Основные понятия
Мы начнем с самого простого и важного из эллиптических уравнений, а именно с уравнения Лапласа. Это уравнение имеет вид
- ∆u = f(x)
Здесь f(x) — заданная функция. Если f(x)≠0, то уравнение (1) называется неоднородным уравнением Лапласа. При f(x) = 0 имеем однородное уравнение Лапласа
∆u = 0
Неоднородное уравнение Лапласа часто называют уравнением Пуассона.
В более подробной записи уравнения Лапласа — неоднородное и однородное — выглядят так:
и соответственно
Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность Г, не обязательно связную» и пусть Г ограничивает область Ω, конечную (рис. 1) или бесконечную (рис.2) В обоих случаях предполагается» что сама поверхность Г конечна. Будемизучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях.
Функция и (х) называется гармонической в конечной области Ω, если она в этой области дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.
Будем говорить, что функция и(х) гармоническая в бесконечной области Ω, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии or начала, u(x) дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяйi однородному уравнению Лапласа и па бесконечности имеет порядок
,так что для достаточно больших |х| имеет место неравенство
где т— размерность пространства, а С — некоторая постоянная. В случае двумерной области (т = 2) условие (3) означает, что гармоническая в бесконечной области функция ограничена на бесконечности.
Подчеркнем, что определение гармонической функции относится только к случаю открытой области (т. е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области.
Заметим еще, что определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области.
Пример 1: Если Ω — бесконечная область, то функция и (х) = 1 гармоническая только при т = 2. Если m > 2, то в бесконечной области эта функции негармонична. Однако она гармонична в любой конечной области при любом т.
Пример 2. В двумерной плоскости функция
где z = х+iу, гармонична в любой области, которая не содержит начала координат.
Пример 3. Функция z=x+iy, гармонична в круге | z | < R (R — любое положительное число), разрезанном вдоль какого-либо из его радиусов.
Пример 4. Функция двух переменных и = х2+ у2 не является гармонической ни в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
∆(x2+y2) = 4 ≠ 0.
Пример 5. Функция u = x2 - y2 гармонична в любой конечной области.
На двумерной плоскости конформное преобразование не меняет однородного уравнения Лапласа. В случае любого т это не так, но все же существует преобразование, которое переводит любую гармоническую функцию в гармоническую же. Это пре образование Кельвина, которое переводит точку
х (хи х2, ... , хт) в точку х’ (х’и х’2, ... , х’т), симметричную с точкой х относительно сферы данного радиуса R с центром в начале координат, а дан ную функцию и (х) переводит в функцию
Напомним, что точки х и х' называются симметричными относительно названной выше сферы, если они лежат на одном луче, исходящем из начала, и если | х | • | х'| = R2. Декартовы координаты симметричных точек связаны соотношением
Простой, хотя и довольно громоздкий подсчет приводит к соотношению
поэтому если то .
Другие работы по теме:
Кейнсианская теория
Основополагающее Кейнсианское уравнение. Монетарная трактовка Кейнсианского уравнения.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Площадь треугольника
Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
Замечательное уравнение кинематики
В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения.
Дифференцированные уравнения
1.ВВЕДЕНИЕ 2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Площадь треугольника
Задача Дано: треугольник с вершинами в точках А [4; 0] B [3; 20] и C [5; 0]. Найти: Уравнение прямой АВ; Уравнение высоты СD, проведенной к стороне АВ; Уравнение прямой СЕ, параллельной стороне АВ;
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Анализ обобщенных функций
Обобщенная функция, заданная на прямой, - всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Комплекснозначная функция действительного переменного, называемая оригиналом. Характеристика функции Грина. Линейное неоднородное уравнение.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Виды передаточной характеристики
Передаточные функции системы радиоавтоматики в замкнутом и разомкнутом состоянии и определение ее устойчивости по критерию Гурвица. Определение перерегулирования в системе и динамической ошибки при входном воздействии. Значение выходного сигнала системы.
Принципы построения систем автоматического управления
Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, их математические модели. Дифференциальные уравнения систем автоматического управления, их решения.
Коаксіальна лінія
Лекція 8 К оаксіальна лінія. Тут можуть розповсюджуватись хвилі Т (бо тут можна утворити конденсатор), ТЕ, ТМ. Розглянемо хвилю Т. Нам необхідно розв’язати рівняння