Реферат: Аддитивные проблемы теории чисел - Refy.ru - Сайт рефератов, докладов, сочинений, дипломных и курсовых работ

Аддитивные проблемы теории чисел

Рефераты по математике » Аддитивные проблемы теории чисел
Ñîäåðæàíèå
1 Ïðîáëåìû Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë. 3
1.1 Ïðîáëåìà Âàðèíãà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ïðîáëåìà Ãîëüäáàõà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 (Ìåòîä îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì. (Ìåòîä È. Ì. Âèíîãðà-
äîâà) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Ïðîáëåìà Õàðäè - Ëèòëâóäà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Òåîðåìà Âèíîãðàäîâà - Áîìáüåðè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Ãèïîòåçà Ðèìàíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Ìåòîäû ðåøåíèÿ ïðîáëåì Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë. 10
2.1 Ìåòîä ðåäóêöèè ê ïðîèçâîäÿùèì ôóíêöèÿì. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Ìåòîäû ðåøåòà. Èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâ. . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Ìåòîä Ñåëüáåðãà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Äèñïåðñèîííûé ìåòîä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Îñíîâíûå âûâîäû. 15
2
Àääèòèâíûå ïðîáëåìû òåîðèè ÷èñåë â XVII - XX ââ.
Âåäåíèå.
Àääèòèâíàÿ òåîðèÿ ÷èñåë - ýòî ðàçäåë òåîðèè ÷èñåë, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ çàäà÷è î ðàçëîæåíèè öåëûõ ÷èñåë íà ñëàãàåìûå çàäàííîãî âèäà, à òàêæå àëãåáðàè÷åñêèå è ãåî- ìåòðè÷åñêèå àíàëîãè òàêèõ çàäà÷, îòíîñÿùèåñÿ ê ïîëÿì àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë è ê ìíî- æåñòâàì òî÷åê ðåøåòêè. Ýòè çàäà÷è íàçûâàþòñÿ àääèòèâíûìè çàäà÷àìè. Îáû÷íî ðàñ- ñìàòðèâàþòñÿ àääèòèâíûå çàäà÷è î ðàçëîæåíèè áîëüøèõ ÷èñåë.
1 Ïðîáëåìû Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë.
Ê êëàññè÷åñêèì ïðîáëåìàì Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë îòíîñÿòñÿ:
1. Ïðîáëåìà Âàðèíãà (1770) î ïðåäñòàâëåíèè âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â âèäå
ñóììû s = s(k) íåîòðèöàòåëüíûõ k− õ ñòåïåíåé ñ ôèêñèðîâàííûì k l ;
2. Ïðîáëåìà Ãîëüäáàõà î ïðåäñòàâëåíèè íå÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 5,
ñóììîé òðåõ ïðîñòûõ è ïðîáëåìà Ýéëåðà - Ãîëüäáàõà î ïðåäñòàâëåíèè ÷åòíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 2, ñóììîé äâóõ ïðîñòûõ (ïîñòàâëåíû â 1742);
Îñëàáëåííàÿ ïðîáëåìà Ãîëüäáàõà. Ïðîáëåìà ïðåäñòàâëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñóì-
ìîé îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà ïðîñòûõ;
3. Ïðîáëåìà Õàðäè - Ëèòëâóäà î ïðåäñòàâëåíèè âñÿêîãî öåëîãî ÷èñëà, áîëüøåãî 1,
â âèäå ñóììû ïðîñòîãî è äâóõ êâàäðàòîâ (ñôîðìóëèðîâàíà â 20-õ ãã. 20 â.);
4. Àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé; 5. Ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òè÷ìàðøà; 6. Çàäà÷è î ïðåäñòàâëåíèè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ÷åòíûõ ÷èñåë ñóììàìè äâóõ
÷èñåë ñ îãðàíè÷åííûì ÷èñëîì ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé;
7. Çàäà÷è î ïðåäñòàâëåíèè öåëûõ ÷èñåë êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè ñ òðåìÿ è ÷åòûðü-
ìÿ ïåðåìåííûìè è àíàëîãè÷íûå çàäà÷è; à òàêæå äðóãèå çàäà÷è.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë ïðèìåíÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèå, àëãåá-
ðàè÷åñêèå, ýëåìåíòàðíûå è ñìåøàííûå ìåòîäû, à òàêæå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà âåðîÿò- íîñòíûõ ñîîáðàæåíèÿõ.  çàâèñèìîñòè îò ìåòîäîâ ðåøåíèÿ, àääèòèâíûå çàäà÷è âõîäÿò
3
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñàìûå âàæíûå çàäà÷è Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë â îòäåëüíîñòè.
1.1 Ïðîáëåìà Âàðèíãà.
Ïðîáëåìà òåîðèè ÷èñåë, ñôîðìóëèðîâàííàÿ Ý. Âàðèíãîì (Å. Waring) â 1770 ã. â ñëå- äóþùåì âèäå: âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî åñòü ñóììà ÷åòûðåõ êâàäðàòîâ, äåâÿòè êóáîâ, äåâÿòíàäöàòè ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé. Äðóãèìè ñëîâàìè: äëÿ ëþáîãî n
2 ñóùåñòâóåò òà-
êîå k = k(n) , çàâèñÿùåå òîëüêî îò n, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî åñòü ñóììà A: n− ñòåïåíåé íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë. Ïåðâîå îáùåå ðåøåíèå ïðîáëåìû Âàðèíãà ñ î÷åíü ãðóáîé îöåíêîé âåëè÷èíû k â çàâèñèìîñòè îò n äàíî â 1909 ã. Ä. Ãèëüáåðòîì (D. Hilbert), â ñâÿçè ñ ÷åì ïðîáëåìà Âàðèíãà èíîãäà íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà - Âà- ðèíãà. Åñëè ÷åðåç J
k,n (N ) îáîçíà÷èòü ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñëàõ
óðàâíåíèÿ
x n 1 + ... + x n k = N,
òî òåîðåìà Ãèëüáåðòà óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò K = k(n), äëÿ êîòîðîãî J k,n (N ) 1
ïðè ëþáîì N 1 .
 1928 ã. Ã. X. Õàðäè è Äæ. È. Ëèòëâóä (G. Í. Hardy, J . Å. Littlewood), ïðèìåíèâ
ê ïðîáëåìå Âàðèíãà êðóãîâîé ìåòîä, äîêàçàëè, ÷òî ïðè k (n − 2)2 n−1 + 5 äëÿ J k,n (N )
èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà âèäà
J k,n (N ) = AN k/n−1 + O(N k/n−1−γ )
ãäå A = A(N) c 0 > 0 , à c 0 è γ > 0 - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
N N 0 (n) èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå. Â ñâÿçè ñ ýòèì ðåçóëüòàòîì âîçíèêëè
òðè ïðîáëåìû: óñòàíîâèòü ïîðÿäîê òðåõ âåëè÷èí G(n), g(n), k 0 − íàèìåíüøèõ öåëûõ
÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ:
à) èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàçðåøèìî ïðè k G(n) è N N 0 (n) ;
á) èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàçðåøèìî ïðè k g(n) è N 1 ;
â) äëÿ âåëè÷èíû J k,n (N ) ïðè k k 0 (n) èìååò ìåñòî ïðèâåä¼ííàÿ âûøå àñèìïòîòè-
÷åñêàÿ ôîðìóëà.
à) Èçâåñòíî, ÷òî G(n) n + 1
 1934 ã. È. Ì. Âèíîãðàäîâ ïðè ïîìîùè ñîçäàííîãî èì ìåòîäà äîêàçàë, ÷òî G(n)
3n(ln n + 9)
4
n : G(4) = 16 (X. Äàâåíïîðò, Í. Davenport, 1939), G(3) = 7 (Þ. Â. Ëèíííê, 1942).
á) Â 1936 ã. Ë. Äèêñîí í Ñ. Ïèëëàí (L. Dickson, S. Pillai), ïðèìåíèâ ìåòîä Âèíîãðà-
äîâà, äîêàçàëè, ÷òî
3
g(n) = 2 n + [( ) 2 ] − 2
2
äëÿ âñåõ n > 6, äëÿ êîòîðûõ
3 3 1 3
( ) 12 − [( ) n ] = 1 − ( ) n {[( ) n ] + 3}
2 2 2 2
Ïîñëåäíåå æå óñëîâèå äîêàçàíî Ê. Ìàëåðîì (Ê. Mahler) â 1957 ã. äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ n.
â) Íàèëó÷øèé ðåçóëüòàò ïðèíàäëåæèò È. Ì. Âèíîãðàäîâó, êîòîðûé äîêàçàë, ÷òî
k 0 4n 2 ln n.
Ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî ïðîáëåìû Âàðèíãà äàíî Þ. Â. Ëèííèêîì â 1942 ã.
Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé ïðîáëåìû Âàðèíãà (ïåðåìåííûå ïðîáåãàþò íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; âìåñòî îäíî÷ëåíîâ x
n 1 , x n 2 , ..., x n k
â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñëà n ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíû f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 ), ..., f k (x k ) ; âìåñòî
èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ x n 1 + ... + x n k = N ðàññìàòðèâàåòñÿ ñðàâíåíèå è ò. ä.).
Îñîáîå çíà÷åíèå ïðîáëåìû Âàðèíãà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè åå ðåøåíèè ñîçäàíû
ìîùíûå ìåòîäû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë.
1.2 Ïðîáëåìà Ãîëüäáàõà.
Îäíà èç èçâåñòíûõ ïðîáëåì òåîðèè ÷èñåë. Çàêëþ÷àåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå òîãî, ÷òî âñÿ- êîå öåëîå ÷èñëî, áîëüøåå èëè ðàâíîå øåñòè, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû òðåõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ýòó ïðîáëåìó âûäâèíóë â 1742 ã. X. Ãîëüäáàõ (Ch. Goldbach) â ïèñüìå ê Ë. Ýéëåðó (L. Euler).  îòâåò Ë. Ýéëåð çàìåòèë, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå ÷åòíîå ÷èñëî åñòü ñóììà äâóõ ïðîñòûõ.  òå÷åíèå äîëãîãî âðåìåíè íå óäàâàëîñü íàéòè íèêàêèõ ïóòåé èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåìû Ãîëüäáàõà.
 1923 ã. Ã. Õàðäè è Äæ. Ëèòëâóäó (G. Hardy, J. Littlewood) óäàëîñü ïîêàçàòü,
÷òî åñëè âåðíû íåêîòîðûå òåîðåìû (íå äîêàçàííûå è ïîíûíå) îòíîñèòåëüíî L-ðÿäîâ Äèðèõëå, òî âñÿêîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå íå÷åòíîå ÷èñëî åñòü ñóììà òðåõ ïðîñòûõ ÷èñåë.
 1937 ã. È. Ì. Âèíîãðàäîâ ñîçäàë íîâûé ìåòîä â àíàëïòï÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë -
ìåòîä îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñ ïðîñòûìè ÷èñëàìè, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äî-
5
Ìåòîä È. Ì. Âèíîãðàäîâà ïîçâîëèë ðåøèòü è ðÿä ñóùåñòâåííî áîëåå îáùèõ çàäà÷.
Çàäà÷à î ðàçáèåíèè ÷åòíîãî ÷èñëà íà ñóììó äâóõ ïðîñòûõ åùå íå ðåøåíà.
1.2.1 (Ìåòîä îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì. (Ìåòîä È. Ì. Âèíîãðàäî-
âà)
Îäèí èç ñàìûõ ñèëüíûõ è îáùèõ ìåòîäîâ àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë ìåòîä òðèãîíî- ìåòðè÷åñêèõ ñóìì áûë ñîçäàí È. Ì. Âèíîãðàäîâûì. Ìíîãèå ïðîáëåìû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë äîâîëüíî ïðîñòî ôîðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå êîíå÷íûõ ñóìì ñëàãàåìûõ âèäà
cos F (x 1 , ..., x n ) + i sin F (x 1 , ...x n ),
ãäå F (x 1 , ..., x n ) äåéñòâèòåëüíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ôóíêöèÿ. Òàêèì îáðàçîì, öåíòð
òÿæåñòè ýòèõ ïðîáëåì ïåðåíîñèòñÿ íà çàäà÷ó èçó÷åíèÿ òàêèõ ñóìì è, â ÷àñòíîñòè, íà çà- äà÷ó ïîëó÷åíèÿ âîçìîæíî áîëåå òî÷íîé îöåíêè ìîäóëÿ òàêèõ ñóìì. È. Ì. Âèíîãðàäîâ, èñïîëüçóÿ ãëóáîêèå àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ñóìì, ïîëó÷èë èñêëþ- ÷èòåëüíî ñèëüíûå îöåíêè ìîäóëÿ øèðîêîãî êëàññà òàêèõ ñóìì. Ýòîò ìåòîä ïîçâîëèë Âèíîãðàäîâó ïîëó÷èòü ôóíäàìåíòàëüíûå, áëèçêèå ê ïðåäåëüíî âîçìîæíûì ðåçóëüòà- òû â öåëîì ðÿäå âîïðîñîâ òåîðèè ÷èñåë â òàêèõ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷àõ, êàê ïðîáëåìà Âàðèíãà, ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà Êàìêå, ïðîáëåìà îöåíîê ñóìì Âåéëÿ. Äðóãèì ñëåäñòâè- åì ìåòîäà îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì áûëî ðåøåíèå ðÿäà àääèòèâíûõ ïðîáëåì ñ ïðîñòûìè ÷èñëàìè è, â ÷àñòíîñòè, ðåøåíèå ïðîáëåìû Ãîëüäáàõà.
1.3 Ïðîáëåìà Õàðäè - Ëèòëâóäà.
Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà Q(n) ðåøåèé óðàâíåíèÿ
p + x 2 + y 2 = n,
ãäå p - ïðîñòîå, x è - öåëûå, n - íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Àíàëîãîì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
p − x 2 − y 2 = l,
6
äè (G. Hardy) è Äæ. Ëèòëâóäîì (J. Littlewood) â 1923 è ðàññìîòðåíà èìè íà îñíîâå ýâðèñòè÷åñêèõ è ãèïîòåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.
Äèñïåðñèîííûé ìåòîä, ðàçðàáîòàííûé Þ. Â. Ëèííèêîì, ïîçâîëèë åìó íàéòè àñèìï-
òîòèêó äëÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:
Q(n) = πA 0 ln n n p/n (p − 1)(p − χ p 2 − p + χ 4 (p) 4 (p)) + R(n),
ãäå
A 0 = (1 + p(p − 1) χ 4 (p) ), R(n) = O( (ln n) n 1,042 ).
p/n
Èç àíàëîãè÷íîé ôîðìóëû äëÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà
ïðîñòûõ ÷èñåë âèäà = x 2 + y 2 + l . Ñ ïîìîùüþ äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà íàéäåíà àñèìï-
òîòèêà äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Õàðäè - Ëèòëâóäà p + ?(x, y) ãäå p - ïðîñòîå, ?(x, y) - çàäàííàÿ ïðèìèòèâíàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà.
Ðàññìîòðåíèå àíàëîãè÷íîãî óðàâíåíèÿ p − ?(x, y) = l ïðèâîäèò ê äîêàçàòåëüñòâó
áåñêîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë âèäà p = ?(x, y) + l
Òåîðåìà Âèíîãðàäîâà - Áîìáüåðè î ðàñïðåäåëåíèè ïðîñòûõ ÷èñåë â àðèôìåòè÷åñêèõ
ïðîãðåññèÿõ â ñðåäíåì òàêæå äîñòàâëÿåò ðåøåíèå ïðîáëåìà Õàðäè - Ëèòëâóäà, çàìåíÿÿ ôàêòè÷åñêè ðàñøèðåííóþ ãèïîòåçó Ðèìàíà òåîðåìàìè òèïà áîëüøîãî ðåøåòà.
1.3.1 Òåîðåìà Âèíîãðàäîâà - Áîìáüåðè.
Ïóñòü íàìè èñïîëüçóåòñÿ îöåíêà âèäà:
y
?(Q, x) = max max |ψ(y, k, l) − |,
(l,k)=1 y x ?(k)
k Q
ãäå
ψ(y, k, l) = = λ(n).
n yn≡lmodk
Òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå c 1 > 0 è c 2 > 0 òàêèå, ÷òî
?(Q, x) c (Q log 11 18 ·x √ x + x β k0 log 5/4 x + xexp(−c 4 log x)),
1 ?(k ) 2
0
ãäå k 0 < e √ 4 log x = z 1 − ìîäóëü, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðèìèòèâíûé
äåéñòâèòåëüíûé ïðèìèòèâíûé õàðàêòåð χ k 0 òàêîé, ÷òî L(s, χ k 0 ) èìååò íóëü ïðè s =
7

?(Q, x) c(A)( xQ log x 11/18 + x log x −A )
ïðè ëþáîì A.
1.4 Àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé.
Àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé - ïðîáëåìà, çàêëþ÷àþùàÿñÿ â ïîèñêå àñèìïòîòè÷åñêî- ãî çíà÷åíèÿ ñóìì âèäà:
τ k 1 τ k 2 (m + a)
m n
,
τ k 1 τ k 2 (n − m),
m<n
ãäå τ k (m)− êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèé öåëîãî ÷èñëà k ìíîæèòåëåé, ñ÷èòàÿ è
ïîðÿäîê k 1 , è k 2 2− - íàòóðàëüíûå ÷èñëà, a - ôèêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî, îòëè÷-
íîå îò íóëÿ, n - äîñòàòî÷íî áîëüøîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.  ÷àñòíîñòè, τ 2 (m) = τ (m) -
÷èñëî äåëèòåëåé äëÿ ÷èñëà m. Ñóììû âûðàæàþò, ñîîòâåòñòâåííî, êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèé
x 1 x 2 ...x k 2 − y 1 y 2 ...y k 1 = a,
x 1 x 2 ...x k 1 − y 1 y 2 ...y k 2 = n.
Àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé ïðè k 1 = 2 è ëþáîì íàòóðàëüíîì k 2 áûëà ðåøåíà ñ
ïîìîùüþ äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà Þ. Â. Ëèííèêîì. Ýòîò ìåòîä áóäåò ðàññìîòðåí äàëåå.
1.5 Ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà.
Ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà: ?=ð - ïðîñòîå, ? = xy, x, y íàòóðàëüíûå;
Ïðîáëåìà îòûñêàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé íåîïðåäåë¼í-
íûõ óðàâíåíèé âèäà:
p − xy = a, p < N,
p + xy = N, p < N, x, y ∈ N
ãäå p− ïðîñòîå ÷èñëî a− ôèêñèðîâàííîå öåëîå.
À îáùàÿ ðàäà÷à - ïîèñê àñèìïòîòèêè äëÿ ñóìì âèäà:
τ (p − 1),
p<N
8
ãäå τ(p)− ÷èñëî äåëèòåëåé n.
Ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà áûëà ïîñòàâëåíà Ý. Òèò÷ìàðøåì (Å. Titchmarsh,
1930) è ðåøåíà èì óñëîâíî â ïðåäïîëîæåíèè ñïðàâåäëèâîñòè ðàñøèðåííîé ãèïîòåçû Ðèìàíà ( å¼ ðàññìîòðèì íèæå ) . Äèñïåðñèîííûé ìåòîä, ðàçðàáîòàííûé Þ. Â. Ëèí- íèêîì, ïîçâîëÿåò íàéòè àñèìïòîòèêó ÷èñëà ðåøåíèé äëÿ íåîïðåäåë¼ííîãî óðàâíåíèÿ:
p − xy = a, p < N, ïðè a = 1, Á. Ì. Áðåäèõèí ðåøèë ýòó çàäà÷ó äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàí-
íîãî a = 0. Áðåäèõèí äîêàçàë àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó ñ îñòàòêîì O(N/(ln 1+ε N )),
ãäå ε > 0.
Òåîðåìà Âèíîãðàäîâà - Áîìáüåðè î ðàñïðåäåëåíèè ïðîñòûõ ÷èñåë â àðèôìåòè÷åñêèõ
ïðîãðåññèÿõ â ñðåäíåì òàêæå ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ ïðîáëåìû äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà. Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè ðàñøèðåííîé ãèïîòåçû Ðèìàíà çàìåíÿåòñÿ ôàêòè÷åñêè òåîðåìàìè òèïà áîëüøîãî ðåøåòà ( ýòè òåîðåìû áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå ).
1.5.1 Ãèïîòåçà Ðèìàíà.
Äëÿ íà÷àëà íàäî ââåñòè îïðåäåëåíèå äçåòà-ôóíêöèè. Äçåòà-ôóíêöèÿ ζ(s)− ýòî àíà- ëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî s = σ + it, ïðè σ > 1 îïðåäåëÿåòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì Äèðèõëå:
1
ζ(s) =
n s
Çíà÷åíèå äçåòà-ôóíêöèè â òîì, ÷òî îíà ðàçäåëÿåò ÷èñëà íà äâà îòëè÷íûõ äðóã îò äðóãà ìíîæåñòâà: îäíî âêëþ÷àåò âñå ïðîñòûå ÷èñëà, à äðóãîå íå âêëþ÷àåò íè îäíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà.
Ðèìàí â 1859 ã. âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå î ñâÿçè ïðîñòûõ ÷èñåë ñ Re = 1/2 äçåòà-
ôóíêöèè, à òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî âñå äåéñòâèòåëüíûå íóëè äçåòà-ôóíêöèè ðàñïîëî- æåíû íà ïðÿìîé Re = 1/2.
Èòàê, ôóíêöèÿ ζ(s) îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ êîìïëåêñíûõ s = 1, è èìååò íóëè äëÿ îòðè-
öàòåëüíûõ öåëûõ s = −2, −4, −6... Èç ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ζ(s) = 2 s π s−1 sin πs Γ(1−
2
s)ζ(1 − s) , è ÿâíîãî âûðàæåíèÿ 1 = ∞ n=1 µ(n) ïðè s > 1 ñëåäóåò, ÷òî âñå îñòàëüíûå
ζ(s) n s
íóëè, íàçûâàåìûå ¾íåòðèâèàëüíûìè¿, ðàñïîëîæåíû â ïîëîñå 0 s 1 ñèììåòðè÷-
íî îòíîñèòåëüíî òàê íàçûâàåìîé "êðèòè÷åñêîé ëèíèè" 1 2 + it, t ∈ R. Ãèïîòåçà Ðèìàíà
óòâåðæäàåò, ÷òî:
Âñå íåòðèâèàëüíûå íóëè äçåòà-ôóíêöèè èìåþò äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, ðàâíóþ 1 2 .
9
íèé äçåòà-ôóíêöèé, íàçûâàåìûõ L-ôóíêöèÿìè Äèðèõëå.
2 Ìåòîäû ðåøåíèÿ ïðîáëåì Àääèòèâíîé òåîðèè ÷è-
ñåë.
Ïåðâûå ñèñòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû â Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë áûëè ïîëó÷åíû Ëåî- íàðäîì Ýéëåðîì (1748), êîòîðûé èññëåäîâàë ñ ïîìîùüþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ðàçëîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë íà ïîëîæèòåëüíûå ñëàãàåìûå, â ÷àñòíîñòè, èì áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà çàäàííîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ.
2.1 Ìåòîä ðåäóêöèè ê ïðîèçâîäÿùèì ôóíêöèÿì.
Ìíîãèå êëàññè÷åñêèå çàäà÷è Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ðåäóêöèè ê ïðîèçâîäÿùèì ôóíêöèÿì. Ýòîò ìåòîä âîñõîäèò ê Ë. Ýéëåðó è ëåæèò â îñíîâå àíà- ëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, ðàçâèòûõ Ã. X. Õàðäè (G. H. Hardy), Äæ. È. Ëèòëâóäîì (J. Å. Littlewood) è È. Ì. Âèíîãðàäîâûì. Èñõîäíîé ÿâëÿåòñÿ èäåÿ ñîïîñòàâëåíèÿ çàäàííûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì:
A i = {a i }, a i 0, a ∈ Z, i = 1, 2, 3, ...
ñòåïåííûõ ðÿäîâ:

f i (z) = z a j
a j =0
ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé
k ∞
F (z) = f i (z) = r(n)z n ,
i=1 n=0
ãäå r(n) = r k , A (n) − êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà â âèäå:
n = a 1 + a 2 + ... + a k , a i ∈ A i , A = {A 1 A 2 , ...}.
Ïðè ýòîì r(n) âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Êîøè.  ìåòîäå Âèíîãðàäîâà ñòå- ïåííûå ðÿäû çàìåíÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñóììàìè:

f i (α) = e 2πiαa i ,
a i =0
1
r(n) = F (α)e (−2πiαa i ) dα
0
10
1 , ëèáî r(n) = 0 äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n n n 0 (A) , ëèáî ïî÷òè äëÿ âñåõ
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå r(n) = 0, ò. å.
( 1 n x,r(n)=0 1)
lim = 1,
x−→∞ x
èëè, íàêîíåö, äëÿ r(n) èìååòñÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà. Íàèìåíüøåå ÷èñëî k, óäîâëå- òâîðÿþùåå îäíîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ óñëîâèé, îáîçíà÷àåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî g(A), G(A),
G 0 (A), k 0 (A).  ñëó÷àå {a i } = {p}, ãäå {p}− ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ÷èñåë, ïðè k =
3 ïîëó÷àåòñÿ òåîðåìà Âèíîãðàäîâà: âñÿêîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå íå÷åòíîå ÷èñëî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû òðåõ ïðîñòûõ ÷èñåë; ïðè k = 2 - òåîðåìà ×óäàêîâà: ïî÷òè âñå ÷åòíûå ÷èñëà ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóììû äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë.
2.2 Ìåòîäû ðåøåòà. Èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâ.
Íåêîòîðûå çàäà÷è Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë ðåøàþòñÿ ïðè ïîìîùè èññëåäîâàíèÿ ñòðóê- òóðû ìíîæåñòâ, ïîëó÷àþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå ñóììèðîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé A
i a i ,
çàäàííûõ ëèøü èõ ïëîòíîñòÿìè d(A i ) = inf A i n (n) , ãäå A i (n) = 1 a i n 1. Èç ïîëîæèòåëü-
íîñòè d n (A i ) ïðè A 1 = A 2 = ... = A k = A óæå ñëåäóåò, ÷òî g(A) < ∞. Ïðèìåíåíèå ýòîãî
ôàêòà ê çàäà÷àì Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë, â êîòîðûõ ñóììèðóþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî- ñòè íóëåâîé ïëîòíîñòè, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì êîíñòðóèðîâàíèÿ èç äàííûõ ïîñëåäîâà- òåëüíîñòåé íîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ïîëîæèòåëüíîé ïëîòíîñòüþ. Âåäóùóþ ðîëü ïðè ýòîì èãðàþò ìåòîäû ðåøåòà, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ äîêàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîñòü
d(A i ). Òàêèì ñïîñîáîì Ë. Ã. Øíèðåëüìàíîì äîêàçàíà òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë â âèäå ñóììû îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, Þ. Â. Ëèííèêîì íàéäåíî ýëåìåíòàðíîå ðåøåíèå ïðîáëåìû Âàðèíãà.
Ýëåìåíòàðíûå ìåòîäû ðåøåòà, ïðèíàäëåæàùèå Â. Âðóíó è À. Ñåëüáåðãó, ïðèâîäÿò
â ðÿäå çàäà÷ Àääèòèâíîé òåîðèè ÷èñåë ê ðåçóëüòàòàì, íåäîñòóïíûì ïîêà ñîâðåìåííûì
11
n θ 1 è, ñîîòâåòñòâåííî n θ 2 ãäå (θ 1 < 1 è θ 2 < 1 íàäëåæàùèì
îáðàçîì âûáðàííûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû), ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ òàê íàçûâàåìîé êâàçèïðîáëåìû Ãîëüäáàõà-Ýéëåðà î ïðåäñòàâëåíèè ÷åòíîãî ÷èñëà ñóììîé äâóõ ÷èñåë, îäíî èç êîòîðûõ èìååò íå áîëåå k
1 , à äðóãîå - íå áîëåå k 2 ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé.
2.2.1 Ìåòîä Ñåëüáåðãà.
Ìåòîä Ñåëüáåðãà - ñïåöèàëüíûé è â òî æå âðåìÿ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûé ìåòîä ðåøå- òà, ñîçäàííûé Àòëå Ñåëüáåðãîì. Ðåøåòî Ñåëüáåðãà ïîçâîëÿåò õîðîøî îöåíèâàòü ñâåðõó ïðîñåèâàþùóþ ôóíêöèþ S(; , z), îáîçíà÷àþùóþ êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíî- æåñòâà A öåëûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà ïðîñòûå ÷èñëà p < z è ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó P ïðîñòûõ ÷èñåë.
Ïóñòü P (z) = p. Ìåòîä Ñåëüáåðãà îñíîâàí íà î÷åâèäíîì íåðàâåíñòâå
p<z,p∈P
S(A; P, z) ( λ d ) 2 ,
a∈A d|a;d|P (z)
êîòîðîå âåðíî ïðè l 1 = 1 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Èäåÿ Ñåëüáåð-
ãà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, ïîëîæèâ l d = 0 äëÿ d z , ìèíèìèçèðîâàòü ïðàâóþ ÷àñòü
íåðàâåíñòâà ïóòåì íàäëåæàùåãî âûáîðà îñòàâøèõñÿ ÷èñåë λ d (2 d < z) .
 êîìáèíàöèè ñ äðóãèìè ìåòîäàìè ðåøåòà ðåøåòà Ñåëüáåðãà ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü
îöåíêè ñíèçó, îñîáåííî ñèëüíûå ïðè èñïîëüçîâàíèè âåñîâûõ ôóíêöèé.
2.2.2 Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà.
Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà - ìåòîä, ðàçðàáîòàííûé Ýðàòîñôåíîì (3 â. äî í. ý.) è ïîçâîëÿþ- ùèé îòñåèâàòü ñîñòàâíûå ÷èñëà èç íàòóðàëüíîãî ðÿäà. Ñóùíîñòü ìåòîäà Ýðàòîñôåíà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Çà÷åðêèâàåòñÿ åäèíèöà. ×èñëî 2 - ïðîñòîå. Çà÷åðêèâàþòñÿ âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2. ×èñëî 3 - ïåðâîå íåçà÷åðêíóòîå ÷èñëî - áóäåò ïðîñòûì. Äàëåå çà÷åðêèâàþòñÿ âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ê-ðûå äåëÿòñÿ îäíîâðåìåííî è
12
2.3 Äèñïåðñèîííûé ìåòîä.
 1959 Þ. Â. Ëèííèêîì áûë ðàçðàáîòàí Äèñïåðñèîííûé ìåòîä. Îí ïðèìåíèì â òåîðèè ÷èñåë äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ áèíàðíûõ óðàâíåíèé (áèíàðíûõ àääèòèâíûõ ïðîáëåì )âèäà
α + β = n,
ãäå α è β ïðèíàäëåæàò ê äîñòàòî÷íî ãóñòûì è õîðîøî ðàñïðåäåëåííûì â àðèôìåòè÷å- ñêèõ ïðîãðåññèÿõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äèñïåðñèîííûé ìåòîäîì, ñîåäèíÿåò â ñåáå ýëåìåíòàðíûå òåîðåòèêî - âåðîÿòíîñòíûå ïîíÿòèÿ (â ÷àñòíîñòè, ïî- íÿòèå äèñïåðñèè è íåðàâåíñòâà òèïà ×åáûøåâà) ñ àíàëèòè÷åñêèìè è àëãåáðàè÷åñêèìè èäåÿìè È. Ì. Âèíîãðàäîâà è À. Âåéëÿ (A. Weil). Ñóùíîñòü ìåòîäà ñîñòîèò â ñëåäóþ- ùåì. Èñõîäíîå áèíàðíîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ âèäà:
υD + β = n;
çäåñü υ, D íåçàâèñèìî ïðîáåãàþò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ èç ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè ãäå υ è D- íåêîòîðûå èíòåðâàëû; ïðè ýòîì ÷èñëà υ - ïðîñòûå, à íà D ìîãóò áûòü íàëîæåíû ðàçëè÷íûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. Ïóñòü ÷åðåç F îáîçíà÷åíî ÷èñëî ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå:
υD + β = n
ïðè ïðîèçâîëüíîì D ∈ (D), è ÷åðåç (n, D) îáîçíà÷åíî ÷èñëî åãî ðåøåíèé, íàéäåííûõ èç êàêèõ-ëèáî ýâðèñòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Òîãäà ãèïîòåòè÷åñêè ÷èñëî îæèäàåìûõ ðå- øåíèé óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:
S = A(n, D ).
D ∈(D)
Îöåíêà ðàçíîñòè F − S = V èìååò âèä:
V = ( 1 − A(n, D )).
D ∈(D) υD +β=n
13
V 2 D 0 V ,
ãäå D - äëèíà èíòåðâàëà (D), à
0
V = ( 1 − A(n, D )) 2 −
D ∈(D) υD +β=n
åñòü äèñïåðñèÿ ÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ υD + β = n
Åñëè ðàñïðîñòðàíèòü ñóììèðîâàíèå â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè íà âñåõ D ∈ (D), òî
áóäóò ñíÿòû âñå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, íàëîæåííûå íà D .  òî æå âðåìÿ âåëè÷èíà äèñïåðñèè ìîæåò òîëüêî âîçðàñòè. Ïîýòîìó
V = ( 1 − A(n, D)) 2 = Σ 1 − 2Σ 2 + Σ 3
D∈(D) υD +β=n
Ñóììû Σ 1 , Σ 2 è Σ 3 â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ âû÷èñëèòü àñèìïòîòè÷åñêè. Ãëàâ-
íóþ òðóäíîñòü ïðåäñòàâëÿåò âû÷èñëåíèå Σ - îñíîâíîé ñóììû Äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà.
1
Àñèìïòîòè÷åñêèé ðàñ÷åò ñóììû Σ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ìåòîäà Âèíîãðàäî-
1
âà ïî ïîäñ÷åòó äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé êîëè÷åñòâà èõ äðîáíûõ ÷àñòåé, ïîïàäàþùèõ â çàäàííûé ñåãìåíò, à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì íîâåéøèõ îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì, ïîëó÷åííûõ ñðåäñòâàìè àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Àñèìïòîòèêà äëÿ ñóìì Σ
è
2
Σ 3 íàõîäèòñÿ ïóòåì ýëåìåíòàðíîãî ñóììèðîâàíèÿ. Åñëè, â ðåçóëüòàòå, äèñïåðñèÿ îêàçû-
âàåòñÿ íå ñëèøêîì áîëüøîé, òî ïîëó÷àåòñÿ àñèìïòîòèêà äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
υD + β = n . Îáúåäèíåíèå ÷èñëà ðåøåíèé âñåõ óðàâíåíèé âèäà υD + β = n ïðèâîäèò ê
àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëå äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ α + β = n.
Ðàññìîòðåííûé ìåòîä ïðèìåíèì è äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé âèäà α − β = l, ãäå l -
çàäàííîå öåëîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ.
Ïðè ïîìîùè äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà áûë ðåøåí ðÿä êëàññè÷åñêèõ áèíàðíûõ àääè-
òèâíûõ ïðîáëåì, êîòîðûå äî ñîçäàíèÿ äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà ìîãëè áûòü ðåøåíû òîëü- êî íà îñíîâå ýâðèñòè÷åñêèõ èëè ãèïîòåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ê ÷èñëó ïðîáëåì, ðåø¼í- íûõ ñ ïîìîùüþ äàííîãî ìåòîäà, îòíîñÿòñÿ: àääèòèâíàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé, ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà, ïðîáëåìà Õàðäè-Ëèòëâóäà.
Îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà ïåðåñåêàåòñÿ ñ îáëàñòüþ ïðèìåíåíèÿ
ìåòîäà áîëüøîãî ðåøåòà Þ. Â. Ëèííèêà.
14
3 Îñíîâíûå âûâîäû.
Äëÿ ðåøåíèÿ Àääèòèâíûõ ïðîáëåì ïðèìåíÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèå, àëãåáðàè÷åñêèå, ýëå- ìåíòàðíûå è ñìåøàííûå ìåòîäû. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü Àääèòèâíûõ ïðîáëåì ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê äâóì êëàññàì:
à) Òåðíàðíûå àääèòèâíûå ïðîáëåìû òèïà
n = α + β + γ
ïðèíàäëåæàò ê äîñòàòî÷íî ãóñòûì è õîðîøî ðàñïðåäåëåííûì â àðèôìåòè÷åñêèõ ïðî- ãðåññèÿõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì öåëûõ ÷èñåë, γ ïðèíàäëåæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæåò áûòü è ðåäêîé, íî ñ õîðîøèì ïîâåäåíèåì íåêîòîðûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ åé, òðèãîíîìåò- ðè÷åñêèõ ñóìì.
á) Áèíàðíûå àääèòèâíûå ïðîáëåìû òèïà
n = α + β
ñ òåìè æå óñëîâèÿìè äëÿ α è β ÷òî è â ïóíêòå à).
Óíèâåðñàëüíûì ñðåäñòâîì ðåøåíèÿ òåðíàðíûõ àääèòèâíûõ ïðîáëåì äëÿ äîñòàòî÷-
íî áîëüøèõ n ÿâëÿåòñÿ îáùèé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä Õàðäè - Ëèòëâóäà - Âèíîãðàäîâà â ôîðìå ìåòîäà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì (ïóíêò 1.2.1 - ìåòîä îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷å- ñêèõ ñóìì).
Áèíàðíûå àääèòèâíûå ïðîáëåìû îáû÷íî íå ìîãóò áûòü ðåøåíû ýòèìè ìåòîäàìè.
Äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ àääèòèâíûõ ïðîáëåì ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ýëåìåí- òàðíîãî ðåøåòà (ïóíêò 2.2 Ìåòîäû ðåøåòà. Èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâ). Îñî- áåííî ñèëüíûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ ïðè ïîìîùè áîëüøîãî ðåøåòà è äèñïåðñèîííîãî ìåòîäà Þ. Â. Ëèííèêà.
Àääèòèâíûå ïðîáëåìû òèïà ïðåäñòàâëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè
ñ òðåìÿ è ÷åòûðüìÿ ïåðåìåííûìè òàêæå ÿâëÿþòñÿ áèíàðíûìè. Îíè èññëåäóþòñÿ ñâîå- îáðàçíûìè àðèôìåòèêî - ãåîìåòðè÷åñêèìè ìåòîäàìè òåîðèè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.
15
Ëèòåðàòóðà
1. dic.academic - Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ. 2. www.mathnet/rus - ñàéò "Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè". 3. Í. Ì. Òèìîôååâ, "Î òåîðåìå Âèíîãðàäîâà Áîìáüåðè", Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, ò.38, ? 6 (1985). 4. À. À. Çåíêèí, "Ïðîáëåìà Âàðèíãà äëÿ ñóìì êâàäðàòîâ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë", Ìà- òåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, ò.54, ? 5 (1993). 5. À. Ê. Êàðøèåâ, À. Â. Ñîêîëîâñêèé "Îáîáù¼ííàÿ ïðîáëåìà äåëèòåëåé Òèò÷ìàðøà", Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, ò.3, ? 2 (1968). 6. mirslovarei - ñàéò "Ìèð ñëîâàðåé". 7. Í. Ì. Òèìîôååâ, Ì. Á. Õðèïóíîâà "Ïðîáëåìà Òèò÷ìàðøà ñ ÷èñëàìè, èìåþùèìè çàäàííîå ÷èñëî äåëèòåëåé", Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, ò.59, ? 4 (1996).
16