Курсовая работа
Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области Rфункции и непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Последовательные приближения определяются формулами:
k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
к системе нормального вида и при начальных условиях
, ,
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
;
и перейдем к системе нормального вида:
Построим последовательные приближения
Задание №10
Построить три последовательных приближения к решению задачи
,
Построим последовательные приближения
Задание №11
а) Задачу
,
свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
i = 0, 1, 2 …
Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:
, i = 1, 2, …,
где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
, i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется , что также совершенно очевидно. А так как последовательность сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список литературы
Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998
Другие работы по теме:
Расчет времени откачки распределенных вакуумных систем
Определим время откачки нестационарном режиме для трубопровода с распределенным объемом без учета газовыделения с его стенок . Один конец трубопровода закрыт заглушкой , а другой присоединен к насосу с очень большой быстротой откачки , т.е. в открытом сечении трубопровода давление можно считать равным нулю .
Расчет времени откачки распределенных вакуумных систем
Определим время откачки нестационарном режиме для трубопровода с распределенным объемом без учета газовыделения с его стенок . Один конец трубопровода закрыт заглушкой , а другой присоединен к насосу с очень большой быстротой откачки , т.е. в открытом сечении трубопровода давление можно считать равным нулю .
Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно,
Анализ дифференциальных уравнений
Лекция: Содержание 2.1 Равноускоренное движение 5 2.2 Геометрические задачи 5 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными 7 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y (n) F (x, y, y', y’’,.y (n)) = 0.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Теория вероятностей
Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Список используемой литературы Задание 1 Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Определение интегралов
Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения
Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Решение нелинейных уравнений
Задание №1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них: методом половинного деления; методом хорд; методом касательных; методом секущих;
Решение дифференциальных уравнений 2
Контрольная работа Вычислить предел функции. Вычислить производную функции. Исследовать функции f(х) и g(х) и построить графики. Вычислить неопределенные интегралы.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Анализ дифференциальных уравнений
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
Визуализация численных методов
Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
Ролль, Мишель
План Введение 1 Биография 2 Научная деятельность Введение Мишель Ролль (фр. Michel Rolle, 21 апреля 1652, Амбер (Франция) — 8 ноября 1719, Париж) — французский математик.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.
Буш Ванневар (Bush Vannevar)
Буш Ванневар (Bush Vannevar) (11 марта 1890, Эверетт, шт. Массачусетс - 28 июня 1974, Белмонт, шт. Массачусетс), американский ученый, создатель дифференциального анализатора, первого дифференциального аналогового компьютера.
Д'Аламбер, Жан Лерон
Д'Аламбер, Жан Лерон (D'Alembert, Jean Le Rond) (1717–1783), французский математик и философ.