треуголка
Введение 1 Появление треуголки 2 История треуголки 3 Треуголка как атрибут эпохи Введение Треуго́лка (англ. cocked hat, фр. tricorne ) — шляпа с полями, загнутыми так, что они образуют три угла. Получила распространение во второй половине XVII века и была популярна до конца XVIII века, пока не была заменена двууголкой.
Реализм в искусстве
Реализм-понятие ,характеризующее познавательную функцию искусства: правда жизни, воплощенная специфическими средствами искусства, мера его проникновения в реальность, глубина и полнота её художественного познания. Так, широко понимаемый реализм – основная тенденция исторического развития искусства, присущая различным его видам, стилям, эпохам.
Расовая квота
— противодискриминационная мера, проявляется в принятии законов или нормативных актов влияющих на кадровую политику учреждения, то есть обязывающая учреждение нанимать на работу представителей тех рас или этносов, которые в течение долгого времени подвергались дискриминации в данной стране. В России и Восточной Европе таких законопроектов нет.
Лан мера площади
— мера площади в средневековой Западной Европе и , в частности , польско-литовском государстве ( XIV-XVIII ст.). Являлся основным мерилом феодальных повинностей .
Миля
Ми́ля (от лат. mille passuum — тысяча двойных римских шагов «тростей») — путевая мера для измерения расстояния, введенная в Риме. Миля применялась в ряде стран в древности, а также во многих современных странах до введения метрической системы мер. В странах с неметрической системой мер миля применяется до настоящего времени.
Ксенеласия
Введение 1 О термине 2 Спартанские ксенеласии Список литературы Введение Ксенеласия (др.-греч. ξενηλασία изгнание иностранцев) — в древней Спарте мера по изгнанию или недопущению на государственную территорию нежелательных чужеземцев.
Четверик единица измерения
Четве́рик — русская единица измерения в 15-20 вв. объёма сыпучих тел (сухой вместимости). В Новгороде Великом известна с XV века, в Российском государстве - с начала XVII века.
Четверть единица объёма
Че́тверть четвертина — русская единица измерения объёма сыпучих тел (1 четверть = 2 осьминам = 8 четверикам = 64 гарнецам = 209,91 л) и жидкостей (1 четверть = 1/4 ведра = 3,08 л).
Имперская экзекуция
Имперская экзекуция (нем. Reichsexekution) — мера принуждения в немецком праве, применявшаяся к членам федерации в обеспечение исполнения их обязанностей по отношению к другим её членам.
Компьютерная модель СГ в координатах d, q, 0 в режиме ХХ
Простейшая компьютерная модель турбоагрегата, исследование на ней динамической устойчивости. Создание компьютерной модели СГ в координатах d, q, 0, получение осциллограммы токов в обмотках статора и ротора и напряжения в обмотках статора в режиме ХХ.
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор КЭС
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году
Решение задач по планам горных выработок
Лабораторная работа №2 Вариант №2 Решение задач по планам горных выработок Определить длину горизонтальной горной выработки: Длина выработки на плане – 85 мм = 42,5м.
Измерение горизонтальных и вертикальных углов
Измерение горизонтальных углов. При измерении горизонтальных углов применяют способы круговых приёмов или повторений. Теодолит устанавливают в вершине угла и приводят его в рабочее положение. Направление сторон угла, если измерения выполняются на дневной поверхности, обозначаются вехами. В подземных условиях стороны обозначаются отвесами или специальными сигналами.